极限概念的形成 微积分的创立到现在已经有三百多年的历史了。但作为微积分的 理论基础一一极限理论的建立却是19世纪的事情。也就是说，有相 当长（一百多年）时间人们对极限的认识是模糊不清的。例如，牛顿 在运用无穷小时进行计算时，先假定无穷小量不是零，而可作分母， 然后又把它当零而忽略。这种对无穷小量前后不同的理解，造成了逻 辑上的矛盾。数学发展史上，抓住微积分创立初期存在的这种逻辑上 的矛盾而进行严厉抨击的，首推英国大主教，哲学家贝克莱。贝克莱 为了消除以变量概念为基础的学说对宗教观点日益增长的威胁，抓住 无穷小量时而是零，时而非零的矛盾。他指出：这种方法明显地违背 了逻辑学的矛盾律（矛盾律：或不能同时成立）。贝克莱攻击莱布 尼兹说：“莱布尼茨及其追随者在进行微积分运算时，竟然从不脸红 地首先承认，然后又舍弃无穷小。”贝克莱说：“微分之比应该是割线 (斜率)而不是切线（斜率)是“依双重错误才得到，虽然不科学却 是正确的结果。” 应当指出，贝克莱对微积分的攻击虽然带有唯心主义的维护 宗教神权的政治目的，但他的攻击并非毫无道理。微积分学遭到来自 思想界和数学界的非议，是因为微积分创立的初期，它的主要概念（无 穷小量，无穷大量，导数，微分)还没有获得严格的理论基础。甚至 到了18世纪，数学家们还很难“区别很大的数和无穷大数”究竟有 何不同。他们也无法理解“无穷小”和零的区别。那时的数学家也不
极限概念的形成 微积分的创立到现在已经有三百多年的历史了。但作为微积分的 理论基础——极限理论的建立却是 19 世纪的事情。也就是说，有相 当长（一百多年）时间人们对极限的认识是模糊不清的。例如，牛顿 在运用无穷小时进行计算时，先假定无穷小量不是零，而可作分母， 然后又把它当零而忽略。这种对无穷小量前后不同的理解，造成了逻 辑上的矛盾。数学发展史上，抓住微积分创立初期存在的这种逻辑上 的矛盾而进行严厉抨击的，首推英国大主教，哲学家贝克莱。贝克莱 为了消除以变量概念为基础的学说对宗教观点日益增长的威胁，抓住 无穷小量时而是零，时而非零的矛盾。他指出：这种方法明显地违背 了逻辑学的矛盾律（矛盾律： 或 不能同时成立）。贝克莱攻击莱布 尼兹说：“莱布尼茨及其 追随者在进行微积分运算时，竟然从不脸红 地首先承认，然后又舍弃无穷小。”贝克莱说：“微分之比应该是割线 （斜率）而不是切线（斜率）是“依双重错误才得到，虽然不科学却 是正确的结果。” 应当指出，贝克莱对微积分的攻击虽然带有唯心主义的维护 宗教神权的政治目的，但他的攻击并非毫无道理。微积分学遭到来自 思想界和数学界的非议，是因为微积分创立的初期，它的主要概念（无 穷小量，无穷大量，导数，微分）还没有获得严格的理论基础。甚至 到了 18 世纪，数学家们还很难“区别很大的数和无穷大数”究竟有 何不同。他们也无法理解“无穷小”和零的区别。那时的数学家也不
清楚有限项的和与积分和之间的区别。他们将代数学中的运算法则在 有限项和无穷项之间随间意通行。并把对简单而具体的函数，例如， 多项式，有理函数中发现的性质推广到所有函数。 杰出的挪威青年数学家阿贝尔他指出：“在高等分析中，只 有很少的几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。”阿贝尔在一 封信中说：“发散级数是魔鬼的发明，把不管什么样的证明都建立在 发散级数基础上是一种耻辱。” 在18世纪，许多数学家都认识到了微积分缺少严格的理论 基础，几乎每一位数学家都对建立微积分的基础作了一些努力，但除 了一、二个人路子对头外，所有的努力都没有结果。 到了19世纪，神父、哲学家、数学家波尔察诺，阿贝尔和 柯西，都认识到了必须解决微积分的严格化问题建立微积分的逻辑基 础。 1821年柯西在《分析教程》中首次给出了微积分中极限、 函数的连续性、导数和微分的严格定义。这样才把长达一百多年的对 极限的模糊认识作了澄清。起初，柯西的分析严密化工作曾引起轩然 大波。在巴黎科学院的一次科学会议上，柯西公开了关于级数收敛的 理论。会后，拉普拉斯匆匆返回家里避不见人，检查他在《天体力学》
清楚有限项的和与积分和之间的区别。他们将代数学中的运算法则在 有限项和无穷项之间随间意通行。并把对简单而具体的函数，例如， 多项式，有理函数中发现的性质推广到所有函数。 杰出的挪威青年数学家阿贝尔他指出：“在高等分析中，只 有很少的几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。”阿贝尔在一 封信中说：“发散级数是魔鬼的发明，把不管什么样的证明都建立在 发散级数基础上是一种耻辱。” 在 18 世纪，许多数学家都认识到了微积分缺少严格的理论 基础，几乎每一位数学家都对建立微积分的基础作了一些努力，但除 了一、二个人路子对头外，所有的努力都没有结果。 到了 19 世纪，神父、哲学家、数学家波尔察诺，阿贝尔和 柯西，都认识到了必须解决微积分的严格化问题建立微积分的逻辑基 础。 1821 年柯西在《分析教程》中首次给出了微积分中极限、 函数的连续性、导数和微分的严格定义。这样才把长达一百多年的对 极限的模糊认识作了澄清。起初，柯西的分析严密化工作曾引起轩然 大波。在巴黎科学院的一次科学会议上，柯西公开了关于级数收敛的 理论。会后，拉普拉斯匆匆返回家里避不见人，检查他在《天体力学》
中所用的级数，幸而，他发现每个级数都是收敛的。 柯西通过变量来定义的极限概念为： “如果代表某变量的一串数值无限地趋向某一固定值时，它 可以任意小，那么这个固定值就叫做这一串数值的极限。”这个定义 在当时是最清晰的极限定义，但这个定义的严密化还是不够的，定义 中的“无限趋向”，“任意小”仍然是描述性的，其含意仍然不甚明确。 极限定义的法真正的明确和完成属于后来的德国数学家维尔施特拉 斯
中所用的级数，幸而，他发现每个级数都是收敛的。 柯西通过变量来定义的极限概念为： “如果代表某变量的一串数值无限地趋向某一固定值时，它 可以任意小，那么这个固定值就叫做这一串数值的极限。”这个定义 在当时是最清晰的极限定义，但这个定义的严密化还是不够的，定义 中的“无限趋向”，“任意小”仍然是描述性的，其含意仍然不甚明确。 极限定义的 法真正的明确和完成属于后来的德国数学家维尔施特拉 斯