实变函数 第一章集合 第二节映射与势
第二节 映射与势 第一章 集合
1映射的定义 定义1:设XY是两个非空集合,若依照对应法则f, 对X中的每个x,均存在Y中唯一的y与之对应,则称 这个对应法则f是从X到Y的一个映射, 记作fX→Y 或:设X,Y是两个非空集合,是X×Y的子集,且 对任意x∈X,存在唯一的y∈Y使(xy)∈f,则f是从 X到Y的一个映射 注:集合,元素,映射是一相对概念 略:像,原像,像集,原像集,映射的复合,单射,满射, 映射(双射)
定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f， 对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称 这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射， 记作 f: X→Y 或：设X,Y是两个非空集合，f是X×Y的子集，且 对任意x∈X，存在唯一的y ∈Y使(x,y) ∈ f，则f 是从 X 到 Y的一个映射 注：集合，元素，映射是一相对概念 略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射， 一一映射（双射） １ 映射的定义 [ ]
1、定积分运算厂为从a上的可积函数集 到实数集的映射(函数泛函算子,变换) 2、实数的加法运算+:R×R→R(群环域) 3、集合的特征函数zX→0 (集合A与特征函数互相决定) 称x(x)=1x为集A的特征函数, 注:模糊集: f:X→[01 参见:《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》,L. A Zadeh
例 注：模糊集： 参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh f : X →[0,1] 2、 实数的加法运算+: R×R→R (群,环,域) b a 1、 定积分运算 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子, 变换) x A A x A x = 1 0 ( ) : X →{0,1} A 3、 集合的特征函数 （集合A与特征函数互相决定） 称 为集A的特征函数
2集合运算关于映射的性质(像集) 定理:设f:X→Y,A,B,A(a∈T)是X的子集, 称{(x):x∈为的像集,记作(4)则有 )AcB→f(4)cf(B) 2)/(AUB)=f(4U(B)一般地有:f(∪4)=∪f(4 a∈I a∈ 3)/(4nB)cf(/(B,一般地有:f(∩4)=∩f(4) a∈ a∈ 证明的过程略 f(A∩B)=(4nf(B)般不成立如常值映射 等号成立当且仅当/为单射
1 : , , , ( ) { ( ) : } ( ), 1) ( ) ( ); 2) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ); 3) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ); f X Y A B A X f x x A A f A A B f A f B f A B f A f B f A f A f A B f A f B f A f A → = = 定理 ：设 是 的子集， 称 为 的像集，记作 则有： 一般地有： 一般地有： 证明的过程略 等号成立当且仅当 为单射 一般不成立 如常值映射， f f (A B) = f (A) f (B) , 2 集合运算关于映射的性质（像集）
集合运算关于映射的性质(原像集) 定理2:设f:X→Y,AcX,C,DC2(a∈n是Y的子集,称{x:f(x)∈C} 为C的原像集,记作f(X/不一定有逆映射),则有: D)CcD→f(C)cf(D 2f(CUD)=f(Uf(D)-般地有:广(∪C)=∪f(C) a∈I 3)/(CnD)=f(Cnf(D),-般地有:广(∩C)=∩f(C a∈I ∈r 4)(C\D)=f(C)\f(D); 5)f(C)=[f(C) 注:6),7)一般不能使等号 6)Acf[f(4) 成立,6)等号成立当且仅 f为单射,7)等号成立当且仅 ⑦f(C)<C 当f为满射 证明的过程略
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 : , , , , ( ) { : ( ) } ( )( ) 1) ( ) ( ); 2) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ); 3) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ); f X Y A X C D C Y x f x C C f C f C D f C f D f C D f C f D f C f C f C D f C f D f C f C − − − − − − − − − − − − − → = = = = 定理 ：设 是 的子集，称 为 的原像集，记作 不一定有逆映射 ，则有： 一般地有： 一般地有： 集合运算关于映射的性质（原像集） 注：6），7）一般不能使等号 成立，6）等号成立当且仅当 f为单射， 7）等号成立当且仅 当f为满射 证明的过程略 7) [ ( )] ; 6) [ ( )]; 5) ( ) [ ( )] ; 4) ( \ ) ( ) \ ( ); 1 1 1 1 1 1 1 f f C C A f f A f C f C f C D f C f D c c = = − − − − − − −
3对等与势 1)设AB是两非空集合,若存在着A到B的 一映射(既单又满),则称A与B对等 记作【AB 注:称与A对等的集合为与A有相同的 约定國~Φ 势(基数),记作 势是对有限集元素个数概念的推广 )性质 1)反性:A~A 2)对称性:A~B→B~A 3)传递性:A~B,B~C→A~C;
3) ~ , ~ ~ ; 2) ~ ~ ; 1) ~ ; 2) A B B C A C A B B A A A 传递性： 对称性： 自反性： 性质 3 对等与势 1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 注：称与A对等的集合为与A有相同的 势（基数），记作 势是对有限集元素个数概念的推广 A A ~ B ~ 记作 约定
例D 奇数 偶数~Z -5,-4-32,-1,0.12,3,4,5 1,2,34,5,6,7,89,10 1,35,79,11,13,15 2n-1 24,6,8,10,1214,16 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4
1)N ~ N奇数 ~ N偶数 ~ Z 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... 1,3,5,7,9,11,13,15,... 2,4,6,8,10,12,14,16... n 2n-1 2n 0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,... …,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... 例
例2)(-1,1)~(-∞,+∞)f:x→g(2x) 3去掉一个点的圆周~(∞+∞) Galileo在17世纪最 先考虑自然数与自 然数平方的多少 1870 Cantor开始系 统考虑 有限集与无限集的本质区别: 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数(对等) 且一定能做到,而有限集则不可能
2)(−1,1) ~ (−,+) ) 2 f : x tg( x → 3){去掉一个点的圆周}~ (−,+) 有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。 例 Galileo在17世纪最 先考虑自然数与自 然数平方的多少, 1870Cantor开始系 统考虑
基数的大小比较 )若A~B,则称A=B 2)若A~BCB,则称A≤B 相当于:倒B有一个单射,也相当于B到有一个满射 3若A≤B,且A≠B,则称A<B 注:不能用4与B的一个真子集对等描述 如-1,1)~(-1)c(∞,+∞
1)若A ~ B,则称A = B； 基数的大小比较 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , ) − − − + 1 2) ~ , A B B A B A B B A 若 则称 ； 相当于： 到 有一个单射，也相当于 到 有一个满射 3) , A B A B A B A B 若 且 ，则称 注：不能用 与 的一个真子集对等描述
4 Bernstein定理 设A,B是两个集,若有A的子集A,使B~A, 及B的子集B,使A~B,则A~B 即:若A≤B,B≤A,则A=B) 注:要证A=B,需要在A与B间找一个既单又满的映射 而要证A≤B,只需找一个单射即可;从而我们把找既单 又满的映射转化找两个单射。 例:由回L)∈<(+2)(+1可知(=1D)L 试问如何构造两者间的既单又满的映射
~ , ~ . , ~ , * * * * B B A B A B A B A A B A 及 的子集 ，使 则 设 是两个集，若有 的子集 ，使 即：若A B,B A,则A = B.) 4 Bernstein定理 又满的映射转化找两个单射。 而要证 ，只需找一个单射即可；从而我们把找既单 注：要证 ，需要在 与 间找一个既单又满的映射； A B A B A B = 例：由 可知 ， 试问如何构造两者间的既单又满的映射。 (−1,1) [−1,1] (−,+) ~ (−1,1) (−1,1) ~ [−1,1]