《突变函数》课程教学资源（讲义）序言

实变函数 序言 Lebesgue积分思想简介

序言

微积分基本定理 导数(切线斜率) ●若f(x)在[ab]上连续,则 (R)[f()o)=f(x) 定积分(面积) ●若F`(x)在ab]上连续,则 (R)I F'(tdt=F(x)-F(a

((R) f (t)dt) f (x) dx d x a   l若f(x)在[a,b]上连续，则 (R) F'(t)dt F(x) F(a) x a    l若F `(x) 在[a,b]上连续，则 导数（切线斜率） xi-1 xi 定积分（面积）

微积分发展的三个阶段 创立(17世纪):Newn(力学) Leibniz(几何) 无穷小 严格化(19世纪):cacy, Riemann, Weierstrass (极限理论(eN,26语言,实数理论) 外微分形式(20世纪初): Grassmann, Poincare Cartan (微积分基本定理如何在高维空间得到体现

创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）

微积分继续发展的三个方向 ●外微分形式(整体微分几何) (微积分基本定理如何在高维空间得到体现) ●复数域上的微积分(复变函数) 微积分的深化和拓展(实变函数

l外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现） l复数域上的微积分（复变函数） l微积分的深化和拓展（实变函数）

1 Riemann积分回顾 (1) Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义(非负函数 函数图象下方图形的面积 其中 △x.=x.-x x.1≤2≤x ()/(x)=m.>(A

(1) Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx   f x    1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) 其中 i i i i i i x x x x x        1  1

(2) Rieman可积的充要条件 f(x)在ab]上 Riemann可积 ef(x)kx=1m∑MAx=m∑mAx=f(x)d 中:M=sp(xA≤x≤x m1=inf{f(x):x1≤x≤x

f(x)在[a,b]上Riemann可积 i n i i T b a  f x dx  M x    1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0       inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 i i i i i i m f x x x x M f x x x x        其中：  xi-1 xi xi-1 xi

(2) Riemann可积的充要条件 其中: M1=sup{f(x):x1≤x≤x m1=inf{f(x):x21≤x≤x} M f(x)在[a,b]上 Riemann可积 VE>0.3分划T,使得∑Ax≤E

f(x)在[a,b]上Riemann可积          i n i i T x 1 0, 分划 ，使得 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x            inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 其中： xi-1 xi

(2) Riemann可积的充要条件 0△x.+ 0,3分划T,使得所有振幅O≥7 的小区间△的总长度不超过a

f(x)在[a,b]上Riemann可积 注：连续函数、 只有有限个间 断点的有界函 数和闭区间上 的单调函数 Riemann可积      的小区间 的总长度不超过 ， 分划 ，使得所有振幅 i T i     0,  i i i i i n i i x x x i i                 1 其中([a,b], f )为f在[a,b]上的振幅 i i a b f x x i i           ([ , ], )  xi-1 xi  ([a, b], f ) (b  a)

例: Dirichlet函数不 Riemann可积 D(x)= x∈0,]ng 0x∈[0,1]-Q 上积分f(x)hx=im∑MAx,= 下积分f(x)=im∑mAx=0注:D(x)的下方图形 7|-→>0 可看成由[0,1中每个 有理点长出的单位线 段组成。 分划7,有∑0△x=1

例：Dirichlet函数不Riemann可积。 注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。 1 1      i n i i 分划T，有  x ( ) lim 1 1 || || 0        i n i i T b a 上积分 f x dx M x ( ) lim 0 1 || || 0        i n i i T b a 下积分 f x dx m x  x Q x Q D x      1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 0 1

(3)尺eman积分的局限性 a微积分基本定理 定理:若x)在[ab上可微且f(x)在ab]上 Riemann连续,则x f(tdt=f(x)-f(a 1881年 Volterra作出一可微函数,导函数有界但不 Riemann可积; 注:推荐大家看看龚升写的 ●《话说微积分》,《简明微积分》, ●数学历史的启示(《数学教学》,2001.1) ●微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3)

'( ) ( ) ( ) x a f t dt  f x  f a  注：推荐大家看看龚升写的 l《话说微积分》， 《简明微积分》, l数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）, l微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3） • 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；