《突变函数》课程教学资源（讲义）第五章 积分论（5.1）Lesbesgue积分的定义及性质

实变函数 第五章积分论 第一节 Lesbesgue积分的定义及性质

第一节 Lesbesgue积分的定义及性质 第五章 积分论

1积分的定义 (1)非负简单函数的积分 设风x)=2x(是E=E(E可测且两两不交) 非负简单函数,定义(L)9(x)x=2cmE 为(x)在E上的 Lebesgue积分 例:对 Dirichlet函数 D(x)=10x101-2 LD(2=10+01=0

1.积分的定义 i n i i E L  x dx c mE = = 1 ( ) ( ) (x) i n i E E =1 ( ) ( ) =  1 x c x Ei n i   i  = 设 = 是 ( Ei可测且两两不交） 上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分 ( ) ( ) =10+01= 0  L D x dx E 有  x Q x Q D x   =  − 1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 例：对Dirichlet函数 0 1 ⑴非负简单函数的积分

2)非负可测函数的积分 设f(x)为E上非负可测函数,定义 (D)f(x)x=sup(D)o(x)t:9(x)为E上的简单函数 0≤(x)≤f(x)} 为x)在E上的 Lebesgue积分 若fx)是E上的可测函数则fx)总可表示成一列 简单函数网(的极限(对)=m(,而且还 可办到(x)图a(3)

⑵非负可测函数的积分 ( ) ( ) sup{( ) ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E L f x dx L x dx x E x f x    =     为 上的简单函数 ， 为f(x)在E上的Lebesgue积分 设f(x)为E上非负可测函数，定义 |1 (x)||2 (x)| f (x) lim (x) n n  → {n (x)} = 若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列 简单函数 的极限 ，而且还 可办到

(3)一般可测函数的积分 设fx)为E上的可测函数,定义 DLf(xk=(D)L/"(xkx-DI/(xyh (要求(D)f(x,(D)/(x不同时为+) 为f(x)在E上的 Lebesgue积分(有积分) 注:当叫/有限时,称x)在E上L 积分的几何意义:(D)f(x0x=mG(E, G(E;f)={(x,y):x∈E,0≤y<f(x)}

⑶一般可测函数的积分 积分的几何意义： (L) f (x)dx mG(E; f ) E =  G(E; f ) ={( x, y): x E,0  y  f (x)} L f x dx E 注：当 ( ) ( ) 有限时，称f(x)在E上 L可积 （要求 (L) E f + (x)dx, (L) E f − (x)dx 不同时为 + ） 为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） L f x dx L f x dx L f x dx E E E + − ( ) ( ) = ( ) ( ) −( ) ( ) 设f(x)为E上的可测函数，定义

2积分的性质 ()零集上的任何函数的积分为0 (2)(x)可积当且仅当(x)可积(f(x)是可测函数) 且f(xxf(x)k If(x)=f(x)-f(x) I f(x)l=f(x)+f(x) 3单调性:若(x)≤g(x,则/(x)xss(xx 4)线形[()+8)k=(x+8( a f(x)dx =al f(ds

⒉积分的性质 ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x + − + − = − = + ⑴零集上的任何函数的积分为0 | ( ) | | ( ) | E E f x dx f x dx    ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 f x g x f x dx g x dx E E ⑶单调性 若 ( )  ( )，则 ( )  ( ) : f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx E E E E E      = + = + ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )   ⑷线形:

(5)设f(x)是E上的可测函数,(x)=0, 证明|(x)=0ae于E 证明令En=EH 用到了积分的可加性 则En为可测集且Ec如=E 从0=J1(x)1()+1(x)2()2mE 可得mEn=0,从而mEM=mEn0≤∑mEn=0 n- 即f(x)=0ae于E

(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E | ( ) | = 0  f x dx E f (x) = 0 0 0 1 = [| | 0] = [| | 0]   =  =   n n 可得mEn ，从而mE f mE f mE n n E E E E E f x dx f x dx f x dx f x dx m E n n n 1 0 = | ( )| = | ( )| + | ( )|  | ( )|  从    −  [| | ] 1 n 令En = E f  n n E f E  =  =  1 且 [| | 0] 证明： 则En为可测集, 即f(x)=0 a.e.于E。 ( [ 0 1/n 用到了积分的可加性

(6)若何积,则印乎处处有限 证明:令En=E f|≥n 则E1E2→E、n=nEn=limE O n->oo n 对每个n,有mBn(x)(x)<+ 所以 lim mE.=0 1→0 从而mE=m(⌒En)=m( lim e)= lim mE=0 n→

(6) 若f可积，则f几乎处处有限. 证明： 令E E n f n = [| | ]  lim 0 n n mE → 所以 = nm E   f x dx   f x dx  + E E n n 对每个 | ( )| | ( )| n，有 ( ) (lim ) lim 0 1 [ | | ] =  = = = → →  = =+ n n n n n n 从而mE f m E m E mE [| | ] 1 , lim f n n n n E E E  =+ = → 则则EE E E 1 1 2 3    =  = E2  E3  且

(7)积分的绝对连续性 若fx)在E上可积,则VE>036>0 及任何可测子集ecE,当me<o时 有f(x-[f(x)≤E 即:当积分区域很小时,积分值也很小 说明:若f(x)}<M则只要取δ=M即可,所以我们要 把fx)转化为有界函数

(7)积分的绝对连续性 说明：若|f(x)|<M,则只要取δ=ε/M即可，所以我们要 把f(x)转化为有界函数。   0,  0, e  E,当me  时,      f x dx f x dx e e | ( ) | | ( )| 若f(x)在E上可积，则 及任何可测子集 有 即：当积分区域很小时，积分值也很小

积分的绝对连续性的证明 证明:由于(x)可积,故x也可积 (x)k=s((x0(E上简单函数 故对任意e,存在E上的简单函数o(x), 且0≤0x4(x) 使在E上0≤o(x)到f(x),且 「oxks1()ksx+,故有(/(x)-x)hks 由于(x)为简单函数,故存在M,使得(x)M 令δ=,,则当ecE,且me<冽时, ffd=(|-9)+p<+M=6

积分的绝对连续性的证明          = − +  + = =       M e e e e M f dx f dx f dx dx M e E me 2 2 2 | | | | (| | ) 令 ，则当 ，且 时，且0 (x) | f (x)|} f x dx x dx x 为E上简单函数， E E | ( )| sup{ ( ) :( )   = 证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积 故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x) ， 2 2 ( ) | ( ) | ( ) , (| ( ) | ( )) E E E E x dx f x dx x dx f x x dx        + −      故有 使在E上 0 (x) | f (x)|,且 由于φ(x)为简单函数，故存在M，使得|φ(x)|<M

Lesbesgue积分 Riemann积分 分割值域 分割定义 (DJn()=加25mE(/(k=加m∑/(x

i n i i a b L  f x dx  mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim   yi yi-1 分割值域 Lesbesgue积分 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx =  f x  = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 分割定义域 Riemann积分