北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 数学分析中的问题与反例 学 生：李蕾 指导老师：孙玉泉 摘 要 数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的 学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从 另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是 数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可 替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、 法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数 学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五 个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问 题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型， 难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学 分析的基本理论和技巧很有好处。 关键词：数学分析，反例，函数
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 数学分析中的问题与反例 学 生：李 蕾 指导老师：孙玉泉 摘 要 数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的 学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从 另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是 数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可 替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、 法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数 学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五 个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问 题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型， 难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学 分析的基本理论和技巧很有好处。 关键词：数学分析，反例，函数
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 The Problems with Counterexample in Mathematical Analysis Author:Li Lei Tutor:Sun Yu-quan Abstract Mathematical analysis is an important basic course,it's very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses. However there are a lot of theorems and propositions,using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules,and it's easier to deepen the understanding of knowledge.The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought,and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept,nature and the research,reasoning of problems.To understand concepts correctly,Consolidate and master theorem,formula and rule,etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors,it's necessary to use counterexamples felicitously. To the question,this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply.Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically and there are five sections:Series,function,differential and integral,series,function of several variables.And every section isn't independent.We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method.If there's any problem,you can give the examples to verify from the opposite.The selected problems and counterexamples in this thesis are typical,appropriate difficult,and enlightening.Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis, grasping the basic theory and technique of Mathematical Analysis technique,the thesis is very good. Key words:Mathematical Analysis,Counterexample,Fuction
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 The Problems with Counterexample in Mathematical Analysis Author: Li Lei Tutor: Sun Yu-quan Abstract Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses. However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously. To the question, this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically and there are five sections: Series, function, differential and integral, series, function of several variables. And every section isn’t independent. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If there’s any problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening. Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis, grasping the basic theory and technique of Mathematical Analysis technique, the thesis is very good. Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Fuction
G 北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 目 录 1绪论……… ……1 1.1课题背景及目的..…… 1 1.2国内外研究状况.. 1.3课题研究方法 1.4论文构成及研究内容 2数列..…… .3 2.1收敛数列的性质及反例.… 3 3函数.…… ….5 3.1函数的某些性质及函数极限 3.2函数的连续性 4微分… …13 4.1一元函数的导数和微分 4.2一元函数积分学..….……… 5级数…… ………32 5.1数项级数 5.2函数列与函数列级数及其一致收敛性 6多元函数 6.1多元函数的极限与连续及其微分学 6.2重积分与参变量积分 结论 …13 致谢 13 参考文献. 14
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 目 录 1 绪论…………………………………………………………………………………1 1.1 课题背景及目的……………………………………………………………….1 1.2 国内外研究状况……………………………………………………………….2 1.3 课题研究方法………………………………………………………………….2 1.4 论文构成及研究内容………………………………………………………….2 2 数列…………………………………………………………………………………3 2.1 收敛数列的性质及反例……………………………………………………….3 3 函数…………………………………………………………………………………5 3.1 函数的某些性质及函数极限………………………………………………….. 3.2 函数的连续性………………………………………………………………… 4 微分……………………………………………………………………………….13 4.1 一元函数的导数和微分……………………………………………………. 4.2 一元函数积分学……………………………………………………………… 5 级数……………………………………………………………………………….32 5.1 数项级数 5.2 函数列与函数列级数及其一致收敛性 6 多元函数 6.1 多元函数的极限与连续及其微分学 6.2 重积分与参变量积分 结论………………………………………………………………………………….13 致谢………………………………………………………………………………….13 参考文献…………………………………………………………………………….14
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 1绪论 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥 想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思 维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅 是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数 学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在 数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的 时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比， 才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例 中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学 殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训 练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于 具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。 1.1课题背景及意义 数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位。数学分析 中存在大量的反例，用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，利用只 满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题。帮助人们深入地 理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方 式的形成等潜在的深刻涵义。 美国数学家B·R·盖尔鲍姆和J·M·H·奥姆斯特德指出：“数学由两大 类一一证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标一一提出证明和 构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而 言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予 以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”四充分利用反例是培养创造性思维的有 效途径。波利亚说，“类比和反例是发明的伟大源泉，通过类比，可以获得一系 列猜想，当猜想是谬误时，反例是最简捷的说明方法。”四18~19世纪有突出贡
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 1 绪 论 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥 想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思 维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅 是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数 学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在 数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的 时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比， 才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例 中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学 殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训 练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于 具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。 1.1 课题背景及意义 数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位。数学分析 中存在大量的反例，用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，利用只 满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题。帮助人们深入地 理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方 式的形成等潜在的深刻涵义。 美国数学家 B·R·盖尔鲍姆和 J·M·H·奥姆斯特德指出:“数学由两大 类——证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和 构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而 言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予 以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”[1]充分利用反例是培养创造性思维的有 效途径。波利亚说，“类比和反例是发明的伟大源泉，通过类比，可以获得一系 列猜想，当猜想是谬误时，反例是最简捷的说明方法。” [2]18～19 世纪有突出贡
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第 页 献的数学家Euler和Gauss,根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之 谈”。Euler说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss也说过：他的许 多定理都是靠反例法发现的。 我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效 手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且 要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理 解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论 证中都具有不可替代的独特作用。 1.2国内外研究状况 数学分析是一门久远的学科，纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是 由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果，因此，从数学中的反例可以窥探 到数学思想的一步步进化。通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部 分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统 的总结。 13课题研究方法 数学分析中有许多重要的典型反例，这些反例是数学分析理论不可缺少的重 要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解， 以及学习构造反例的方法。 针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质， 从而加深对知识的理解：同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范 围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握。我们在数学分析中往往会遇到很多错 误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来 强有力的说明否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法。 反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，它是我 们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力。构造反例带有一定的 技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 献的数学家 Euler 和 Gauss，根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之 谈”。Euler 说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss 也说过：他的许 多定理都是靠反例法发现的。 我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效 手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且 要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理 解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论 证中都具有不可替代的独特作用。 1.2 国内外研究状况 数学分析是一门久远的学科，纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是 由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果，因此，从数学中的反例可以窥探 到数学思想的一步步进化。通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部 分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统 的总结。 1.3 课题研究方法 数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重 要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解， 以及学习构造反例的方法。 针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质， 从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范 围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握。我们在数学分析中往往会遇到很多错 误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来 强有力的说明否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法。 反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，它是我 们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力。构造反例带有一定的 技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 面的完善等。反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思 路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学 素养，通过反例的构造可以培养的发散性思维和创造性思维。 1.4论文构成及研究内容 本文一共分为五个章节：数列、函数、微积分、级数和多元函数。针对大学 期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。有 些命题结论是显而易见的，因此，略掉了证明过程
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 面的完善等。反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思 路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学 素养，通过反例的构造可以培养的发散性思维和创造性思维。 1.4 论文构成及研究内容 本文一共分为五个章节：数列、函数、微积分、级数和多元函数。针对大学 期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。有 些命题结论是显而易见的，因此，略掉了证明过程
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 2数列极限 2.1收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{an}为数列，a为定数，若对任何的正数&，总存在正整数N,使得当 n>N时有 a,-a0，对每一个，存在N(e),当n>N时，有an-ad0（如=3,4,5，…)，可以使 l4n-d=1+(-1)”-a(这里a可以是0或1)小于每一个8（￡=3,4,5，…）， 但却不能使an-d=1+(-1)”-a比任意小的正数e还要小。 论断②对任意￡>0，虽然有无限多个an使an-d0，都必须存在某个自然数N,即数列{an}的某一项aw,从aw以后 的所有项都必须满足口-a1),在0的E邻域(0-G0+)内： n 但在{an}中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0-6,0+)内的项
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 2 数列极限 2.1 收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{ } an 为数列，a 为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时有 a − a 0，对每一个ε ，存在 N(ε )，当n > N 时，有 a − a 0 （ 如 ε = 3,4,5,L ）， 可 以 使 a a a n n − = 1+ (−1) − （这里a 可以是 0 或 1）小于每一个ε （ε = 3,4,5,L）， 但却不能使 a a a n n − = 1+ (−1) − 比任意小的正数ε 还要小。 论断②对任意ε > 0，虽然有无限多个an 使 a − a 0，都必须存在某个自然数 N ，即数列{an }的某一项aN ，从aN 以后 的所有项都必须满足 a − a ），在0的ε 邻域(0 − ε ,0 + ε ) 内； 但在{ } an 中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0 − ε ,0 + ε ) 内的项
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 通过这两个反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε和N在定义 中起到的作用、意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。 收敛数列有一些重要的性质 其中，在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。 (四则运算法则)若{an}与bn}为收敛数列，则{an+bn},{an-bn},{an·bn} 也都是收敛数列，且有 lim(a b)=lima +limb., lim(an·bn）=lima,·limb 特别当b为常数c时有 lim(a,c)=lima,+c,lim(ca,)=clima, 若再假设b,≠0及limb,≠0，则 也是收敛数列，且有 卿会=mam6 因此，收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立。例如： 2.1.1数列{xn}与y},通项分别为 x。=1/n+),yn=nsin(nπ/2) (n=1,2,…), 则数列{xn}收敛，{yn}发散， xy,=usinz/2）-± (n=1,2,…) n+1 n+1 故其积{xnyn}发散。 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运 算，结果也是收敛的。 数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定 收敛。 反例：数列《-有界，但它发散。 2.12数列{xn}与{yn}均为发散数列，通项分别为
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 通过这两个反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε 和 N 在定义 中起到的作用、意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。 收敛数列有一些重要的性质 其中，在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。 （四则运算法则）若{ } an 与{ } bn 为收敛数列，则{an + bn }，{an − bn }，{ } an bn ⋅ 也都是收敛数列，且有 n n n n n n n a b a b ←∞ ←∞ ←∞ lim( ± ) = lim + lim ， n n n n n n n a b a b ←∞ ←∞ ←∞ lim( ⋅ ) = lim ⋅ lim . 特别当bn 为常数c 时有 a c a c n n n n ± = + ←∞ ←∞ lim( ) lim ， n n n n ca c a ←∞ ←∞ lim( ) = lim . 若再假设bn ≠ 0及lim ≠ 0 →∞ n n b ，则 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n n n n a b b a →∞ →∞ →∞ lim = lim lim . 因此，收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立。例如： 2.1.1 数列 { }n x 与{ }n y ，通项分别为 x =1 (n +1) n ， y n sin (n π 2 ) n = （n=1, 2, …）， 则数列{ }n x 收敛，{ }n y 发散， ( ) 1 1 sin 2 + = ± + = n n n n n x yn n π ，（n=1, 2, …） 故其积{ } n n x y 发散。 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运 算，结果也是收敛的。 数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定 收敛。 反例：数列{( ) }n −1 有界，但它发散。 2.1.2 数列 {xn }与{ }n y 均为发散数列，通项分别为
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 xn=+(←r)/2，n=-←y/2(m=1,2,…)。 但xny。=0(n=1,2,…),因而数列{yn}收敛于零。 2.1.3两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。 取数列 1,0,1,0,1,0，… 及数列 0,1/2,0,2/3,0,3/4,…, 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是 1,1/2,12/3,1,3/4,…, 它是一个收敛数列
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 (1 ( ) 1 ) 2 n n x = + − ， (1 ( 1) ) 2 n n y = − − (n=1, 2, …)。 但 xn yn = 0 （n=1, 2, …），因而数列{xn yn }收敛于零。 2.1.3 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。 取数列 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , … 及数列 0 , 1/2 , 0 , 2/3 , 0 , 3/4 , …， 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是 1, 1/2, 1, 2/3, 1, 3/4, …， 它是一个收敛数列
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 3函数 3.1函数的某些性质及函数极限 3.1.1定义1设f为定义在D上的函数，若对任何正数M,都存在x。∈D, 使得f(x>M,则称f为D上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若x→x时，f(x)→o,则f在x,的每个邻域内必定无界。反之，函数f, 它在x,的任何邻域内都是无界的，但当x→x时，f(x)并不趋于无穷大。 设 f(x)=cos(1/x)/x, 则对无论多大的正数M,总有充分接近于x=O的点，使 cos(1/x)/x>M. 例如，取x=Vnπ，则cos/x)/x=nπ，故当n>M/π时，就有 cos(1/x)/M. 因此，函数f在x=0的任何邻域内都是无界的。 然而，若取无，=m+z,则当n→时，龙→0，此时cosx/水，→0， 即f并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2容易证明，若r≠0是函数f的周期，则-r也是f的周期，r(n=1, 2,…)也是∫的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的Dirichelet函数
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 3 函 数 3.1 函数的某些性质及函数极限 3.1.1 定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数，若对任何正数M ，都存在 x0 ∈ D， 使得 f (x0 ) > M ，则称 f 为 D 上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若 0 x → x 时， f (x) → ∞ ，则 f 在 0 x 的每个邻域内必定无界。反之，函数 f ， 它在 0 x 的任何邻域内都是无界的，但当 0 x → x 时， f (x)并不趋于无穷大。 设 f (x) = cos(1 x) x ， 则对无论多大的正数 M，总有充分接近于 x = 0 的点，使 cos(1 x) x＞M . 例如，取 x = 1 nπ ，则 cos( ) 1 x x = nπ ，故当 n＞M π 时，就有 cos(1 x) x＞M . 因此，函数 f 在 x = 0 的任何邻域内都是无界的。 然而，若取 )π 2 1 xn =1 (n + ，则当n → ∞ 时，xn → 0，此时cos(1 xn ) xn → 0 ， 即 f 并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2 容易证明，若r ≠ 0是函数 f 的周期，则− r 也是 f 的周期，nr （n=1, 2, … )也是 f 的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的 Dirichelet 函数