银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（知识点课件讲稿）二重积分

§ 5 二重积分

§5 二重积分

主目 录(1-25) 1多元函数积分学概况 2曲顶柱体的体积 3比较=∬x+ydo与☑2=J∬(x+yPdo的大小，其中D:(x-22+0y-1P≤2 4二重积分的计算：D是矩形区域 含“复习§2，图19：平行截面面积为已知的立体的体积” 5二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6二重积分计算的两种积分顺序 7计算1-∬本yd 其中D:y≤x≤y21≤y≤√3 8用两种顺序计算『dxdy 其中D:y=x与y=x2所围区域 9 求椭圆抛物面z=1- a2 b2 与xoy平面所围成的体积 10将二重积分化成二次积分. D:x+y=1,x-y=1,x=0所围 11将二重积分化成二次积分 D:由四条直线：x=3,x=5,3x-2y+4=0, 与3x-2y+1=0共同围成的区域

4 二重积分的计算：D是矩形区域 含“复习§ 2，图19： 平行截面面积为已知的立体的体积” 5 二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6 二重积分计算的两种积分顺序 2 1 2 2 2   2         比较 ( )d 与 ( )d 的大小,其中 :( ) ( ) 2 3 1 I x y σ I x y σ D x y D D 3 1 多元函数积分学概况 2 曲顶柱体的体积 7 : 1 3 2 2 2        x y D y x y y x y y I D 计算 d d 其中 8 用两种顺序计算 xydxdy 其中 D : y x与 y x 2所围区域 D    求椭圆抛物面 与xoy平面所围成的体积 b y a x z 2 2 2 2 9  1  10 将二重积分化成二次积分. D: x+y =1 , x–y =1，x=0所围 11 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x =3，x = 5, 3x –2y+4 = 0, 主 目 录( 1— 25 ) 与 3x –2y+1 = 0 共同围成的区域

12将二重积分换序： I=∫dvfx)d☐ 13将二重积分换序： I(y 14(练习)将二重积分化成二次积分 15 为什么引用极坐标计算二重积分 16利用极坐标计算二重积分 17 怎样用极坐标计算二重积分 (1)极点不在区域D的内部 18怎样用极坐标计算二重积分 (2)极点位于区域D的内部 19 把I=J厂f(x,)dd变为极坐标形式 其中D:(x-a)2+y2=a2与y=0所围区域 20计算I=J∫fxy)dhdy D:x2+y2=1和x2+y2=4之间的环域 21把1=d2fxd变为极坐标形式

16 利用极坐标计算二重积分 17 怎样用极坐标计算二重积分 (1) 极点不在区域 D 的内部 18 怎样用极坐标计算二重积分 (2) 极点位于区域 D 的内部 14 （练习）将二重积分化成二次积分 15 为什么引用极坐标计算二重积分 19 21 把 d ( )d 变为极坐标形式 2 0 2 0 2     R Ry y I y f x,y x 把   ( )d d 变为极坐标形式 D I f x,y x y 其中 D : (x  a) 2  y 2  a 2 与 y  0 所围区域 20 计算I f x,y x y D : x 2  y 2 1 和 x 2  y 2  4 之间的环域 D   ( )d d 12 将二重积分换序：    1 0 d ( )d y y I y f x,y x 13 将二重积分换序：     a ax x x I x f x,y y 0 2 2 d ( )d

22计算I=∬arctan-'drdy D:x2+y2=4,x2+y2=1,y=x,y=0所围第一象限部分 23计算I=∬f(xddD:x2+y=4x,x+y2=8x,x=yy=2x所围 24将积分换序1=dfx■ 25将积分化为极坐标形式1-一d山广f之炒+广g山华炒■

22 arctan   D x y x y 计算 I d d I f x,y x y. D  23 计算  ( )d d D : x 2  y 2  4x , x 2  y 2  8x, x  y, y  2x所围 . 24 将积分换序 d ( )d 2 0 2 2   2   a ax ax x I x f x,y y 25 将积分化为极坐标形式      R R R R x y x y x f 2 2 2 1 0 y d ( )d x y I R x f R Rx     2 1 0 0 d ( )d 4 1 0 D : x 2  y 2  , x 2  y 2  , y  x, y  所围第一象限部分

1.多元函数积分学概况 (按积分区域分类) 积分区域 积分区域 型：对弧长 定积分 曲线积分 推， 二型：对坐标 推 格林公式 Stokes公式 型：对面积 二重积分 曲面积分 推 二型：对坐标 推 三重积分 高斯公式 合

（按积分区域分类） 积分区域 积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式  1. 多元函数积分学概况 推 广 推 广 推 广 推 广

2.曲顶柱体的体积 S:z=f(xy) S 元素法 1任意分割区域D,化整为零 2以平代曲 0 合

x 0 z y D S S : z = f (x,y) 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲 2. 曲顶柱体的体积 i

2.曲顶柱体的体积 S:z=f(xy) 元素法 1任意分割区域D,化整为零 2以平代曲 △V:≈f(x,y:)△o: 3积零为整V≈∑fx,,)ao, 0 △ 合

x 0 z y D S : z = f (x,y) i i i i V  f (x , y ) 3 积零为整    n i i i i V f x y 1 ( , ) 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2. 曲顶柱体的体积 . i

2.曲顶柱体的体积 S:z=f(xy) 元素法 1任意分割区域D,化整为零 2以平代曲 △V;≈f(x,y:)△o: 3积零为整V≈∑fxy,4o； 4取极限 令分法无限变细 0 V=im∑fx,y,Ao； i- 合

x 0 z y D S : z = f (x ,y ) i i i i  V  f ( x , y )  3 积零为整     n i i i i V f x y 1 ( , ) 4 取极限 令分法无限变细  i 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2. 曲顶柱体的体积 . ni i i σ i f x y 1 V = lim ( , )Δ

2.曲顶柱体的体积 S:z=f(xy) 元素法 1任意分割区域D,化整为零 2以平代曲 △V≈f(xy:)△o: 3积零为整V≈∑fx,,Ac 4取极限 令分法无限变细 0 V=lim∑fxy,Ao; 合

x 0 z y D S : z = f (x ,y ) i i i i  V  f ( x , y )  3 积零为整 i    ni i i i V f x y 1 ( , ) 4 取极限 令分法无限变细 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2. 曲顶柱体的体积 . ni i i σ i f x y 1 V = lim ( , )Δ

2.曲顶柱体的体积 S:z=f(xy) 元素法 1任意分割区域D,化整为零 2以平代曲 △V≈f(x,y)△o: 3积零为整V≈∑fx,,Ac 4取极限 令分法无限变细 0 V=lim∑fx,y,Aa, 记Jjf(x,y)do 囧

x 0 z y S : z = f (x ,y ) i i i i  Vi  f ( x i , y i )  i  V  f ( x , y )  3 积零为整 4 取极限f (x, y)d D  记 令分法无限变细 2 以平代曲 V 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . 2. 曲顶柱体的体积 . ni i i σ i f x y 1 V = lim ( , )Δ     n i i i i V f x y 1 ( , )