《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 测度论（3.1）外测度

实变函数 第三章测度论 第一节外测度

第一节 外测度 第三章 测度论

1.引言 (1) Riemann积分回顾(分割定义域) 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义(非负函 函数图象下方图形的 其中 x:三x:-x b x.1≤2≤x (R)f(x)dhx=hm∑f(5x |→>0

1.引言 i n i i T b a R f x dx =  f x  = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 其中 i i i i i i x x x x x    = − − − 1  1 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi (1) Riemann积分回顾（分割定义域）

新的积分( Lebesgue积分,从分割值域入手) E={x:y1≤f(x)<y y-1≤5;<V 用mE表示E的“长度” (LL,f(x)dx=lin 5;1 [a,b] 6-0 问题:如何把长度,面积体积概念推广?

新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） i n i i a b L f x dx  m E  = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim   yi yi-1 { : ( ) } i i 1 i E = x y  f x  y − i i i y   y −1  用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：如何把长度,面积,体积概念推广?

c圆的面积 外切正n边形的面积(外包) 2兀 SIn In. 2 Rtg 2n R=丌 R2→>mR2(n→>∞) 2 COS 外切 内接 内接正n边形的面积(内填 2丌 2兀 2Rsin 2兀.RcOS n.R2→nR(n→> 2n 2n 2丌

•圆的面积 ( ) 2 2 sin 2 2 cos 2 2 2 sin 2 1 2 2    =   R → R n →  n n n R n n R       内接正n边形的面积（内填） 内接 ( ) cos 1 sin 2 2 2 2 1 2 2    =   R → R n →  n n n R n n Rtg       外切 外切正n边形的面积（外包）

达布上和与下和 上积分(外包) 达布上和的极限 f(x)tx=im∑M (R)f(x)dx=hmn∑f(·Rmm积分 |→>0 下积分(内填)达布下和的极限 f(x)dx m△ 7|-→>0

•达布上和与下和 • Riemann积分 i n i i T b a R f x dx =  f x  = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) xi-1 xi i n i i T b a f x dx = m x  = → 1 || || 0 ( ) lim 下积分（内填） 达布下和的极限 xi-1 xi i n i i T b a f x dx =  M x  = → 1 || || 0 ( ) lim 上积分（外包） 达布上和的极限

jordan测度 Jordan外测度(外包) (mE)=in∑|l:Ec∪/且为开区间 Jordan内测度(内填) (m,E) sp∑l:1,cE且为两两不交的开区间 Jordan可测 (me),=(m,E)

•Jordan测度 ( ) inf{ | |: } 1 1 i 且 i 为开区间 n i n i J i m E I E I I = =  =    Jordan外测度（外包） m E J m E J ( ) ( )   = Jordan可测 sup{ | |: } ( ) 1 1 i 且 i 为两两不交的开区间 n i n i i J I I E I m E =   = =   Jordan内测度（内填）

例:设E为0,1中的有理数全体,则E不 Jordan可测 由于任一覆盖[0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定 能覆盖除有限个点外的[0,1,从而/m2 (mE)=1 () -E0 由于无理数在[0,1中稠密,故任一开区间都不可能含在E内, 从而 (m, E)J=0 所以(mE)≠mE),即E不 Jordan可测

例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测 ( ) =1  m E J 由于任一覆盖[0,1]中的有理数全体的有限开覆盖也一定 能覆盖除有限个点外的 [0,1]，从而 (m E) J = 0 由于无理数在[0,1]中稠密，故任一开区间都不可能含在E内， 从而 m E J m E J ( ) ( )   所以  ，即E不Jordan可测 ( [ ( ) )( )( ( ) ] ) ０ １ ( [ ] ) -ε ０ １ 1+ε

2 Lebesgue 外测度(处包) 定义:设EcR,称非负广义实数(RU{+Q}=R) mE=inf(∑|1|:Ec∪l且为开区间} 为E的 Lebesgue外测度。 与 Jordan外测度比较: (mE)=ift∑||:Ec且L为开区间

2 Lebesgue外测度(外包) 为E的Lebesgue外测度。 定义： ，称非负广义实数 n 设E  R ( { } ) * R  = R inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I  =  =  =    与Jordan外测度比较： ( ) inf{ | |: } 1 1 i 且 i 为开区间 n i n i J i m E I E I I = =  =   

下确界:E=MfS (1)是数集S的下界,即x∈S,5≤x (2)2是数集S的最大下界 即E>0,3x∈S,使得x≤5+E mE=in∑|l,|:Ec∪l且l为开区间 i=1 vE>0,3开区间列使得Ec且mEs∑1|≤mE+ 即:用一开区间列(“近似”替换集合E

下确界：  = inf S (1)是数集S的下界，即xS,  x       xS x  + S 即 使得 是数集 的最大下界， 0, , (2) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I  =  =  =           +   =  = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | | 即：用一开区间列 {I i } “近似”替换集合E

例设E是[0,1中的全体有理数,试证明E的外测度为0 证明:由于E为可数集, 故不妨令E=01Q={,,, VE>0.作开区间=(-m,+m,=1,23 则EC∪且∑|=∑=6 从而mE≤ 再由e的任意性知mE=0

例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 2 1 1 1 | | i i i i i i E I I      = = = 则    =  = 且 0 * 再由ε的任意性知 m E = [0,1] { , , , } 故不妨令E = Q = r1 r2 r3    0,作开区间I i = (ri − 2  i+1 ,ri + 2  i+1 ),i =1,2,3,  m E   从而 * ( ) 1 1 2 2 i i i i i r r r   − + + +