北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 2数列极限 2.1收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{an}为数列，a为定数，若对任何的正数&，总存在正整数N,使得当 n>N时有 a,-a<&, 则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限。 若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列。 2.1.1判断以下两个论断是否与极限lima,=a的定义等价。 ①有无穷多个￡>0，对每一个，存在N(e),当n>N时，有an-ad<6. ②对任意正数e,有无限多个an,使an-a<￡. 事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价。 论断①忽视了ε的最本质属性“任意小正数”。例如数列{an}: an=1+(-1)”，尽管有无穷多个>0（如=3,4,5，…)，可以使 l4n-d=1+(-1)”-a(这里a可以是0或1)小于每一个8（￡=3,4,5，…）， 但却不能使an-d=1+(-1)”-a比任意小的正数e还要小。 论断②对任意￡>0，虽然有无限多个an使an-d<￡成立，但它忽视了对 每一个>0，都必须存在某个自然数N,即数列{an}的某一项aw,从aw以后 的所有项都必须满足口-a<c,例蜘致列包，}兮1小 对任意正数E,有无限多个a,=上（只要n>1),在0的E邻域(0-G0+)内： n 但在{an}中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0-6,0+)内的项。北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 2 数列极限 2.1 收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{ } an 为数列，a 为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时有 a − a < ε n ， 则称数列{ } an 收敛于a ，定数a 称为数列{an }的极限。 若数列{ } an 没有极限，则称{an }不收敛，或称{an }为发散数列。 2.1.1 判断以下两个论断是否与极限 an a n = →∞ lim 的定义等价。 ①有无穷多个ε > 0，对每一个ε ，存在 N(ε )，当n > N 时，有 a − a < ε n . ②对任意正数ε ，有无限多个an ，使 a − a < ε n . 事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价。 论断①忽视了 ε 的最本质属性“任意小正数”。例如数列 { } an ： n an =1+ (−1) ，尽管有无穷多个 ε > 0 （ 如 ε = 3,4,5,L ）， 可 以 使 a a a n n − = 1+ (−1) − （这里a 可以是 0 或 1）小于每一个ε （ε = 3,4,5,L）， 但却不能使 a a a n n − = 1+ (−1) − 比任意小的正数ε 还要小。 论断②对任意ε > 0，虽然有无限多个an 使 a − a < ε n 成立，但它忽视了对 每一个ε > 0，都必须存在某个自然数 N ，即数列{an }的某一项aN ，从aN 以后 的所有项都必须满足 a − a < ε n ，例如数列{ } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = L ,L1 , ,1, 4 1 ,1, 3 1 ,1, 2 1 1, n an . 对任意正数ε ，有无限多个 n an 1 = （只要 n n 1 > ），在0的ε 邻域(0 − ε ,0 + ε ) 内； 但在{ } an 中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0 − ε ,0 + ε ) 内的项