数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为P/q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如，巨，6，⑧，2，…等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：
数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前 5 世纪或 6 世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为 p / q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， 2, 6, 8, 22,等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：
1.数学已由经验科学变为演绎科学： 2.把证明引入了数学； 3.演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加 重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。 4.中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而 一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路， 形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为 现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通 过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊 的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极 大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物 皆依赖于整数”的致命一击；既然像√2这样的无理数不能写成两 个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常
1.数学已由经验科学变为演绎科学； 2.把证明引入了数学； 3.演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加 重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。 4.中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而 一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路， 形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系， 而成为 现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通 过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊 的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极 大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物 皆依赖于整数”的致命一击；既然像 2 这样的无理数不能写成两 个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常
的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以 公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立 在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的 大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重 危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉 斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏 了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派， 并为他立了一个墓，说他已经死了。 这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易， 也不能很快地消除。大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家 欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相 等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义 与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线 段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机 还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义 为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整 数”的思想。 第二次数学危机 公元前5世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数
的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以 公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立 在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的 大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重 危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉 斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏 了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派， 并为他立了一个墓，说他已经死了。 这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易， 也不能很快地消除。大约在公元前 370 年才华横溢的希腊数学家 欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相 等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义 与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线 段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机 还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义 为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整 数”的思想。 第二次数学危机 公元前 5 世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数
的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。 在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记处的 不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令 人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次 数学危机。 虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注 意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批 评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科 的米处概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学 家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发 展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所 采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。 早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无 穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是 “以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不 请的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。 牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小， 变量的变化率称为“流数”。以求函数y=x的导数为例来说明牛顿的
的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。 在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记处的 不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令 人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次 数学危机。 虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注 意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批 评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科 的米处概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学 家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发 展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所 采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。 早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无 穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是 “以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不 请的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。 牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小， 变量的变化率称为“流数”。以求函数 3 y x 的导数为例来说明牛顿的
流数法。 设流量x有一改变量“瞬”，牛顿记作“。”，相应地，y便从变 为x+o),则y的改变量为 (x+o)3-x3=3x20+3xo2+03 求比值 (x+o)3-x3 =3x2+3x0+02 在舍去含o乘积的项，于是得到y=x的流数3x2。 这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。 求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑 的、毋庸置疑的：但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。首先，作为瞬 的“o”,与费尔马的“E”、莱布尼茨的“”一样，都是所谓的 无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入 的无穷小量“。”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以 算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、 “最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无 穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说：“我想这 可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为 “。”不是零，求出y的改变量，而后又认为“o”是零，这违背了 逻辑学中的同一律。 初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难
流数法。 设流量 x有一改变量“瞬”，牛顿记作“ ”，相应地， y 便从变 为 3 (x ) ，则 y 的改变量为 3 3 2 2 3 (x ) x 3x 3x 求比值 2 2 3 3 3 3 ( ) x x x x 在舍去含 乘积的项，于是得到 3 y x 的流数 2 3x 。 这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。 求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑 的、毋庸置疑的；但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。首先，作为瞬 的“ ”，与费尔马的“ E ”、莱布尼茨的“ dx”一样，都是所谓的 无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入 的无穷小量“ ”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以 算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、 “最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无 穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说： “我想这 可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为 “ ”不是零，求出 y 的改变量，而后又认为“ ”是零，这违背了 逻辑学中的同一律。 初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难
英国大主教贝克莱的抨击最为激烈，由此围绕微积分基础大论战便开 始了。数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学 危机。 历史要求给微积分以严格的基础。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝 尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的 极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的 拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉 格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来， 考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收 敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微 积分的奠基问题。 到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分 学的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查 诺。他开始将严格的论证引入导数学分析重。1816年他在二项展开 公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。同时对极限、连续、 变量有了较深入的理解。特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中 包含许多真知灼见。可惜，在他去世两年后该书才得以出版。 分析学的奠基人，公认为法国多产的数学家柯西。柯西在数学分 析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之 一。他在1821年一一1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算 讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基
英国大主教贝克莱的抨击最为激烈，由此围绕微积分基础大论战便开 始了。数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学 危机。 历史要求给微积分以严格的基础。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝 尔。他在 1754 年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的 极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的 拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉 格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来， 考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收 敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微 积分的奠基问题。 到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分 学的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查 诺。他开始将严格的论证引入导数学分析重。1816 年他在二项展开 公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。同时对极限、连续、 变量有了较深入的理解。特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中 包含许多真知灼见。可惜，在他去世两年后该书才得以出版。 分析学的奠基人，公认为法国多产的数学家柯西。柯西在数学分 析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之 一。他在 1821 年——1823 年间出版的《分析教程》和《无穷小计算 讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基
础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定 义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本 上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格 一点。 第三次数学危机 到了十九世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认。 集合论成功地应用到了其它的数学分支。集合论是数学的基础，由于 集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大 家兴高采烈地庆祝数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次 强烈的地震。 数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的。这次危 机是由于在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。因为那么 多数学分支都建立在集合论的基础上，所以集合论中悖论的发现自然 引起了对数学的整个基础结构的有效性的怀疑。 1897年意大利数学家福蒂揭示了集合论中的第一个悖论。他的悖 论的实质可以用康托尔在两年以后很相似的悖论来描述。康托尔曾证 明了：对于任意给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，所以、， 不存在最大的超限数。现在考虑这样一个集合，它的元素是所有可能 的集合。肯定地，没有一个集合含的元素个数比这个集合的元素个数 多。但是，如果情况真如此，怎么可能有一个超限数比这个集合的超 限数大呢？
础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定 义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本 上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格 一点。 第三次数学危机 到了十九世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认。 集合论成功地应用到了其它的数学分支。集合论是数学的基础，由于 集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大 家兴高采烈地庆祝数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次 强烈的地震。 数学基础的第三次危机是由 1897 年的突然冲击而出现的。这次危 机是由于在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。因为那么 多数学分支都建立在集合论的基础上，所以集合论中悖论的发现自然 引起了对数学的整个基础结构的有效性的怀疑。 1897 年意大利数学家福蒂揭示了集合论中的第一个悖论。他的悖 论的实质可以用康托尔在两年以后很相似的悖论来描述。康托尔曾证 明了：对于任意给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，所以、， 不存在最大的超限数。现在考虑这样一个集合，它的元素是所有可能 的集合。肯定地，没有一个集合含的元素个数比这个集合的元素个数 多。但是，如果情况真如此，怎么可能有一个超限数比这个集合的超 限数大呢？
福蒂和康托尔的悖论用到集合论的深入结果，但英国数学家罗素 于1902年发现一个悖论，它除了集合概念本身外部需要别的概念。 在描述罗素悖论之前，我们注意下面的事实：一个集合或者它本身的 成员，或者不是它本身的成员。 例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不 是一个人：所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不 是一个星。 我们以M表示是它们本身的成员的所有集合的集合，而以N表示 不是它们本身成员的所有集合的集合。现在我们问：集合N是否是 它本身的成员，如果N是它本身的成员，则N是M的成员，而不 是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它 本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是，N是它 本身的成员。悖论在于无论哪一种情况我们都得到矛盾。 罗素悖论曾以多种形式通俗化。这些形式中最著名的是罗素1919 年给出的，称为理发师悖论。某村的一个理发师宣称，他给所有不给 自己刮脸的刮脸。于是出现这样的困境：理发师是否给自己刮脸呢？ 如果他给自己刮脸，那他就违背了自己的原则、；如果他不给自己刮 脸，那他就应该为自己刮脸。 罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦。罗素将他的悖论写信告 诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗雷格正好完成他的关于算术基础的 二卷巨著。弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心地写道：“一个科 学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了
福蒂和康托尔的悖论用到集合论的深入结果，但英国数学家罗素 于 1902 年发现一个悖论，它除了集合概念本身外部需要别的概念。 在描述罗素悖论之前，我们注意下面的事实：一个集合或者它本身的 成员，或者不是它本身的成员。 例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不 是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不 是一个星。 我们以 M 表示是它们本身的成员的所有集合的集合，而以 N 表示 不是它们本身成员的所有集合的集合。现在我们问：集合 N 是否是 它本身的成员，如果 N 是它本身的成员，则 N 是 M 的成员， 而不 是 N 的成员，于是 N 不是它本身的成员。另一方面，如果 N 不是它 本身的成员，则 N 是 N 的成员， 而不是 M 的成员，于是， N 是它 本身的成员。悖论在于无论哪一种情况我们都得到矛盾。 罗素悖论曾以多种形式通俗化。这些形式中最著名的是罗素 1919 年给出的，称为理发师悖论。某村的一个理发师宣称，他给所有不给 自己刮脸的刮脸。于是出现这样的困境：理发师是否给自己刮脸呢？ 如果他给自己刮脸，那他就违背了自己的原则、；如果他不给自己刮 脸，那他就应该为自己刮脸。 罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦。罗素将他的悖论写信告 诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗雷格正好完成他的关于算术基础的 二卷巨著。弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心地写道： “一个科 学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了
当本书的印刷要完成时，罗素先生的信就使我陷入这样的境地。”这 样就出现了数学史上的第三次危机。 第三次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对 集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论。于是数学 家们便忙碌起来，不久就出现了好几种公理系统。 康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论中有“一 切集合的集合”的概念，为了不产生悖论，策海洛在1908年提出一 种公理系统，这种公理系统有弗兰克尔在1821年加以改进，形成了 目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。 第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度
当本书的印刷要完成时，罗素先生的信就使我陷入这样的境地。”这 样就出现了数学史上的第三次危机。 第三次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对 集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论。于是数学 家们便忙碌起来，不久就出现了好几种公理系统。 康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论中有“一 切集合的集合”的概念，为了不产生悖论，策海洛在 1908 年提出一 种公理系统，这种公理系统有弗兰克尔在 1821 年加以改进，形成了 目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称 ZF 公理系统。 第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度