实变函数 第五章积分论 第三节 Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 第五章 积分论
Riemann积分对定义域作分划 cb a im.(,) i=1 Xi-1 Xi yi Lesbesgue积分对分划 yi-1 (L). f(x)dx lim ξmE J[a, b] δ→0 i=1 本节主要内容: ●若f(x) Riemann可积,则f(x)在[a,b]上 Lebesgue可积,且积分值相等 ●f(x) Riemann可积当且仅当f(x)的不连续点全体为零测度集
yi yi-1 i n i i a b L f x dx mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim Lesbesgue积分 对值域作分划 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) Riemann积分 对定义域作分划 本节主要内容: ⚫若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 ⚫f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
Rieman可积的充要条件 f(x)在[a,b]上 Riemann可积 f(xh=m∑M△x=lmn∑mAx=C(x VE>0.3分割T,使得∑O△xse M1=sup{f(x):x21≤x≤x m2=n1f(x):x1≤x≤x} M-m
Riemann可积的充要条件 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x = − = = − − inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 0 1 = i n i i T x 1 0, 分割 ，使得 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → f(x)在[a,b]上Riemann可积
Darboux上、下积分 对a作分划序列 (n) (n) a=x000 令(对每个及n) M(0)=sup((x):x≤xsx m,(n=inf(f(x): x 1Sx≤xm) Dmk积分f(xk=hm∑M"(x-x2 Darboux下积分cb f(x)x=im∑m1”( (n n→>00
Darboux上、下积分 对[a,b]作分划序列 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, | | max{ : 1 } lim | | 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = − = → − n n n n i n i n T x x i k T inf{ ( ): } sup{ ( ): } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) n i n i n i n i n i n i m f x x x x M f x x x x = = − − 令（对每个i及n） Darboux上积分 ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx M x x n − = → = − ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx m x x n − = → = − Darboux下积分 xi-1 xi
引理:设x)在[ab上为有界函数,记o(x)为a,b] 上的振幅函数,则 L n o(rod-/(xadr-5r'/(o)d Xi-I Xi 证明:由于(x)在[a,b]上为有界函数, 故o(x)为[a,b]上有界函数, 又对任意实数t,{x∈E:(x)≥为闭集 故ox)为ab上的可测函数,从而(x)L可积
引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b] 上的振幅函数，则 x dx f x dx f x dx b a b a b a ( ) ( ) ( ) [ , ] = − 故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数， 故ω(x)为[a,b]上有界函数， 又对任意实数 {x E :(x) t} t， 为闭集， xi-1 xi
引理的证明 对[a,b]作分划序列 a=x0<x<x2<…<x(a)=bn=1,2,3, 70|=max(x22-xm):1≤i≤k lim T=0 n→)00 作函数列 :x∈ 0 x是7()的分点 i=1.2.3.….k n=1.2.3. 5n5
lim | | 0 | | max{ : 1 } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = − → − n n n n i n i n T T x x i k 作函数列 1,2,3,, , 1,2,3, 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = = − = − i k n x T M m x x x x n n n i n i n i n i T n 是 的分点 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, 对 [a,b]作分划序列 xi-1 xi 引理的证明
引理的证明 令E={xEa6]:x是7(m=123…)分点 则mE=0,且mnOo2(x)=0(x),x∈[61-E n→0 令A,B为f(x)在ab上的上、下确界, 则对一切n有|Onm(x)B-A由控制收敛定理可知 n)0a,b7(m) (r)dx=l, a(x)dx Ja, bl
引理的证明 m E x x x a b E E x a b x T n n T n n = = − = = → 0, lim ( ) ( ), [ , ] { [ , ]: ( 1,2,3, ) }, ( ) ( ) 则 且 令 是 的分点 则对一切 有 由控制收敛定理可知 令 为 在 上的上、下确界， | ( )| , , ( ) [ , ] n ( ) x B A A B f x a b n T − lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = n→ a b T a b n x dx x dx xi-1 xi
引理的证明 n-)00 J[a, b] r(n(dx= o(x)dx a, 6] 另一方面 (n)( (x)dx=lim 2(Mm-m( )(( -xim n→>0a n→ ∑Mm(x0-x)-m∑m1(x0-x( n→0 从而结 I f(x)dx-f(x)dx 论成立
引理的证明 另一方面 lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = → a b a b T n n x dx x dx f x dx f x dx M x x m x x b a b a n i n i k i n i n n i n i k i n i n n n ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) = − = − − − − = → − = → 从而结 论成立 xi-1 xi lim ( ) lim ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) [ , ] ( ) n i n i k i n i n i n a b T n x dx M m x x n n − = → → = − −
教材p-104有另一种证明 1 Riemann可积的内在刻画 定理:有界函数(x)在[a,b]上 Riemann i可积的 充要条件是x在b上的不连续点全体为零 测度集 证明:若fx) Riemann可积则fx)的 Darboux上、下积分相等, 从而[o(x)hx=f(x)drx-f(x)d=0, 又o(x)≥0ae.于[a,b, 故0(x)在[a,b上几乎处处为零
1.Riemann可积的内在刻画 定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集 教材p-104有另一种证明 从而 ( ) ( ) ( ) 0， [ , ] = − = x dx f x dx f x dx b a b a b a 证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等， 故 在 上几乎处处为零。 又 于 ( ) [ , ] ( ) 0 . . [ , ], x a b x a e a b
又o(x)≥0ae于[a,b], 故o(x)在a,b上几乎处处为零。 从而fx)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集, 上述过程反之也成立。 引理:设x)是E上有限实函数,则fx)在x∈E 处连续的充要条件是x)在x处的振幅为0 证明参照教材p-102
故 在 上几乎处处为零。 又 于 ( ) [ , ] ( ) 0 . . [ , ], x a b x a e a b 上述过程反之也成立。 从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集， 引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0 证明参照教材p-102