习题一 1.证明以下各式 (1). AUB=(AB). (2).,-UB, =UN(A,-B,) i=l j= i=l j= (3).An(, )=U(,) teT r∈T ().-A,=(e-A) teT teT ().-∩,=(e-) teTteT (6).(A△B)C=(AnC)△(BC) 2.设{fn}是R上的一列实值函数,满足f(x)≤f2(x)≤,x∈R并设{fn 存在极限函数f(x).证明对任意实数c,成立 (i). {: f(x)>c}=Ux: f, (x)>c} n=1 ).{x:f(x)≤c}={x:fn(x)≤c} 3.设{fn}是R上的一列实值函数.证明 {: lim f, (x) =+) =nUn: f (x) k}. k2i m2l n2m 4.设ECR,a∈R,记a+E={a+x:x∈E}.证明若A,B∈R", a∈R,则 (i). a+AnB=(a+A)(a+ B). ().a+A=(a+A) 5.设A2n-1=(0,),A2n=(0,n),n≥1.求 lim和 lim n→∞ 6.设{n}是R上的一列实值函数,AcR,并且在R上 fn(x)→(x)(n→∞).证明lim{x:fn(x)≥12}=A 7.设f是X到Y的映射,{A}是X中的一族集.证明 37
37 习 题 一 1. 证明以下各式: U UI U n i n i m j i j m j i j c A B A B A B A A B 1 11 1 (2). ( ). (1). ( ). = == = − = − ∪ = ∪ ∩ U U( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ (3). ∩ ( ) = ∩ . (4). U I( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (5). I U( ). t T t t T E At E A ∈ ∈ − = − (6). (A∆B) ∩ C = (A ∩C)∆(B ∩ C). 2. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数, 满足 ( ) ( ) , f1 x ≤ f 2 x ≤ L x ∈ 1 R . 并设{ }n f 存在极限函数 f (x). 证明对任意实数 c, 成立 (i). { : ( ) } { : ( ) }. 1 U ∞ = > = > n n x f x c x f x c (ii). { : ( ) } { : ( ) }. 1 I ∞ = ≤ = ≤ n n x f x c x f x c 3. 设{ }n f 是 1 R 上的一列实值函数. 证明 IUI 1 1 { : lim ( ) } { : ( ) }. ≥ ≥≥ →∞ = +∞ = > km m n n n n x f x x f x k 4. 设 E ⊂ , n R a ∈ , n R 记 a + E = {a + x : x ∈ E}. 证明若 A, B ∈ , n R a ∈ , n R 则 (ii). ( ) . (i). ( ) ( ). c c a A a A a A B a A a B + = + + ∩ = + ∩ + 5. 设 ), (0, ), 1. 1 (0, 2 −1 = A2 = n n ≥ n A n n 求 lim lim . n n n n A A →∞ →∞ 和 6. 设 { }n f 是 n R 上的一列实值函数 , , n A ⊂ R 并且在 n R 上 f (x) → I (x) (n → ∞). n A 证明 lim{x : f (x) 1 2} A. n n ≥ = →∞ 7. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是 X 中的一族集. 证明
)UA|=U(4) i)∩4|=∩f(4) (in)给出一个例子,使得f(A∩B)≠f(A)∩f(B) 8.设∫是X到Y的映射,{A}x是Y中的一族集,AcY.证明 f∪4|=Uf(4) )f∩4=∩f(4) (i)lf-(A)=(f-(A) 此外,若∫:X→Y,g:Y→Z,则对AcZ成立 (iv).(g°f)-(A)=f-(g-(A) 9.证明关于特征函数的如下等式 (1).A2(x)=l4(x)+l(x)-lAB(x (2).I(x)=4(x)l2(x) (3)若{4}是X的一列互不相交的子集,A=∪A,则1(x)=∑4(x) (4).若AcX,BCY,则IAB(x)=lA(x)2(x) (5).设{4n}是一列集,A=1imAn,B=lmAn则A(x)=lim,(x) Ie(x)=lim/,(x) 10.设A是无限集,B是可数集.证明若存在一个A到B的单射∫,则A是可数集 11.证明可数集的有限子集的全体是可数集 12.设∫(x)是[0,1]上的实值函数,并且存在M>0,使得对[0,1]中的任意有限 个不同的数x1,…xn,均有|f(x)+…f(xn)≤M.证明A={x∈[0.1:f(x)≠0 是至多可数集 提示A=∪A,其中A={x∈D.1:(x)>} 3.证明以有理数为端点的区间只有可数个 4.设A是R中的不可数集.证明存在x∈A,使得对任意E>0 A∩(x-E,x+E)不是可数集 提示:利用上题的结果 15.设A是R中的可数集证明E={x-y:x,y∈A}是可数集
38 (ii). ( ). (i). ( ). I I U U t T t t T t t T t t T t f A f A f A f A ∈ ∈ ∈ ∈ ⊂ = (iii).给出一个例子, 使得 f (A ∩ B) ≠ f (A) ∩ f (B). 8. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是Y 中的一族集, A ⊂ Y. 证明 (ii). ( ). (i). ( ). 1 1 1 1 I I U U t T t t T t t T t t T t f A f A f A f A ∈ − ∈ − ∈ − ∈ − = = (iii). ( ) ( ( )) . 1 c 1 c f A f A − − = 此外, 若 f : X → Y, g :Y → Z, 则对 A ⊂ Z 成立 (iv).( ) ( ) ( ( )). 1 1 1 g f A f g A − − − o = 9. 证明关于特征函数的如下等式: (1). I (x) I (x) I (x) I (x). A∪B = A + B − A∩B (2). I (x) I (x)I (x). A∩B = A B (3).若{ } An 是 X 的一列互不相交的子集, , 1 U ∞ = = n A An 则 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n A A I x I x n (4). 若 A ⊂ X , B ⊂ Y, 则 I (x) I (x)I (x). A×B = A B (5). 设 { } An 是一列集 , lim , n n A A →∞ = lim . n n B A →∞ = 则 I (x) limI (x), An n A →∞ = I (x) lim I (x). An n B →∞ = 10. 设 A 是无限集, B 是可数集. 证明若存在一个 A 到 B 的单射 f , 则 A 是可数集. 11. 证明可数集的有限子集的全体是可数集. 12. 设 f (x) 是[0, 1] 上的实值函数, 并且存在 M > 0, 使得对[0, 1] 中的任意有限 个不同的数 , , 1 n x Lx 均有 ( ) ( ) . f x1 +L f xn ≤ M 证明 A = {x ∈[0,1]: f (x) ≠ 0} 是至多可数集. 提示: U ∞ = = 1 , k A Ak 其中 { [0,1]: ( ) }. 1 k x k A = x ∈ f > 13. 证明以有理数为端点的区间只有可数个. 14. 设 A 是 1 R 中的不可数集. 证明存在 x ∈ A, 使得对任意ε > 0, A ∩ (x − ε, x + ε ) 不是可数集. 提示: 利用上题的结果.. 15. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明 E = {x − y : x, y ∈ A}是可数集
16.设A是R中的可数集证明存在x0∈R,使得A∩⌒(x+A)=Q 提示令E={x-y:x,y∈A},则R-E≠ 17.证明[O,1]×[o,1]-[0, 18.设{An}是环中的一列集.证明存在中一列互不相交的集{Bn},使得 FUB, UA,=U 19.证明:集类A是一个代数当且仅当4是一个包含全空间X的环 20.若牙为代数并且对不相交可数并运算封闭,则为一代数 21.设X是一无限集.证明 H={A:A或A是有限集} 则是X上的一个代数,但不是G-代数 分={A:A或A是至多可数集} 证明是σ-代数 2.设了是X上的a一代数,EcX令={E∩A:A∈}.证明5是E上 的σ一代数 23.设A是X的一个非空真子集.证明σ(A)={必,X,A,A} 24.举例说明X上的两个a一代数的并不一定是-代数 设AcX,令C={E: ACECX},求O(C) 26.设C为一半环,R(C)是由C生成的环.证明o(C)=a(R(C) 27.设C是一非空集类证明对每个A∈(C),都存在中一列集{An},使得 A∈a(A,n≥1) 提示:令={4:存在{An}cC,使得A∈o(An,n≥1)}.证明是包含的C 的-代数 28.设∫:X→Y是X到Y的映射,C是Y上的集类.证明 (f-(C)=f-(o(C) 其中f-(C)={f-(E):E∈C} 提示:令丌={A:A∈G(C),∫(4)∈(f-(C)}.则是一个σ-代数 9.设xa∈R”,p>0.证明 (i)x0的r-邻域U(x0,r)是开集 (i).S(x,r)={x:d(x,x0)≤r}是闭集
39 16. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明存在 x0 ∈ , 1 R 使得 ( ) . A ∩ x0 + A = ∅ 提示: 令 E = {x − y : x, y ∈ A}, 则 . 1 R − E ≠ ∅ 17. 证明[0,1]×[0,1] ~[0,1]. 18. 设{ } An 是环 R 中的一列集. 证明存在 R 中一列互不相交的集{ }, Bn 使得 U U U U ∞ = ∞ = = = = = 1 1 1 1 , . i i i i n i i n i Ai B A B 19. 证明: 集类A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环.. 20. 若F 为代数并且对不相交可数并运算封闭, 则F 为σ − 代数. 21. 设 X 是一无限集. 证明 (i). 令 A { : 或 是有限集}. c = A A A 则 A 是 X 上的一个代数, 但不是σ -代数. (ii).令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 证明F 是σ − 代数. 22. 设F 是 X 上的σ − 代数, E ⊂ X. 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 证明FE 是 E 上 的σ − 代数. 23. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 证明σ (A) { , , , } c = ∅ X A A . 24. 举例说明 X 上的两个σ − 代数的并不一定是σ − 代数. 25. 设 A ⊂ X. 令C = {E : A ⊂ E ⊂ X}. 求σ (C ). 26. 设C 为一半环, R (C ) 是由C 生成的环. 证明σ (C ) = σ (R (C )). 27. 设C 是一非空集类. 证明对每个 A∈ σ (C ), 都存在中一列集{ }, An 使得 A∈ (A ,n ≥ 1). σ n 提示: 令F ={A: 存在{ } ⊂C , An 使得 A∈ (A , n ≥ 1)} σ n . 证明F 是包含的C 的σ − 代数. 28. 设 f : X → Y 是 X 到Y 的映射, C 是Y 上的集类. 证明 ( ( )) ( ( )). 1 1 σ C σ C − − f = f 其中 ( ) { ( ) : }. 1 1 C = ∈C − − f f E E 提示: 令F { : ( ), ( ) ( ( ))}. 1 1 C C − − = A A∈σ f A ∈σ f 则F 是一个σ − 代数. 29. 设 x0 ∈ n R , r>0. 证明 (i). 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是开集. ( ) ii). ( , 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是闭集. (iii). ( , ) ( , ). 0 0 U x r = S x r
30.设A,BCR”.证明 (i).(A∩B)=A∩B° (i).(A∪B)=A'∪B,A∪B=A∪B. 31.设AcR",证明A的闭包A和A的导集A都是闭集 32.设A,BCR”,A∩B=.证明A∩B°=Q 33.证明定理149 4.设AcR",x∈R.定义x与A的距离为d(x,A)=infd(x,y).证明 (i).函数f(x)=d(x,A)是R”上的连续函数 (i).若A是闭集,xgA.则d(x,A)>0 (i).若A是有界闭集,则对任意x∈R",存在y∈A使得 d(,yo)=d(x, A) 35.设f(x)是R上的实值函数.证明∫(x)在R”上连续的充要条件是对任意 常数c,集{x:f(x)≤c}和{x:f(x)≥c}都是闭集 36.证明:每个闭集可以表示成可数个开集的交每个开集可表示成可数个闭集的并 37.证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集 提示:利用直线上开集的构造定理 38.设AcR".证明若A是可数集,则A是可数集 提示:先证明若A=②,则A是有限集或者可数集 39.设∫是R上的实值函数证明∫的连续点的全体是一个G。型集 提示{a:mf(x)存在并且有限}=∩Gn其中 {a:36>0,wx,x∈U(a,,(x)-f(x) 0设{fn}是R上的一列连续函数证明{x:1imfn(x)>0}是F型集 {x: lim f(x)=+o}是G型集 提示: lim f,(x)>0当且仅当存在k∈N和m∈N,使得对任意 n≥m,fn(x)≥1/k 41.设∫是[a,b上单调增加的实值函数,使得∫([a,b])在[f(a),f(b)中稠密 证明∫在[a,b]上连续 42.分别在以下情形下,证明σ(C)=B(R) (1).C是直线上型如[a,+∞)区间的全体 (2).C是直线上有界左开右闭区间(a,b的全体
40 30. 设 A, . B ⊂ n R 证明 (i). ( ) . o o o A ∩ B = A ∩ B ( , ii). (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′ A ∪ B = A ∪ B. 31. 设 A ⊂ , n R 证明 A 的闭包 A 和 A 的导集 A′ 都是闭集. 32. 设 A, B ⊂ , n R A ∩ B = ∅. 证明 ∩ = ∅. o A B 33. 证明定理 1.4.9. 34. 设 A ⊂ , n R x ∈ . n R 定义 x 与 A 的距离为d(x, A) inf d(x, y) y∈A = . 证明: (i). 函数 f (x) = d(x, A) 是 n R 上的连续函数. (ii). 若 A 是闭集, x ∉ A. 则 d(x, A) > 0. (iii). 若 A 是有界闭集 , 则对任意 x ∈ , n R 存 在 y0 ∈ A 使 得 ( , ) ( , ). d x y0 = d x A 35. 设 f (x) 是 n R 上的实值函数. 证明 f (x) 在 n R 上连续的充要条件是对任意 常数 c, 集{x : f (x) ≤ c}和{x : f (x) ≥ c}都是闭集. 36. 证明: 每个闭集可以表示成可数个开集的交,每个开集可表示成可数个闭集的并. 37. 证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集. 提示: 利用直线上开集的构造定理. 38. 设 A ⊂ . n R 证明若 A′ 是可数集, 则 A 是可数集. 提示: 先证明若 A′ = ∅, 则 A 是有限集或者可数集. 39. 设 f 是 1 R 上的实值函数. 证明 f 的连续点的全体是一个Gδ 型集. 提示: { : lim ( ) } . 1 I ∞ = → = n n x a a f x 存在并且有限 G 其中 }. 1 { : 0, , ( , ), ( ) ( ) n G a x x U a f x f x n = ∃δ > ∀ ′ ′′∈ δ ′ − ′′ 0} →∞ x f x n n 是 Fσ 型集, { : lim ( ) = +∞} →∞ x f x n n 是Gδ 型集. 提 示 : lim ( ) > 0 →∞ f x n n 当且仅当存在 k ∈ N 和 m ∈ N, 使得对任意 n ≥ m, f (x) 1 k . n ≥ 41. 设 f 是[a,b] 上单调增加的实值函数, 使得 f ([a,b]) 在[ f (a), f (b)] 中稠密. 证明 f 在[a,b]上连续. 42. 分别在以下情形下, 证明 ( ) ( ) 1 σ C = B R : (1). C 是直线上型如[a, + ∞) 区间的全体. (2). C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体
(3).C是直线上有界左开右闭区间(a,b]的全体生成的环,即 C={∪(a,b]:其中(a,1…,(a,b再互不相交,k≥1 43.设A∈R,x∈Rn.证明若A∈(R"),则xo+A∈B(R").其中 x0+A={x0+x:x∈A} 提示:设C是直线上有界左开右闭区间(a,b]的全体.令 A∈(R"):x+A∈2(R")} 证明是包含的C的一代数
41 (3). C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体生成的环, 即 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = ≥ = a b a b a b k k k k i C U i i 其中 L 互不相交 43. 设 A ⊂ , n R x0 ∈ . n R 证明若 A∈ ( ), n B R 则 x0 + A∈ ( ). n B R 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A 提示: 设C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体. 令 F { ( ) : ( )} 0 n n = A∈B R x + A∈B R . 证明F 是包含的C 的σ − 代数