《突变函数》课程教学资源（讲义）第四章 可测函数（4.2）可测函数的收敛性

实变函数 第四章可测函数 第二节可测函数的收敛性

第二节 可测函数的收敛性 第四章 可测函数

1函数列的几种收敛定义 ()点收敛:记作→厅于E x∈E,VE>0,N>0,Vn≥N,有f(x)-f(x)k (2)一致收敛 VE>03N>0Vm≥N2x∈E,有/(x)-f(x)kE 注:近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 XI 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制

⒈函数列的几种收敛定义   x E,  0,N x  0,n  N x ,有| f n (x) − f (x)| ⑵一致收敛:     0,N  0,n  N ,x E,有| f n (x) − f (x)| 注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fn (x)=xn ⑴点点收敛: 记作 f n → f于E

例:函数列 f(x=xn 在(0,1)上处处收敛到 fx)=0但不一致收敛 但去掉一小测度集合 1-8,1),在留下的集合 上一致收敛

1 - δ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.81 例：函数列 fn (x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛 到 f(x)=0, 但不一致收敛 ， 但去掉一小测度集合 (1 -δ,1),在留下的集合 上一致收敛 fn (x)=xn

3几乎处处收敛:记作L→fae于 Almost everywhere) 即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处 (几乎一致收敛记作A→>fa于E( almost uniformly 卩:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 δ>0,可测子集ecE,me0,彐可测子集ecE,me0,N6>0,Vn≥N,x∈E-e,有f(x)-f(x)kE

⑶几乎处处收敛: 记作 f n → f a.e.于E (almost everywhere） f E E e f e E me 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = −        0, ,  ,                − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑷几乎一致收敛:记作 f n → f a.u.于E (almost uniformly) [ f → f ] = 0 n E

(依测度收敛:记作A→门E Vo>0,有 lim mEun-f2o 0 n→)00 o>0,Ve>0, No>0,Vn>Nso, A mEw,-/a<& 注:从定义可看出, ●几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零 测度集外 ●依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛,其要 点在于误差超过o的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零,而不论点集的位置状态如何

⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， ⚫ 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） ⚫ 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何 f n  f于E   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n n 有 m E [| | ] 0, 0, 0, , n             N n N E    有 f f −  m

不依测度收敛 日a>0,使得mE不收敛于0 a>0,3E>0,VN>0,3n≥N,使得nNE 依测度收敛 Va>0,有 lim mEu=ma1=0 Va>0,VE>0.,3N>0,Mn≥Na,有mE1mnan1<E

不依测度收敛 [| | ] 0, 0, 0, , n             N n N E    有 f f −  m   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n 有 m E n 依测度收敛   0,使得 [| f − f | ] 不收敛于0 n m E 0, 0, 0, , [| | ] n             N n N E 使得m f f − 

2.几种收敛的区别 (1)处处收敛但不依测度收敛 f(x)= I xE(O, n x∈(n,+00) 在R上处处收敛于fx)=1 说明:当n越大,取1的点越多,故{f(x)}在R+上处处收敛于1 对0<σ<1有mm5nma1=mm(n,+∞)=+ 所以{x)在R+上不依测度收敛于1,另外{不几乎一致收敛于1

⒉几种收敛的区别 说明：当n越大，取1的点越多，故{fn (x)}在R+上处处收敛于1   = +  = + → −  → 0 1, lim lim ( ) 对 有 m E[| | ] m n， n f f n  n  （1）处处收敛但不依测度收敛 n ( ) { 1,2,  1 (0, ] 0 ( , ) = =   + f x n x n n x n 在R+上处处收敛于f(x)=1 , 所以{fn (x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn }不几乎一致收敛于1

fn不几乎一致收敛于f δ>0.,V可测子集ecE,me0,N>0,3n≥N,3x∈E-e,使|fx)-f(x)E 即:去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上仍不一致收敛 几乎一致收敛记作团→f4M于E( almost uniformly) 即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一 δ>0,3可测子集ecE,me0,3可测子集eCE,me0.,3Na>0,Mn≥N2Mx∈E-e,有|f(x)-f(x)kE

fn不几乎一致收敛于f f E E e f e E me 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = −        0, ,  ,                − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 几乎一致收敛:记作 a u E (almost uniformly) f f n → . .于 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛             − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E m e 使 n 可测子集 即：去掉 任意 小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛

6不几乎一致收敛于f δ>0,V可测子集eCE,me0,N>0,3n≥N,3x∈E-e,使|(x)-f(x)≥E 即:去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上仍不一致收敛 f(x)=(不几乎一致收敛于1x) 彐δ=1>0,V可测子集eCE,me0,N>0, Bn=N≥N,3x∈(E-e)(n,n+1)使|(x)-f(x)E

fn不几乎一致收敛于f             − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E m e 使 n 可测子集 即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛      =    −  + −   =      =    , ( ) ( , 1), | ( ) ( )| 0, , , 0, 0, 2 1 2 1 n N N x E e n n f x f x e E me N 使 n 可测子集 1 (0, ] 0 ( , ) ( ) { x n n x n f x  =  + 不几乎一致收敛于f(x)=1 n

(2)依测度收敛但处处不收敛 0 0 0 01/4%23/4 0114341 0142314 014%23/41 1/81/4

（2）依测度收敛但处处不收敛 0 1 f1 f6 0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4 ½ 3/4 1 f7 f5 f4 0 ½ 1 f3 0 ½ 1 f2 0 1/8 1/4 ½ 1 f8