实变函数 第二章点集 第三节点集间的距离
第三节 点集间的距离 第二章 点集
Cantor集 对[0,1区间三等分,去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为 Cantor集 1
Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集
集 1. Cantor (定义:令G=Um n.I 称P=0,1]-G=[0,1G为 Cantor集 第n次去掉的开区间留下的闭区间 i=1,2 2 2 (2 i=1,2,…2 n i=1.2.…2 (n 1,2,…2′
1.Cantor集 第n次 去掉的开区间 留下的闭区间 1 2 n I (1) i =1 i 1,2 (1) I i i = (2) 2 1,2 I i i =1,2, 2 I (2) i = i 1 ( ) 1,2, 2 i n n I i − = n n i I i 1,2, 2 ( ) = i n n i G I ( ) , ⑴定义：令 = 称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集
(2 Cantor集的性质 n134 a分割点一定在 Cantor集中 二 Cantor集P=[0,1-G01]∩G为闭集 G=∪l b.P的“长度”为0,去掉的区间长度和 2 注:第n次共去掉2n1个长为1/3的开区间
⑵Cantor集的性质 i n n i G I ( ) , = a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集 注：第n次共去掉2 n-1个长为1/3n的开区间 1 1 2 3 1 3 2 3 1 1 1 = − = − = n n n b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和
C.P没有内点 证明:对任意ⅹ∈P,ⅹ必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3的互 不相交的某个闭区间中rm VE>0,当<时,有/()cOx, 但由 Cantor集的作法知,我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间,从而O内至少有一点不属于P, 所以x不可能是P的内点 第n次等分留下的区间 X-8X X+e 第n+1次等分去掉的区间
c. P没有内点 ( ) x-ε x x+ε 第 n+1次等分去掉的区间 第n次等分留下的区间 1 ( ) 3 0, n n i I O 当 时，有 （x, ） 但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P， 所以x不可能是P的内点。 O（x,） ( ) n i I 证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2 n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中
d.P中的点全为聚点从而没有孤立点 证明:对任意ⅹ∈P, 只要证:V6>0,有O10(P-{x)≠① 由Cano集的作法知6>,及某个,使O=/0 而m的两个端点定在P中, 从而O∩(P-{x})≠Φ 从而x为P的聚点,当然不为孤立点 第n次等分留下的区间 (n) X+6
d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 从而O( x, ) (P −{x}) 从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 0,有O( x, ) (P −{x}) 证明：对任意x ∈ P ， 只要证： 1 ( ) ( , ) 3 , , n n x i n i O I 及某个，使 (n) i I 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中， 第n次等分留下的区间 ( ) x-δ x x+δ n n i I 3 1 | | ( ) =
数的进位制简介 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数 十进制小数相应于对[O,1]等分 ●二进制小数相应于对0,1二等分 ●三进制小数相应于对[O,1]等分 说明:对应[0,1+等分的端点有两种表示,如 0.2000000 0.1999999 (十进制小数)
数的进位制简介 ⚫ 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 ⚫ 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 ⚫ 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数） 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数
e.P的势为S利用二进制,三进制证明) 证明思路:把[0,1区间中的点都写成三进制小数, 则 Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点 的全体,从而 Cantor集为小数位只是0,2的点的全 体,作对应 (三进制数0a4a2a3…→>0.号号…(二进制数) 说明:三等分的端点有必要特殊考虑,因为它有两种表示,如 0.1000000222.(三进制小数) 0.2000000.=0.1222222 注: Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点
e. P的势为 （利用二进制，三进制证明） 证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数， 则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点 的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全 体，作对应 ( )0. 0. ( ) 1 2 3 2 2 2 三进制数 a a a → a1 a2 a3 二进制数 注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点. 说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如 0.1000000… = 0.0222222… （三进制小数） 0.2000000… = 0.1222222…
Canto函数 ( Cantor集为三等分去掉中间一个开区间,如此过程一直下8 3/4 1/2 3/8 如此类似取值一直定义下去 18 01/9 1/3 2/3
Cantor函数 （Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1/9 1/3 2/3 1 1/2 1/8 1/4 3/8 5/8 7/8 3/4 如此类似取值一直定义下去
Cantor函数G(x) a在G=[0,1-P的各构成区间上, 如前图规定:在第n次去掉的2n1个开区间上依次取值为 2 2 b规定p(00(1) (G)为0的所有二等分点全体 c当∈P=(0时规定x)=sup(00t∈G且<x 称(x)为0,上的 Cantor函数。 显然在[0,1上单调不减
Cantor函数 a.在G=[0,1]-P的各构成区间上， (x) (x) c.当 x P −{0,1} 时,规定 (x) = sup{(t):t G且t x} 称 为[0,1] 上的Cantor函数。 显然在[0,1]上单调不减 b.规定 ( 0 ) = 0 (1) =1 1 2 1 3 5 2 2 2 2 , , , , ; n n n n n − 如前图规定:在第n次去掉的2 n-1个开区间上依次取值为 ( G)为[0,1]的所有二等分点全体