《突变函数》课程教学资源（讲义）第四章 可测函数（4.3）可测函数的收敛性（续）

实变函数 第四章可测函数 第三节可测函数的收敛性(续)

第三节 可测函数的收敛性（续） 第四章 可测函数

各种收敛定义 几乎处处收敛:fn→fa.e于 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 几乎一致收敛:fn→fau.于E 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛 依测度收敛:fn→E Vo>0,有 lim mEu--f10 n→∞

各种收敛定义 f n  f于E   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n n 有 m E 依测度收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 几乎一致收敛: f n → f a.u.于E f n → f a.e.于E 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 几乎处处收敛:

几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理) 设mEfae于E,则n→∫于E( Lebesgue定理 引理:设m0有mm(uEMm)=0

若f n → f a.e.于E，则f n → f a.u.于E 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） [| | ] . . 0, lim ( ) 0 n f f N n N n f f a e E m E    −  → = 若 →    = 于 ，则 有 引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 若f n → f a.e.于E ，则f n  f 于E 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （Lebesgue定理） 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测

叶果洛夫定理的证明 证明:又引理知∨6>0有mm(∪EDn≥)=0 → YA9>0A>032>0想u(E1)<于 oo N=W2K NRZM((NN)∠Z=9 ￥==y 令G=∩(∩E ISTI )6山骊·6CE 山E=E-6=E∪6=∪("=ym-N E (x)FE2一怀到(x) A羊A,A9,Ax∈E9飞“(x)-1()k￥

叶果洛夫定理的证明   0, lim (  [| − | ] ) = 0  → =  f f  N n N n 证明：又引理知 有 m E 1 1 [| | ] 2 0, 0, 0, ( ) k n k k k k f f n N N m E      −  = 从而        有 { ( )} ( ) | ( ) ( )| 1 1 f x E f x N n N x E f x f x n k k k n k 即 在上 一致收敛到 故 ， ， ， ，有           −  ( ) [| | ] 1 1 n k k f f k n N c E E e E e E −   =  = = − =  =    而           = =     = −   =  = −   =  = k n k k n k k k f f k n N f f k n N m e m E e E e e E 2 1 [| | ] 1 [| | ] 1 ( ) ( ), 1 令 1 则 可测， 且

fn→>fae.于E k=1M=m=ND个=0 冷→m(∪∩∪E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue 户m(Q以 Eu,-/26)=0(VE)(2)定理的证明的说明 N→∞n=Nfn-/≥1)=0 mmm((丿 (3) 叶果洛夫定理的证明 fn→>fal.于E(4) Lebesgue定理的证明 im m(e fx-f|≥E )=0(5) (5)<(6) fn→厅E(6) 引理mE<+∞ (1)兮(2)=(3)→(

(1) (2) (3) (4) (5) (6)      引理：mE<+∞ lim ( ) 0 (3)  [| − | ] =  → = f f  N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1      =      = → −   =  = −   =  =  = f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e于E 对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue 定理的证明的说明 (6) lim ( ) 0 (5) [| | ] f f E m E n f f N N  于 −  = →  Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 f f a.u. E (4) n → 于

fn→>fae.于E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue 令m(∪∩∪E k=1N=1n=NJn-≥k )=0 定理的证明的说明 Nn10)=0(∨E)(2)叶果洛夫定理的证明 →m(∩∪E Lebesgue定理的证明 Nn=N2)=0 lmm(∪E (3) (5)+(6) 下证明由(3)推出(2) 引理:mE +00 v>0由m(E0a)(e(2)≥(3)=(4) m(∪un1x)→>0N→>∞ n=N 可知m(E ≥)=0 N=In=N

(1) (2) (3) (4) (5) (6)      Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(3)推出(2) ( ) 0 ( ) 0 0, ( ) [| | ] 1 [| | ] [| | ] 1   =   → →      −   =  = −   = −   =  =     f f N n N f f n N f f N n N n n n m E m E N m E 可知 （ ） 由 lim ( ) 0 (3)  [| − | ] =  → = f f  N n N n m E 对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue 定理的证明的说明 ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1      =      = → −   =  = −   =  =  = f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e于E

对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明 叶果洛夫定理的证明 Nn=-1fn,-f2)=0 imm(∪E (3) lebesgue定理的证明 fn→>fau.于E(4) 引理:0,3可测子集ecE,me0,K>0.Vmn≥K,x∈E-e,有fx)-f(x)kE 从而当N≥时,mE)≤mUEn n=k Im-f2E]mek<8 N2mm=210-/12=0注:叶果洛夫定理的逆定理成立 即limm(∪E

(1) (2) (3) (4) (5) (6)        Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(4)推出(3)             − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , K n K x E e f x f x e E m e 有 n 可测子集 由f n → f a.u.于E可知： [| | ] [| | ] ( ) ( ) n n f f f f n N n K N K m E m E me      −  −  = = 从而当       时， f f a.u. E (4) n → 于 lim ( ) 0 (3)  [| − | ] =  → = f f  N n N n m E 对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明 [| | ] lim ( ) 0 n f f N n N m E   −  → = 即  = 注：叶果洛夫定理的逆定理成立

注:a叶果洛夫定理的逆定理成立,无论mEfae于E 几乎一致收敛 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 Vo>0,可测子集ecE,me< 使得f在E=E-e上一致收敛于f(x) 几乎处处收敛 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 Ln+fI 0

注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE<+∞或mE=+∞， 即：若f n → f a.u.于E，则f n → f a.e.于E 几乎一致收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ( ) 0, , , f E E e f x e E m e 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = −         几乎处处收敛: 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 [ f → f ] = 0 n E

叶果洛夫定理的逆定理 即:若→fa于E,则→fae于E 证明:由条件知V,存在可测集EcE 使E-E)0(n→>∞ 从而m(E=E)=0 另外显然f1(x在E=E上点点收敛于(x) n=1 所以fn(x)在E上ae收敛于fx)

1 n n E E  = 令  =  1 ( ) ( ) 0( ) m E E m E E n n n ，则 −  −  → →   从而m E E ( ) 0 − =  n n E E  =  =  另外显然 1 fn (x) 在 上点点收敛于f(x) 所以 fn (x) 在E上a.e.收敛于f(x) n  1 En  E m E En n 1 ( − )  证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn (x) 在 En上一致收敛于f(x) ， 当然fn (x) 在En 上点点收敛于f(x) 即：若f n → f a.u.于E，则f n → f a.e.于E 叶果洛夫定理的逆定理

注:b.叶果洛夫定理中条件mE0,3可测子集ecE,me0,3N>0 n≥Na,x∈E-e,有fn(x)-f(x)k0,可测子集ecE,me0,N>0 Bn≥N,Bx∈E-e,有f(x)-f(x)≥E δ=,可测子集ecR,me0 Bn=N≥N,3x∈(R+-e)∩(nn+1)有|fx)-f(x)=1≥E

注: b.叶果洛夫定理中条件mE<+∞不可少 不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛         − −           , , | ( ) ( )| 0, , , 0, 0, n N x E e f x f x e E me N 有 n 可测子集      =    −  + − =   =     =   + + , ( ) ( , 1), | ( ) ( )| 1 , , , , 0, 2 1 2 1 n N N x R e n n f x f x e R me N 有 n 可测子集 几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛            − −           , , | ( ) ( ) | 0, , , 0, 0, n N x E e f x f x e E m e N 有 n 可测子集 n 1 (0, ] 0 ( , ) ( ) { x n n x n f x  例 =  + 在R+上处处收敛于f(x)=1 ,但fn不几乎一致收敛于f于R+