实变函数 第 合 第三节可数集
第三节 可数集 第一章 集合
1可数集的定义 与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集,其基数记为 1 2,3,4,5,6 ,+,3,0, a1,a2,a3,a4,a5,a6,… 注:A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,} 例:1)Z={0,1,-1,2,-2,3,-3,…} 2)[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1525,}
注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1 , a2 , a3 , …} 1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , … 例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3，…} 与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为 0 １可数集的定义 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
2可数集的性质(子集) 任何无限集合均含有可数子集 (即可数集是无限集中具有最小势的的集合) 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在MI{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1,a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1323232,}
假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1 ,a2 ,a3 ,...} 任何无限集合均含有可数子集 （即可数集是无限集中具有最小势的的集合) ２ 可数集的性质（子集）
推论可数集的子集或为有限集或为可数集 证明:设A是一个可数集,则A中的元素可以排列成 若A是A的有限子集,则得证 若A是A的无限子集,则A中的元素必是上述序列 中的一个无穷子序列: n1?n22n32 nk 2 从而A={an,an,an,…;an,是可数集
可数集的子集或为有限集或为可数集 证明：设A是一个可数集，则A中的元素可以排列成: a1 ,a2 ,a3 , ,an , 中的一个无穷子序列： 若 是 的无限子集，则 中的元素必是上述序列 若 是 的有限子集，则得证； * * * A A A A A an1 ,an2 ,an3 , ,ank , 从而A * ={an1 ,an2 ,an3 , ,ank , }是可数集。 推论
可数集的性质(并集) 有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集 Afar, a2,a3, a4,a5,a6 B={b1,b2,b3…bn 当集合有公共元素时 C={c1,C2C32C42C5,C2…} 不重复排。 假设A,B,C两两不交,则 A∪B={b1b2,b3,…,bn,a12a2,a3,…} A∪C={c1,a12C2a2,C32a3,…}
可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 A={a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …} 当集合有公共元素时， 不重复排。 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1 , b2 , b3 , … , bn ，a1 , a2 , a3 , …} •可数个可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 C= {c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , …} B={b1 , b2 , b3 , … ,bn} A∪C={ c1 , a1 , c2 , a2 , c3 , a3 , …}
114l12?413,xl14 可数个可数集的并 仍为可数集的证明 219 22C 235224 说明 32 339 34 与 Hilbert旅馆问题比较 如何把无限集分解成无 限个无限集合的并? 415244244135(2447 当A.互不相交时,按箭头所示,我们得到一个无穷序列 当A有公共元时,在排列的过程中除去公共元素; 因此4是可数集 n=1
当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素； . 1 因此 是可数集 n= An 11 12 13 14 a a a a , , , ， 21 22 23 24 a a a a , , , ， 31 32 33 34 a a a a , , , ， 41 42 43 44 a a a a , , , ， ,,, ， A1 A2 A3 A4 可数个可数集的并 仍为可数集的证明 说明: •与Hilbert旅馆问题比较; •如何把无限集分解成无 限个无限集合的并?
例全体有理数之集Q是可数集 首先[0,1]中的有理数全体 0,1,1/2,132/3,14,3/4,152/5,}是可数集, 2 Q=(Q0)Q-1(n12)([2,-1y 所以Q是可数集(可数个可数集的并) 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下)
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集， Q = (Q [0,1]) (Q [−1,0]) (Q [1,2]) (Q [−2,−1]) 例 全体有理数之集Q是可数集 [ ][ ][ ][ ][ ][ ] -2 -1 0 1 2 3 4 所以Q是可数集（可数个可数集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下)
3可数集的性质(卡氏积) 有限个可数集的卡氏积是可数集 设A,B是可数集,则A×B也是可数集 A×B={(x,y)x∈A,y∈B} =∪{(x,y)y∈B} x∈A 从而AXB也是可数集(可数个可数集的并)x固定,在变 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集 A B ={(x, y)| x A, yB} 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 3 可数集的性质（卡氏积） {(x, y)| y B} x A = x固定，y在变
例平面上以有理点为圆心,有理数为半径的圆全 体A为可数集 证明:平面上的圆由其圆心(xy)和半径r 唯一决定,从而 4~Q×Q×Q={(x,y,)x,y∈Q,r∈Q} (x,y)
例 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全 体A为可数集 证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而 ~ {( , , )| , , } + + A QQQ = x y r x yQ r Q r (x,y)
例若A≥N。,B≤N0,则AUB=A 有限集与可数集的并仍为可数集 可数集并可数集仍为可数集 N<F士甲 N=道上用准回中FY年 B A\M g∩W∩V)=g∩p (a∩)∩(wV) F=w∩() F=日∩F
, , . 若A 0 B 0 则A B = A 0 A 由于 0 = M 使得 , M 中可以取出子集 A 故从 或有限或可数 B 知, 0 B 由 B M) M\ A( = B A 从而 A = B A 所以) B M( ) M\ A( = A = M) M\ A( ~ 例 •有限集与可数集的并仍为可数集 •可数集并可数集仍为可数集 A A\M M B