《突变函数》课程教学资源（讲义）第二章 点集习题讲解

实变函数 第二章点集 习题讲解

习题讲解 第二章 点集

1开集减闭集的差集是开集, 闭集减开集的差集是闭集 证明:利用A-B=A∩B, 开集的余集是闭集,闭集的余集是开集, 以及有限个开集的交仍是开集, 有限个闭集的交仍是闭集即得。 差:A-或AB={x:x∈A但xgB A∩B={x:x∈A且x∈B A-B=AOB

1 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集 证明：利用A-B=A∩Bc ， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 有限个闭集的交仍是闭集即得。 AB ={x : x A且xB} 差：A−B或A\ B ={x : x A但xB} c A− B = AB

2每个闭集必是可数个开集的交, 每个开集必是可数个闭集的并 证明:设E为闭集,取=Ox, 则Gn为开集,E∈G E 从而Ec∩Gn,下证⌒GcE n=1 =1 任取 x∈∩G,则1,有x∈G=∪O ∈E 进一步有丑x∈E,使得x∈O3,即1x2-xk

2 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并 E G Gn E n n n      =  =1 1 从而 ,下证 Gn E 1 1 1 ( , ) 1 1 ( , ) , , , , , | | n n n n n x n x E n n x n x G x G O x E x O x x  =      =     −  则 有 进一步有 使得 即 任取 ( , ) 1 n x E n G O x  =  E  Gn 证明：设E为闭集，取 则Gn为开集

任取 ∈∩G,则V1,有x∈G=∪O n- x∈E(x) 进一步有xn∈E,使得x∈O11即1x-xk 从而中点列{x2}使得mx=x 再由E为闭集,可得x∈E 从而每个闭集必是可数个开集的交, E 通过取余集即得每个开集必是可 数个闭集的并

Gn E 再由E为闭集，可得x∈E 从而每个闭集必是可数个开集的交， { } lim n n n E x x x → 从而  = 中点列 使得 通过取余集,即得每个开集必是可 数个闭集的并. 1 1 1 ( , ) 1 1 ( , ) , , , , , | | n n n n n x n x E n n x n x G x G O x E x O x x  =      =     −  则 有 进一步有 使得 即 任取

3设f(X)是直线上的实值连续函数,则对任意常数 a,E={xf(x)>a}是开集,而E{f(x)≥a是闭集 要证E=(x)>a}是开集,只要证E中的点都为内点 证明:任取x0∈E={x(x)>a},则f(x0)>a2 由邱(x)在x处连续及极限的保号性知, 存在6>0,当x-x0a f(x0) 即O(x0,)∈E={xfx)=a} f(x0)-8 即x0为E的内点,从而E为开集 类似可证{xx)<a}为开集, 从而{x(x)a}={xfx)<a}是闭集

3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a，E={x|f(x)>a}是开集，而E1={x|f(x)≥a}是闭集 要证E={x|f(x)>a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点 ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ>0,当|x-x0 |a 证明：任取x0 ∈ E ={x|f(x)>a},则f(x0 )>a, 类似可证{x|f(x)a}, 即x0为E的内点，从而E为开集；

3设f(X)是直线上的实值连续函数,则对任意常数 a,E=f(x)>a}是开集,而E={x(x)2a是闭集 另证:要证E={×x)2a是闭集,只要证EcE 任取∈E={xf(x)≥a},则存在E中的点列{xn}, 使得mx 由x)在x处连续及xn)a,可知fx0)a 所以x∈{xxa},从而{xx)a}是闭集, 类似可证{xx)≤a}为闭集, 注:用到了 从而{x(x)>a}={xf(x)≤a}是开集 极限保持不等号 前面的证明用 极限的保号性

3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a，E1={x|f(x)>a}是开集，而E={x|f(x)≥a}是闭集 注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性 另证：要证E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证 E ' E 0 lim x x n n = → 任取x0 ∈ E' = {x|f(x)≥ a} ',则存在E中的点列{xn} , 使得 由f(x)在x0处连续及f(xn )≥a ，可知f(x0 )≥a 所以x0 ∈ {x|f(x)≥ a} ,从而{x|f(x)≥a} 是闭集， 类似可证{x|f(x)≤a} 为闭集, 从而{x|f(x)>a} = {x|f(x) ≤a} c是开集

4fx)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a E={xf(x)≤a}和E1{x(x)≥a}都是集 证明:我们只要证明充分性: 假如f(x)在某点x处不连续, 则彐E>0,1,3xn∈R使xn-x0kn,但|f(x)-f(x)≥E 从而x∈{x:(x)≤f(x)E或xn∈{x:f(x)≥f(x)+e 不妨令有无限多x在{x:f(x)≤f(x)-E中, 令这无限多项为xn,则xn→xn(i→>) 由{x:f(x)≤f(x)-E}为闭集, 可知x∈{x:f(x)≤f(x0)-b} 从而f(x)≤f(x)-,得到矛盾,所以(x)连续

4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a， E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 证明：我们只要证明充分性： 从而f (x0 )  f (x0 ) −，得到矛盾，所以f (x)连续。 可知 ： ， 由 ： 为闭集， { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } 0 0 0     −  − x x f x f x x f x f x 令这无限多项为 ，则 ） 不妨令有无限多 在 ： 中， → →   − x x x i x x f x f x ni ni n ( { ( ) ( ) } 0 0  从而xn {x：f (x)  f (x0 ) −}或xn {x：f (x)  f (x0 ) +}， 0 1 1 0 0 ( ) 0, , , | | , | ( ) ( ) | , n n n n n f x x      −  −    x R x x f x f x 假如 在某点 处不连续， 则 使 但

4f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a E={xf(x)≤a}和E=f(x)≥a都是闭集 另证:我们只要证明充分性: 由条件知对任意实数c, x:f(x)>c},{x:f(x)0,{x:f(x)-E0,使得 0(x0,6)c{x:f(x)E<f(x)<f(x)+e} 因为x是(x:f(x)-E<f(x)<f(x)+E的内点 也即当x-x0k<c时,有f(x)-f(x)kE 所以(x)在x处连续

4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a， E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 另证：我们只要证明充分性： 所以 在 处连续。 也即当 时，有 0 0 0 ( ) | | | ( ) ( )| f x x x − x   f x − f x   ( { ( ) ( ) ( ) } ) ( , ) { ( ) ( ) ( ) } 0, 0 0 0 0 0 0 因为 是 ： 的内点 ： 从而 使得       −   +  −   +   x x f x f x f x O x x f x f x f x ： ： 为开集， ： { ( ) ( )} { ( ) ( ) } 0,{ ( ) ( ) ( ) } 0 0 0 0      = −    +   −   + x f x f x x f x f x x f x f x f x 任取 ，下证 在 处连续 ： ： 都为开集， 由条件知对任意实数 ， 0 0 ( ) { ( ) },{ ( ) } x R f x x x f x c x f x c c   

5设f(x)在O(x0,)上有定义,称 o(o)=lim sup f(x)-f(x):x, x EO3 o) 6→>0 为f(x)在x处的振幅,若f(x)在开集G上定义,则 对任意实数t,点集x∈G:O(x)<为开集 随δ的减少而减少 f(x)在区间(a,b)上的振幅 o(anb)刀)=sup{f(x)-f(x):x,x∈(an,b) sup{f(x):x∈(a,b)}-inf{f(x):x∈(a2b

5 设f(x)在O(x0 , δ)上有定义， 称 为f(x)在x0处的振幅，若f(x)在开集G上定义，则 对任意实数t，点集 为开集 ( ) lim sup{| ( ) ( )|: , } ( , ) ' '' ' '' 0 0 0    O x x = f x − f x x x  → {xG :(x)  t} f(x)在区间(a,b)上的振幅 ' '' ' '' ' ' '' '' (( , ); ) sup{| ( ) ( ) |: , ( , )} sup{ ( ) : ( , )} inf{ ( ) : ( , )} a b f f x f x x x a b f x x a b f x x a b  = −  =  −  （ ） x０ 随δ的减少而减少

只要证明x∈G:o(x)0,使O(x2δ”)cG, {x∈G:0(x)0 所以8">0,使up{f(x)-f(x")x,x"∈O(xn26")⌒G}<t2 (极限的保号性) 取δ=min{6,",下证O(x,8)c{x∈G:(x)<

５的 证明 min{ ', "}, ( , ) { : ( ) }, O x x G x t 0 取     =    下证 故 使 ， 由于 为开集，O x G G   ' 0, ( 0 , ')  ( , ' ) O x 0  0 0 0 0 ( ) limsup{| ( ') ( ") |: ', " ( , ) } , " 0, sup{| ( ') ( ") |: ', " ( , ") } , ( x f x f x x x O x G t f x f x x x O x G t      → = −      −    由 于所以 使 极 限 的 保 号 性） ( , ) ( , " ) O x 0  = O x 0  x G x t x x G x t      ( ) { : ( ) }, 0 0 0   则 ，且 任取只要证明{x  G:(x)  t}中的点都是内点即可, {xG :(x)  t} G  x