实变函数 第四章可测函数 第四节可测函数结构
第四节 可测函数结构 第四章 可测函数
可测函数 ●可测集E上的连续函数定为可测函数 ●简单函数是可测函数 ●可测函数总可表示成一列简单函数的极限 当可测函数有界时,可作到一致收敛) 问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?
可测函数 ⚫ 简单函数是可测函数 ⚫ 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛） 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ ⚫可测集E上的连续函数定为可测函数
鲁津定理 设x)为E上几乎处处有限的可测函数,则VE>0,闭集FcE 使得m(E-F)<e且fx)在F上连续 去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数) 即:可测函数“基本上”是连续函数 实变函数的三条原理( JE Littlewood) (1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并) 2)任一可测函数差不多就是连续函数 (3)任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列
鲁津定理 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0,闭集F E， 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数 （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 （2）任一可测函数差不多就是连续函数
证明:由于mE=+∞=0,故不妨令x)为有限的参定理的证明 (1)当f(x)为简单函数时, 令(x)=∑cx6(x)(其中E=E,E可测且两两不交) VE>0,及每个E,作E中的闭子集F,使m(E-F)<E(=1,2,…,n) 当x∈E时,fx)=c,所以f(×)在F上连续, 而F为两两不交闭集,故fx)在F=u上连续 显然F为闭集,且有 m(E-F)s∑m(E-F)<∑=E
鲁津定理的证明 证明：由于mE[|f|=+∞]=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i i = 令 = 其中 i i 可测且两两不交） n i ( E E ,E =1 = 0, E E F m(E F ) (i 1,2, ,n) 及每个 i，作 i中的闭子集 i，使 i − i n = − − = = = n i n n i m E F m Ei Fi 1 1 ( ) ( ) i n i F F =1 = 当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有
对fx)在F连续的说明 ●若x在F上连续,而F为两两不交闭集,则f×)F=E 上连续 10 证明:任取eF=UF 存在i,使得∈Fo,f(x)=co, 又F为两两不交闭集,从而x在开集(∪F)中 l≠l0 所以存在>0,使得ox)=(F 从而O(x5)⌒F=O(x5)∩(F)=O(x.。)∩F 故对任意x∈O(x,6)∩F,有fx)-f()|=0,故千连续
对f(x)在F连续的说明 ⚫ 若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续 i n i F F =1 = 故对任意x`∈O(x, δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f 连续 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 1 i i n i O x F = O x F = O x F = 从而 Fi0 ( ) x i n i x F F =1 证明：任取 = 则存在 i0，使得x∈Fi0，f(x)= ci0， c i i i ( F ) 0 又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中 c i i i O(x, ) ( F ) 0 所以存在δ>0, 使得
对x)在F连续的说明 条件F为两两不交闭集必不可少,如: SI xEQ D(x)=10x∈R 函数在每一块上为常值,故在每一块上都连续, 但函数在R上处处不连续 说明:取闭集的原因在于闭集的余集为开集,开集中的点为 内点,从而可取x∈F足够小的邻域不含其他F中的点
对f(x)在F连续的说明 说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi 中的点 函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续 x Q x R Q D x = − 1 0 ( ) { 条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：
鲁津定理的证明 (2)当x)为有界可测函数时, 存在简单函数列{Q(x)在E上一致收敛于fx) 利用(1)的结果知 VE>0,及每个(x),存在闭集FCE, 使m(E-F)<且(x)在Fn上连续 令F=⌒F…则FcE,且m(E-F)≤∑mE-F)<∑=6 n=1 n=1 由{n(x)}在F连续及一致收敛于f(x) 易知f(×)在闭集F上连续
鲁津定理的证明 (2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn (x)} 在E上一致收敛于f(x)， = − − = = = = 1 2 1 1 ( ) ( ) n n n n n 令F F ，则F E，且m E F m E F n 由{φn (x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。 使 且 在 上连续 及每个 ，存在闭集 ， n n n n n m E F x F x F E ( ) n ( ) 0, ( ) 2 − 利用(1)的结果知
鲁津定理的证明 (3)当fx)为一般可测函数时,作变换 kx)=,(a) x (f(x)= 1+|f(x) 1-|g(x) 则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得我们的结果 (连续函数类关于四则运算封闭)
鲁津定理的证明 则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭） ) 1 | ( )| ( ) ( ( ) 1 | ( )| ( ) ( ) g x g x f x f x f x g x − = + = (3)当f(x)为一般可测函数时，作变换
注:(1)鲁津定理推论 若f(x)为EcR上几乎处处有限的可测函数, 则Ⅳ>0闭集FcE及R上的连续函数g(x) 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<(对n维空间也成立) (在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数 鲁津定理(限制定义域) (即:去掉某个小测度集,在留下的集合上连续)
注：(1)鲁津定理推论 鲁津定理（限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续） （在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数） 若f(x)为 E R 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（对n维空间也成立） 则 0,闭集F E， 及R上的连续函数g(x)
鲁津定理推论证明的说明 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并 F=v(a,, b 鲁津定理:设x)为E上几乎处处有限的可测函数 则>0闭集FcE使得m(EF)<e且(x)在F上连续
开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 ai bi 直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并 ( , ) i i i c F = a b 鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 0,闭集F E，使得m(E-F)<ε且f(x)在F上连续