实变函数 第四章可测函数 第一节可测函数的定义及性质
第一节 可测函数的定义及性质 第四章 可测函数
新的积分( Lebesgue积分,从分割值域入手) E={x:y1≤f(x)0 问题:怎样的函数可使E都有“长度”(测 度)?
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） i n i i a b L f x dx m E = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim yi yi-1 { : ( ) } i i 1 i E = x y f x y − i i i y y −1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义:设x)是可测集E上的实函数(可取士o), 若∈RE可可测,则称)是E上的可测函数 例(1)零集上的任何函数都是可测函数 注:称外测度为0的集合为零集;零集的子 集,有限并,可数并仍为零集
1可测函数定义 [ ] , R E f a a 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数
可测函数a∈RE可测 (2)简单函数是可测函数 若=(E可测且两两不交),f(x)在 每个E上取常值c,则称fx)是E上的简单函数 f(x)=Ecre, (X xE (r)=l YEE, 0x∈E-E 注: Dirichlet函数是简单函数
(2)简单函数是可测函数 i n i E E =1 = ( ) ( ) 1 f x c x Ei n i i = = i i i x E E x E E x = − 1 0 ( ) 可测函数 a R, E[ f a] 可测 注：Dirichlet函数是简单函数 0 1 若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
(3)可测集E上的连续函数(x)必为可测函数 设fx)为E上有限实函数,称x)在∈团处连续 若VE>0,36>0.使得f(On2E)∈O(2 对比:设x)为(ab)上有限实函数,/(x)在∈(b处连续 若lmnf(x)=f(x) x→)x 即E>0,38>0当1x-x0k0.,38>0.,当x∈O0b时,有f(x)∈O/(x0 即vE>036>0,使得f(O0b) cOU(xo) fx)在x∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数 即 0, 0,当| x − x0 | 时，有| f (x) − f (x0 )| 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， 0 f x x a b ( ) ( , ) 在 处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 若 ( ( 0 , ) ) ( ( 0 ) , ) 0, 0, O x O f x 即 使得f ( 0 , ) ( ) ( ( 0 ) , ) 0, 0, x x O f x 即 当xO 时，有f ( ) ( ) ( ) [ , ] f(x) 在x0 a b 处连续(对闭区间端点则用左或右连续) ( , ) ( ( ), ) 0 0 0, 0, ( ) O x E O f x 若 使得f 设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明:任取x∈E[>a,则(x)>a,由连续性假设知, 对=f(x)-a30>0.使得f(O,EcO(n+∞) 即 Ox. 5. ECEUa f(xor-E 令G=O6 则G为开集,当然为可测集,且 G∩E=(O:a)∩E=(Oxa)E)cEra f>al f>a] 反之Ea1∈(Oa)E=G∩E x∈hf>al 故En=G⌒E为可测集
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 故E[ f a] = G E为可测集 ( ) , 0, ( ) ( , ) = f x − a x f O( x, ) E O( f ( x), ) a + x 对 使得 ( , ) [ ] x 即O E E x f a 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知， ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a [ ] ( , ) x f a x x E G O 令 = [ ] [ ] ( , ) ( , ) [ ] ( ) ( ) x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E 另外 = = 则G为开集，当然为可测集，且 [ ] [ ] ( , ) ( ) x f a f a x x E E O E G E 反之所以 =
(4)R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明:不妨设f单调增,对任意a∈R 令ln=in(xl(x)>a 由f单调增知下面的集合为可测集 E∩[l,+0)当a∈{xf(x)>a} f>a1=飞E∩(la,+∞)当aE(x(x)>a}
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 a I a x1 x2 [ , ) { | ( ) } [ ] ( , ) { | ( ) } { E I I x f x a f a E I I x f x a a a a a E + = + 当 当 由f单调增知下面的集合为可测集 I inf{ x | f (x) a} 令 a = 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
3可测函数的等价描述 1.定义:设x)是可测集E上的实函数,则 fx)在E上可测(即(1)a∈R,Ea可测 (2)Va∈R,E1a可测 台(3)Wa∈RE/a可测 →(4)Va∈R,E1/a可测 (5)∨a,b∈Raa-- a≤f<b E ∩E 7之a L<bl
⒊可测函数的等价描述 (2) a R,E[ f a] 可测 (3) a R,E[ f a] 可测 (4) a R,E[ f a] 可测[ ] (5) , , , ( | ( ) | ) a f b a b R a b E f x + 可测 充分性要求 证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 1 [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] ( ) f a f a a f a n f n n f a n f a a f b f a f b n f a n E E E E E E E E E E + =+ = = + = − = = = = ( (1) , ) 即 a R E[ f a] 可测 ⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测
对前面等式的说明 E [f≥a] ∩E f>a-1 =∩E n= n=1[f2a-1 [a+∞)=∩(a=n2+0)(=a-mn+∞) n=1 n=1 a-1/n a a+1/r (+∞)=a+,+∞)(=((a+1,+∞) n=1 =1 E ∪E =∪E >a n=1 [f≥a+ n=1[/>a+
对前面等式的说明 ( ) [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 1 n n f a n f a n E f a E E − = − = = = [ , ) ( , ) ( [ , ) ) 1 1 1 1 + = − + = − + = = n n n n a a a ( [ a-1/n a ( ) [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 1 n n f a n f a n E f a E E + = + = = = ( , ) [ , ) ( ( , ) ) 1 1 1 1 + = + + = + + = = n n n n a a a ( [ a a+1/n
4可测函数的性质 (1)可测函数关于子集、并集的性质 e即若fx)是E上的可测函数,EcEE可测, 则x)限制在E1上也是可测函数; ●反之,若B=以x)限制在En上是可测函数 则(x)在E上也是可测函数 If>a] Ec1∩E1 E 1f>a] n=nlf>a
⒋可测函数的性质 [ ] 1 1[ ] [ ] 1 [ ] n f a n E f a E f a E E f a E = = = ⑴可测函数关于子集、并集的性质 n n E E = = ⚫反之，若 1 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。 1 1 ⚫即:若f(x)是E上的可测函数, E E,E 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；