习题一 1.证明以下各式 (1). AUB=(AB). (2).,-UB, =UN(A,-B,) i=l j= i=l j= (3).An(, )=U(,) teT r∈T ().-A,=(e-A) teT teT ().-∩,=(e-) teTteT (6).(A△B)C=(AnC)△(BC) 2.设{fn}是R上的一列实值函数,满足f(x)≤f2(x)≤,x∈R并设{fn 存在极限函数f(x).证明对任意实数c,成立 (i). {: f(x)>c}=Ux: f, (x)>c} n=1 ).{x:f(x)≤c}={x:fn(x)≤c} 3.设{fn}是R上的一列实值函数.证明 {: lim f, (x) =+) =nUn: f (x) k}. k2i m2l n2m 4.设ECR,a∈R,记a+E={a+x:x∈E}.证明若A,B∈R", a∈R,则 (i). a+AnB=(a+A)(a+ B). ().a+A=(a+A) 5.设A2n-1=(0,),A2n=(0,n),n≥1.求 lim和 lim n→∞ 6.设{n}是R上的一列实值函数,AcR,并且在R上 fn(x)→(x)(n→∞).证明lim{x:fn(x)≥12}=A 7.设f是X到Y的映射,{A}是X中的一族集.证明 3737 习 题 一 1. 证明以下各式: U UI U n i n i m j i j m j i j c A B A B A B A A B 1 11 1 (2). ( ). (1). ( ). = == = − = − ∪ = ∪ ∩ U U( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ (3). ∩ ( ) = ∩ . (4). U I( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (5). I U( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (6). (A∆B) ∩ C = (A ∩C)∆(B ∩ C). 2. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数, 满足 ( ) ( ) , f1 x ≤ f 2 x ≤ L x ∈ 1 R . 并设{ }n f 存在极限函数 f (x). 证明对任意实数 c, 成立 (i). { : ( ) } { : ( ) }. 1 U ∞ = > = > n n x f x c x f x c (ii). { : ( ) } { : ( ) }. 1 I ∞ = ≤ = ≤ n n x f x c x f x c 3. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数. 证明 IUI 1 1 { : lim ( ) } { : ( ) }. ≥ ≥≥ →∞ = +∞ = > km m n n n n x f x x f x k 4. 设 E ⊂ , n R a ∈ , n R 记 a + E = {a + x : x ∈ E}. 证明若 A, B ∈ , n R a ∈ , n R 则 (ii). ( ) . (i). ( ) ( ). c c a A a A a A B a A a B + = + + ∩ = + ∩ + 5. 设 ), (0, ), 1. 1 (0, 2 −1 = A2 = n n ≥ n A n n 求 lim lim . n n n n A A →∞ →∞ 和 6. 设 { }n f 是 n R 上的一列实值函数 , , n A ⊂ R 并且在 n R 上 f (x) → I (x) (n → ∞). n A 证明 lim{x : f (x) 1 2} A. n n ≥ = →∞ 7. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是 X 中的一族集. 证明