实变函数 第六章微分与不定积分 第一节单调函数与有界变差函数
第一节 单调函数与有界变差函数 第六章 微分与不定积分
引入微积分基本定理 ●若f(x)在[a,b]上连续,则 d x ((R)f(t)dt)= f(x) X Ja ●若F(x)在[a,b]上连续,则 a 本章的主要目的是要 在 Lebesgue积分理论中推广这一结果
引入 微积分基本定理 本章的主要目的是要 在Lebesgue积分理论中推广这一结果 ((R) f (t)dt) f (x) dx d x a = ⚫若f(x)在[a,b]上连续，则 (R) F'(t)dt F(x) F(a) x a = − ⚫若F ` (x) 在[a,b]上连续，则
主要内容 F(x)=() f()dt=() ()dt-()f ()d 为两个单调不减函数的差 ●单调函数的可微性:单调函数几乎处处有有限导数 有界变差函数(即两个单调不减函数的差) ●绝对连续函数(即能写成不定积分形式的函数)
主要内容 + − = = − x a x a x a F(x) (L) f (t)dt (L) f (t)dt (L) f (t)dt 为两个单调不减函数的差 ⚫ 单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数 ⚫ 有界变差函数（即两个单调不减函数的差） ⚫ 绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）
1单调函数的可微性 Weierstrass在1772构造出 处处连续但无处可导的函数 f(x)=bs(azx)(其中0<b<1 且a为正奇数) ●定理设x)是[ab]上的单调不减函数,则f(x) 在[ab]上几乎处处存在有限导数,且 f(x)bx≤f(b)-f(a) la, b1 ●注:等号不一定成立 Koch曲线 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数, 例如 Cantor函数
1 单调函数的可微性 ⚫ 定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x) 在[a,b]上几乎处处存在有限导数，且 '( ) ( ) ( ) [ , ] f x dx f b f a a b − ⚫ 注：等号不一定成立， 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数， 例如Cantor函数。 Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数 f (x) b cos(a π x ) n n 0 n = = （其中 0 <b< 1 且 a为正奇数） Koch曲线
引入曲线的求长 参数曲线1=m0tea 分划7:a=1<t1<…<tn=b 折线长L()=2(0(4)-9(1)2+(v(1)v(1)3}2 ∑|q(t1)-(t1-1)和Σ|v(t1)-v(t1)都 ≤x{(()-9(1)2+(()-v()22 ≤E|(t1)-q(1-1)|+2|v(t1)-v(t1-1)
引入 曲线的求长 分划T：a = t 0 t 1 t n = b 2 1 ( ) {( ( ) ( ) ( ( ) ( ) } 2 1 2 1 1 − − = = i − i + i − i n i 折线长 L T t t t t 1 2 2 2 1 1 1 {( ( ) ( ) ( ( ) ( ) } n i i i i i t t t t − − = − + − | ( ) ( )| 1 1 − = i − i n i t t 和 | ( ) ( 1 )|都 1 − = i − i n i t t | ( ) ( )| 1 1 − = i − i n i t t | ( ) ( )| 1 1 − = + i − i n i t t ( ) ( ) [ , ] x t y t t a b = 参数曲线L： =
2有界变差函数 设(x是[ab]上的有限函数,在ab]上任取一分点组P a=x0<x1<…<xn=b, 称(f,P)=|f(x)-f(x1) 为(x)对分点组P的变差,称 (O)=sup{(,PP为ab的分点组为f(x)在a,b全变差 若(/)<+∞,则称(x)为ab上的有界变差函数
2 有界变差函数 V( f ) sup{V( f ,P): P为[a,b]的分点组}为f (x)在[a,b]的全变差 b a b a = 若V( f ) ，则称f (x)为[a,b]上的有界变差函数 b a + 为f(x)对分点组P的变差，称 ( , ) | ( ) ( )| 1 1 − = = i − i n i b a 称V f P f x f x , a = x0 x1 xn = b 设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组 P
闭区间上的单调函数一定是有界变差函数 b V分划P,V(f2P)=∑|f(x1)-f(x1)|f(b)-f(a) o(f)彐f(b)-f(a)
例 闭区间上的单调函数一定是有界变差函数 [ ] ( ) | ( ) ( )| 1 0 V f = f b − f a ( , ) | ( ) ( )| | ( ) ( )| 1 1 P V f P f xi f xi f b f a n i b a = − − = − = 分划
连续函数不一定是有界变差函数 f(x)={0 CoS2x x∈(0,1 x=0 1/4 0.4 0.8 对0,1取分划 1/(6 T:1<1∠2n…<3<1<1 2n 则(,)=】1f(x)-f(x-)上=∑ 0 从而()=+0,故(x)不为0上的有界变差函数 0
例 连续函数不一定是有界变差函数 cos (0,1] 0 0 2 ( ) = = x x x x f x 从而 ( ) ，故 ( )不为[0,1]上的有界变差函数 1 0 V f = + f x 对[0,1]取分划 1 1 1 1 2 2 1 3 2 :1 1, T n n− i n i i i n i V f T f x f x 1 1 1 1 1 0 ( , ) | ( ) ( )| = − = 则 = − = 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4 -0.2 0.2 1/4 1/2 1/6
3 Jordan分解定理 定理fx)是有界变差函数当且仅当 fx)可表成两个非负单调不减函数的差 即f(x)=f1(x)-f2(x) 其中f(x)=(()+f(x)+|f(a)|) f2(x)=(V(f)-f(x)+|f(a)|) 注:由于单调函数的不连续点全体为一可数集, 从而有界变差函数的不连续点为一可数集, 故 Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数
3 Jordan分解定理 ⚫ 定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差 （ ） 其中 （ ） 即 ( ) ( ) | ( )| 2 1 ( ) ( ) ( ) | ( )| 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 f x V f f x f a f x V f f x f a f x f x f x x a x a = − + = + + = − 注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集， 从而有界变差函数的不连续点为一可数集， 故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数
Canto函数 ( Cantor集为三等分去掉中间一个开区间,如此过程一直下8 3/4 1/2 3/8 如此类似取值一直定义下去 18 01/9 1/3 2/3
Cantor函数 （Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1/9 1/3 2/3 1 1/2 1/8 1/4 3/8 5/8 7/8 3/4 如此类似取值一直定义下去