极限思想 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极 限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门 学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一 种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被 考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通 过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这 结果。 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概 念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定 义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科？”那么可以概括地说： “数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 1.极限思想的产生与发展 (1)极限思想的由来。 与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。 极限的思想可以追溯到古代，刘微的割圆术就是建立在直观基础 上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极 限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”， 而是借助于间接证法一归谬法来完成了有关的证明
极限思想 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极 限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门 学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一 种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被 考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通 过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这 结果。 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概 念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定 义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说： “数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 1.极限思想的产生与发展 （1）极限思想的由来. 与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。 极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础 上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极 限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”， 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中 改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思 想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了 把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 (2)极限思想的发展 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16 世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生 产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求 数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运 动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会 背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来 因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限 思想。牛顿用路程的改变量△S与时间的改变量△t之比△S/△t表 示运动物体的平均速度，让△t无限趋近于零，得到物体的瞬时速 度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重 要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比， 如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近， 使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限 观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。 牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果
到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中 改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思 想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了 把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 （2）极限思想的发展 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16 世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生 产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求 数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运 动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会 背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来 因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限 思想。牛顿用路程的改变量ΔS 与时间的改变量Δt 之比ΔS／Δt 表 示运动物体的平均速度，让Δt 无限趋近于零，得到物体的瞬时速 度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重 要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比， 如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近， 使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限 观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。 牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果
当n无限增大时，an无限地接近于常数A,那么就说an以A为 极限”。 这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读 物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无 限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的 怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟△t是否等于零？如果 说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含 着它的那些项去掉呢？这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲 学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推 导是“分明的诡辩”。 贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务， 一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也 无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建 立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着 认识论上的重大意义。 (3)极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时 间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能 如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人 们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学
当 n 无限增大时，an 无限地接近于常数 A，那么就说 an 以 A 为 极限”。 这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读 物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无 限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的 怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt 是否等于零?如果 说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含 着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲 学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推 导是“分明的诡辩”。 贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另 一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也 无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建 立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着 认识论上的重大意义。 （3）极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时 间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能 如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人 们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学
的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明 确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就 不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与 “非零”相互转化的辩证关系。 到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地 表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各 自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假 如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的 正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。 事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是 建立在几何量的概念上面的。 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查 诺，他把函数f(x)的导数定义为差商△y/△x的极限f(x),他 强调指出(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的， 但关于极限的本质他仍未说清楚。 到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完 整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个 变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值 之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别 地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0， 就说这个变量成为无穷小”。 柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似
的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明 确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就 不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与 “非零”相互转化的辩证关系。 到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地 表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各 自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假 如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的 正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。 事情也只能如此，因为 19 世纪以前的算术和几何概念大部分都是 建立在几何量的概念上面的。 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查 诺，他把函数 f（x）的导数定义为差商Δy／Δx 的极限 f′（x），他 强调指出 f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的， 但关于极限的本质他仍未说清楚。 到了 19 世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完 整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个 变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值 之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别 地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限 0， 就说这个变量成为无穷小”。 柯西把无穷小视为以 0 为极限的变量，这就澄清了无穷小“似
零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非 零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。 柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义， 然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语， 如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观 痕迹，没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限 的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓an=A, 就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N,使得当n>N时，不 等式|an-A|<e恒成立”。 这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具 体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格 的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。 在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、 存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直 观。 众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和 微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行 动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε一N语言，则用静态的定 义刻划变量的变化趋势。这种“静态一动态一一静态”的螺旋式的 演变，反映了数学发展的辩证规律
零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非 零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。 柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义， 然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语， 如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观 痕迹，没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限 的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 an＝A， 就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数 N，使得当 n＞N 时，不 等式｜an－A｜＜ε恒成立”。 这个定义，借助不等式，通过ε和 N 之间的关系，定量地、具 体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格 的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。 在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、 存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直 观。 众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和 微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行 动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N 语言，则用静态的定 义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的 演变，反映了数学发展的辩证规律
2.极限思想的思维功能 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用， 这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与 常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规 律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无 限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变， 从近似认识精确。 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的 发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极 限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态， 但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力 杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是 无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用 匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的 极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互 转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。 善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直 线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能
2.极限思想的思维功能 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用， 这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与 常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规 律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无 限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变， 从近似认识精确。 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的 发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极 限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态， 但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力 杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是 无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用 匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的 极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互 转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。 善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直 线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能
解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的 面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直 线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。 量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一， 在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来 说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是 质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变” 成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方 法，从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转 化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部 分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级 数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精 确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 3.建立概念的极限思想 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分 析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著 作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思 想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数
解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的 面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直 线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。 量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一， 在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来 说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是 质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变” 成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方 法，从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转 化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部 分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级 数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精 确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 3．建立概念的极限思想 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分 析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著 作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思 想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数
的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概 念。如： (1)函数在点连续的定义，是当自变量的增量时， 函数值的增量趋于零的极限。 (2)函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变 量的增量之比，当时的极限。 (3)函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于 零时，积分和式的极限。 (4)数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义 的。 (5)广义积分是定积分其中为任意大于的实数)当 时的极限，等等。 4.解决问题的极限思想 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种 重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析 之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题)，正是由于它采用了 极限的思想方法。 有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而
的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概 念。如： （1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时， 函数值的增量 趋于零的极限。 （2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变 量的增量 之比 ，当 时的极限。 （3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于 零时，积分和式 的极限。 （4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义 的。 （5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。 4．解决问题的极限思想 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种 重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析 之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了 极限的思想方法。 有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而
是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串 越来越准确的近似值：然后通过考察这一连串近似值的趋向，把 那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法
是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串 越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把 那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法
