实变函数 第三章测度论 第二节可测集
第二节 可测集 第三章 测度论
Lebesgue外测度(外包) mE=inf(∑|1|:Ec∪1且l为开区间} E>0,开区间列{1},使得Ec∪1且mE≤>|1|≤mE+E i=1 即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交) m(,An)≤∑mAn n=1
Lebesgue外测度(外包) n n n n m A m A * 1 1 * ( ) = = 次可数可加性(即使Ａn两两不交) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I = = = 即：用一开区间列“近似”替换集合E + = = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |
1可测集的定义 若vTcR",有mT=m(T∩E)+m(T∩E ( Caratheodory条件),则称E为 Lebesgue可测集, 此时E的外测度称为E的测度,记作mE E T∩E|T∩E 注: Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法
1.可测集的定义 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 E E c T∩E T∩Ec , n 若T R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有 mE （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作
例:零集E必为可测集 证明:vTcR 有mT≤m(TE)+m(T⌒E ≤m(E)+m()≤m(T 从而mT=m(TE)+m:(T∩E 即E为可测集。 下TcR,有m7=m(T⌒E)+m(T∩E)
例：零集E必为可测集 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m T m T E m T E m E m T m T + + 有 n 证明：T R * ( ) ( )c m T m T E m T E 从而 = + 即E为可测集。 , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E 有
2 Lebesgue可测集的性质 a)集合E可测(即TcR",有mT=m(⌒E)+m(T∩E) ∨AcE,BCE,有m(A∪B)=m'(4)+m(B) 证明:(充分性)TcRn 令A=T∩E,B=T⌒E即可 (必要性)令T=A∪B
2.Lebesgue可测集的性质 证明：(充分性） n T R 令A = T E,B = T E c 即可 (必要性)令 T = A B A E,B E c ,有 ( ) ( ) ( ) * m A B = m A + m B , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E （ 有 a）集合E可测（即 ）
(b)若ABA可测,则下述集合也可测 A,AUB,A∩B,A-B,∩A1,A 即可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并,以及极限运算封闭; 若A∩B=①,则∨T<R 有m(T∩(AB)=m(∩A)+m(T∩B) 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
即可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭； 1 1 , , , , , c i i i i A A B A B A B A A = = − （b）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测 n 若A B T R = ，则 * m T A B m T A m T B ( ( )) ( ) ( ) 有 = + 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并,以及极限运算封闭 若A两两不交,则(测度的可可加性) m(1A1)=>m1 z=1 若AB可测,A∈B,mA<+∞ 则有可减性m(B-4)=mB-mA
若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性） = = = 1 1 ( ) i i i i m A m A 若 A,B可测， 则有可减性 A B,mA +, m(B − A) = mB− mA 可测集类关于差，余，有限交和可数交， 有限并和可数并，以及极限运算封闭；
证明:由可测集的定义:VTcR 有mT=m(nE)+m(TE 易知A可测 若A∪B可测已证明,则易知 若当A为两两不交时, A∩B=(A∪B) ∪A可测已证明,则通 A-B=A0B 过令Bn=An-∪A可 也可测。 把一般情形转化为两 两不交情形;通过取 余即可证明⌒A可测
也可测。 若 A B 可测已证明，则易知 c c c A B = (A B ) c A− B = AB n T R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有 易知Ac可测 证明：由可测集的定义： 余即可证明 可测 两不交情形 通过取 把一般情形转化为两 过令 可 可测已证明 则通 若当 为两两不交时 i n i i n i n n i i i A B A A A A 1 1 1 1 ; , , = − = = = −
B 下面证明若A,B可测, A 则A∪B可测 (3) 证明:VTcR 有mT≤m(T∩(AUB)+m(T(AUB)) ≤(m(1)+m(2)+(m(3)+m(4) m()y(2)+m(3)(4)(B可测 m(1)∪(2)∪(3)(4))(4可测) 从而mT=m(T(A∪B)+m(T(AB))
* * * *** ( ( )) ( ( ) ) ( (1) (2)) ( (3) (4)) ((1) (2)) ((3) (4)) ( ) ((1) (2) (3) (4)) ( ) ( ) c m T m T A B m T A B m m m m m m B m A m T + + + + = + = = 有 可 测 可 测 * ( ( )) ( ( ) )c m T m T A B m T A B 从 而 = + n 证明： T R (1) (2) (3) (4) Ｔ B A A B 下面证明若A,B 可测， 则 可测
下面证明若A,两两不交,则团m(A)=∑m4 证明:VTcR,有 m7=m((A)+m(7(4)从而∪A可测 i=1 2m((a4)+m((4)并用7=4代 ∑m(4)+m(7⌒(g4)入(*)式, 从而m7≥∑m(4)+m(m(4)(得结 论 ≥m(T(A1))+m(T∩(A)°) 另外显然有mT≤m(T(A)+m(T(A) 从而mT=m(7(A)+m(7aA1)°
( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) 1 * 1 1 * 1 1 * 1 c i i n i i c i i i n i c i n i i n i m T A m T A m T A m T A m T m T A m T A = = = = = = = + + = + ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (*) 1 * 1 1 * 1 c i i i i c i i i i m T A m T A m T m T A m T A = = = = + 从而 + ( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A = = 另外显然有 + 证明：T R n ，有( ( )) ( ( ) ) 1 * 1 c i i i i m T m T A m T A = = 从而 = + 即得结论 入（ ）式， 并用 代 从而 可测 * , 1 1 i i i i T A A = = = = = = 1 1 ( ) i i i i 下面证明若A m A mA i 两两不交，则