北京邮电大学出版社：《高等数学》课程教学资源（知识题解）傅里叶级数

第5节 第十章 停里叶级款 以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2的周期函数的傅里叶级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 第十章 傅里叶级数

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(not+pn) 7n=] (谐波迭加 An sin en cosnot An coson sinnot ao=Ao,an=An sinon-bn An coson,@t=x 得函数项级数 +∑(a,coSnX+b.sinnx） 2 n=] 称上述形式的级数为三角级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos   n cosn sin  令 sin , an  An n cos , bn  An n 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x      为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数

1.三角级数及三角函数系的正交性 组成三角级数的函数系： 1,cosx,Sinx,cos2x,sin2x,…,cosx,sinx,… 在[-π，上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，]上的积分等于零 证：1-cosnxdx=∫元1 sinnxdx=0（ (n=1,2,…） 元 元 cos kx cosnx dx coskxcosnx =[cos(k+n)x+cos(k-n)x] [cos(k+n)x+cos(k-n)x ]dx=0 (k n) 同理可证：sinkx sinnxdx=0(k≠n)） ["sin kx cosnxdx=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1      组成三角级数的函数系： 证:   π π 1 cos nxd x   π π 1 sin nxd x  0 cos kx cos nxdx π π   0 sin sin 0 π π   同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于零. 即其中任意两个不同的函数之积在 π π sin cos 0 k x nx x d    (k  n ) 1.三角级数及三角函数系的正交性

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，] 上的积分不等于零.且有 1ldx=2π -元 [cos2nxdx=元 (n=1,2,3,… ∫sin2nxdx=元 1+cos2nx 1-cos 2nx cos-nx= sin2 nx= 2 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于零. 1 1d 2 π π π    x sin nxdx 2 π π  cos n xdx 2 π π  , 2 1 cos 2 cos2 nx nx   2 1 cos 2 sin2 nx nx   且有  π  π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

2.函数fx)的傅里叶级数 设f(x)是周期为2元的周期函数，且 j)-空+a,o四-，如N） 00 ① n=1 右端级数可逐项积分，则有 「a,=f()cosdx (n=1,2,3,…） =f(x)sinndx (n=1.2,3..) 证：由定理条件，对①在[-兀，逐项积分，得 ed=2ja-awx+jm知sr 一元 =a0π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n      右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,                 1   π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得 2.函数f (x)的傅里叶级数

")dx ∫.fx)oskx dx= -[g,J2coskecos7xd+么.J2eoskasnxd =a4cos2kxdk=a4元 (利用正交性) ax =f()eoskxdx (k=1,2,…) 类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得 b=f()sinkxdx (k=1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束     kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d π π 0 π π        n 1   a kx nx x n cos cos d π π b kx nx x n cos sin d π π  a kx x k cos d π π 2   a f x kx x k ( )cos d π 1 π π    ( k 1, 2, ) (利用正交性)    ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 π π      b f x kx x k k a f (x)d x 1 π π 0      类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得

j)-生+a,osg+hsn) ① n=] [af(x)cosnxd x(n=0,1,…) ② (b=f()sinmdx (n=1,2,…) 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.-J BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ;        1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x    π π ( )cos d ( 0,1, ) π 1 an f x nx x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以    π π ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 bn f x nx x n  的傅里 的傅里叶级数. 称为函数 简介

推论 (1)当x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ∑b,sinx其中系数 n= 人-0snm (n=1,2,3,…) (2)当x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 +∑a,c0s甚中系数 2 )eodx (n=0,1,2,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论 (1)当f(x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶 级数为正弦级数 ，其中系数 (2)当f(x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为 余弦级数 其中系数

3,傅里叶级数的收敛性 定理1（收敛定理）设函数f(x)是周期为2π的周期函数 如果它满足狄利克雷(Dirichlet)条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则x)的傅里叶级数收敛，并且 cin) 注意：函数展成 傅里叶级数的条 n= 件比展成幂级数 f(x), x为连续点 的条件低得多 f(x-0)+f(x+0)x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数. 狄利克雷，P.GL BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 简介 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (收敛定理) 设函数 f (x) 是周期为2 的周期函数, 如果它满足狄利克雷( Dirichlet )条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限 个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且      f (x) , ( 0) ( 0) , 2 f x f x    x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 3.傅里叶级数的收敛性

例10.5.1设f(x)是周期为2元的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 二π≤x<0 0≤x<元 将f(x)展开成傅里叶级数， 解：先求傅里叶系数 a,f(x)cosmdx -1(-Deosndx+1.cosdx 元 =0 (n=1,2,3,…) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 y x 例10.5.1 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为           1, 0 π 1, π 0 ( ) x x f x 解: 先求傅里叶系数        π 0 0 π 1 cos d π 1 ( 1)cos d π 1 nx x nx x   0 ( 1, 2 , 3 , ) n 将 f (x) 展开成傅里叶级数. O 1 1  π π