割圆术 刘欲割圆术示意图。 割圆术（cyclotomic method) 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以 此求取圆周率的方法。这个方法，是刘微在批判总结了数学史上各种 旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与 直径的比率为三比一)的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进 行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算 出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其 数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从 研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三 径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆 周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆 周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科 学的道路。 在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆
割圆术 割圆术（cyclotomic method） 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以 此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种 旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与 直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进 行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算 出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其 数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从 研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三 径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆 周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆 周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科 学的道路。 在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆
内接正六边形的周长，与圆周长相差很多：那么我们可以在圆内接正 六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割 为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比 正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个 圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二 边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越 少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去， 一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限 多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路，刘微把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数 值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己 创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的 各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到 了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率 精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦 达于1593年取得的，比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了 圆周率的两个分数值，一个是“约率”，另一个是“密率”，，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得 到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法 对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的
内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正 六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割 为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比 正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个 圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二 边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越 少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去， 一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限 多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率 为 3.14 和 3.1416 这两个近似数 值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己 创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的 各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到 了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率 精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦 达于 1593 年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了 圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在１６世纪末才得 到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法 对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是 当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5 世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先 作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次 加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长 小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方 问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一 书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边 形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆 的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七 分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比 为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在 《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每 次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50， 后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于 3.1416)。刘微断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。 割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用 2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改 进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。 分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是 当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前 5 世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先 作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次 加倍其边数，得到正 16 边形、正 32 边形等等，直至正多边形的边长 小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方 问题。到公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一 书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边 形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆 的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七 分之一而大于三又七十分之十 ，还说圆面积与外切正方形面积之比 为 11：14，即取圆周率等于 22/7。公元 263 年，中国数学家刘徽在 《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每 次把边数加倍，直至圆内接正 96 边形，算得圆周率为 3.14 或 157/50， 后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值 3927/1250（等于 3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。 割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610 年德国数学家柯伦用 2^62 边形将圆周率计算到小数点后 35 位。1630 年格林贝尔格利用改 进的方法计算到小数点后 39 位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。 分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的
科学方法一直为人们所称道
科学方法一直为人们所称道