《突变函数》课程教学资源（讲义）第一章 集合（1.1）集合与运算

实变函数 第一章集合 第一节集合与运算

第一节 集合与运算 第一章 集合

1.集合的基本概念及运算 差:A-B或A\B={x:x∈A但xB} 余:CA=S-4(其中S为全集)简记为A 注: A-B=A∩BC (A-B∪B=4不一定成立 B 注:书中用C表示包含或真包含关系

1. 集合的基本概念及运算 差：A−B或A\ B ={x : x A但xB} (A− B)B = A不一定成立 A B 注：书中用  表示包含或真包含关系 c 注：A− B = A B 余：Cs A = S − A （其中S为全集）,简记为Ac

2.集簇的交和并 集簇:4∈或(4 为指标集,a为指标 特别当T=N时,称集簇为集列,记为4 集簇的并 A∪B={x:x∈A或x∈B UA={x:3a∈T,使x∈A2} a∈r 注:当=时,如何?

2.集簇的交和并 AB ={x : x A或xB} { : , }    A = x   x A   使 为指标集，为指标 注：当  =  时，如何？ 集簇的并      集簇： {A | }或{A } { } 特别当  = N 时，称集簇为集列，记为 An

集簇的交 A∩B={x:x∈A且x∈B ∩A={x:Va∈I,有x∈An a∈r 注:当=时,如何?

AB ={x : x A且xB} { : , }    A = x   x A   有 集簇的交 注：当  =  时，如何？

例设4,={x:-1-1<x≤1-,n∈N -2-1-1/n-1 01-11 u I=u =[-1,0] uA2=(-2,1 注:在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在N中

例 注：在本书中我们未把0包含在N内, +∞不在Ｎ中 { : 1 1 }, , 1 1 设An = x − − n  x  − n n N [ 1,0] 1  = −  = n n A ( 2,1) 1  = −  = n n A ( ( ] ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1

设/:E→R记EA={x∈E:f()>a,则 [f≥a] n=1[f> (=∩E n=1 [+∞)=(a-1,+∞)(a-n,+∞) a-n [([ 1/na-1/+1a

例 [ ] 1 [ ] 1 n f a n E f a E  −  =  =  设f : E → R,记E[ f a] ={x E : f (x)  a},则 ( [ a-1/n a [ , ) ( , ) 1 1 + =  − +  = n n a a ( ) [ ] 1 1 n f a n E  −  = =  ( [ , )) 1 1  − +  = n n a ( [ ( [ [ a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a

例设/:E→R记EA={x∈E:f(x)>a则 Lf>al ∪E n=1 ∫≥a+ (=∪E n=11/>0 n (,+∞)=Ua+n,+) (=∪(a+1,+∞)) a a+1

例 设f : E → R,记E[ f a] ={x E : f (x)  a},则 [ ] 1 [ ] 1 n f a n E f a E  +  =  =  ( [ a a+1/n ( ( , ) ) 1 1 =  + +  = n n a ( ) [ ] 1 1 n f a n E  +  = =  ( , ) [ , ) 1 1 + =  + +  = n n a a

笛卡尔乘积 A×B={(a,b):a∈A,b∈B} ∏A={(x,x2…,xn):x∈A,=12,…,n} I4=(x,x, x:∈ 思考:如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积?

A B ={(a,b): a A,b B} {( 1 , 2 , , , ): , 1,2, , , } 1 A x x  xn  xi Ai i  n  i  i =  =  = {( 1 , 2 , , ): , 1,2, , } 1 A x x xn xi Ai i n n i  i =   =  = 笛卡尔乘积 思考：如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积？

3集合的运算性质 De morgan公式 G∈I s ∈I (J)。=∩ 注:通过取余集,使A与A,U与∩互相转换

3.集合的运算性质     =     c c ( A ) A     =     c c ( A ) A De Morgan公式 注：通过取余集，使A与Ac ，∪与∩互相转换

4.上、下极限集 设4,4…,A,…是一个集合序列 上极限集 例:设A2=[0,1 im4或 dimsum4) 2n+1 [12l 则上极限集为[0,2] x:x属于无限多个集合A} {x:存在无限多个,使x∈A} {x:VN,丑n≥N,使x∈A1} ∩U N=ln=N

{ : , , } An = x N n  N 使x 设A1 , A2 ,  , An , 是一个集合序列 4.上、下极限集 ( ) { : } { : } lim n n limsup n n n n n A A x x A x A x A → = =  或 属于无限多个集合 存在无限多个 ，使 上极限集   =  = = N 1n N An BN 例：设A2n=[0,1] A2n+1=[1,2]; 则上极限集为[0,2］