数独解题技巧 数独游戏1 数独游戏2 数独游戏3 数独游戏4 数独游戏5 数独游戏6 数独游戏7 数独（李）〈，Sūdoku)是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内 的数字均含1-9，不重复。每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此 为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。 1.起源 既然“数独”有一个字是“数”，人们也往往会联想到数学，那就不妨从大家都知道的数 学家欧拉说起，但凡想了解数独历史的玩家在网络、书籍中搜索时，共同会提到的就是欧拉 的“拉丁方块(Latin square)”,拉丁方块的规则：每一行(Row)、每一列(Column)均 含1-N(N即盘面的规格)，不重复。这与前面提到的标准数独非常相似，但少了一个宫的 规则。 985762134 267 134589 314895762 832976451 176453298 549218 673 621387 945 4 53 629 8 1 7 798 54 1 326 2.近代发展 20世纪70年代，人们在美国纽约的一本益智杂志《Math Puzzles and Logic Problems》 上发现了这个游戏，当时被称为填数字(Number Place),这也是目前公认的数独最早的见 报版本。1984年一位日本学者将其介绍到了日本，发表在Nikoli公司的一本游戏杂志《パ 不ル通信二彐)》上，当时起名为Suuji wa dokushin ni kagiru”,后来觉得这个名字太长， 就改名为sudoku'”,其中“su”是数字的意思，“doku”是单一的意思。这个名字也是国际上对 数独的比较通用的叫法。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(Wayne Gould) 在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表， 不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放
数独解题技巧 数独游戏 1 数独游戏 2 数独游戏 3 数独游戏 4 数独游戏 5 数独游戏 6 数独游戏 7 数独（すうどく，Sūdoku）是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据 9×9 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内 的数字均含 1-9，不重复。 每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此 为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。 １. 起源 既然“数独”有一个字是“数”，人们也往往会联想到数学，那就不妨从大家都知道的数 学家欧拉说起，但凡想了解数独历史的玩家在网络、书籍中搜索时，共同会提到的就是欧拉 的“拉丁方块（Latin square）”， 拉丁方块的规则：每一行（Row）、每一列（Column）均 含 1-N（N 即盘面的规格），不重复。这与前面提到的标准数独非常相似，但少了一个宫的 规则。 2. 近代发展 20 世纪 70 年代，人们在美国纽约的一本益智杂志《Math Puzzles and Logic Problems》 上发现了这个游戏，当时被称为填数字（Number Place），这也是目前公认的数独最早的见 报版本。1984 年一位日本学者将其介绍到了日本，发表在 Nikoli 公司的一本游戏杂志《パ ズル通信ニコリ》上，当时起名为“Suuji wa dokushin ni kagiru”，后来觉得这个名字太长， 就改名为“sudoku”，其中“su”是数字的意思，“doku”是单一的意思。这个名字也是国际上对 数独的比较通用的叫法。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould） 在 1997 年 3 月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表， 不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了 6 年时间编写了电脑程式，并将它放
在网站上（这个网站也就是著名的数独玩家论坛），后来因一些原因，网站被关闭，幸好数 独大师Glenn Fowler恢复了数据，玩家论坛有了新处所。在90年代国内就有部分的益智类 书籍开始刊登，南海出版社在2005年出版了《数独1-2》，随后日本著名数独制题人西尾 彻也的《数独挑战》也由辽宁教育出版社出版。《北京晚报》、《扬子晚报》、《羊城晚报》、 《新民晚报》、《成都商报》等等报纸媒体也先后刊登了数独游戏。 3.解题方法 解题的本质有二：隐性唯一解(Hidden Single)及显性唯一Naked Single),他们的名称是 在候选数法的基础上命名的。 (1)摒除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为摒除法，数字可填唯一空格称为 摒余解（隐性唯一解）。 根据不同的作用范围，摒余解可分为下述三种： 数字可填唯一空格在「宫」单元称为宫摒余解Hidden Single in Box),这种解法称宫摒 除法。 数字可填唯一空格在「行」单元称为行摒余解Hidden Single in Row),这种解法称行摒 除法。 数字可填唯一空格在「列」单元称为列摒余解Hidden Single in Column),这种解法称列 摒除法。 行摒余解和列摒余解合称行列摒余解(Hidden Single in Line). 得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。 (2)余数法： 用格位去找唯一可填数字，称为余数法，格位唯一可填数字称为唯余解Naked Single)。 余数法是删减等位群格位(Peer)已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有20个，如 右图所示。 (3)辅助解法 上述方法称为基础解法(Basic Techniques),其他所有的解法称为进阶解法(Advanced Techniques),是在补基本解法之不足，所以又称辅助解法。进阶解法包括：区块摒除法(Locked Candidates)、数组法(Subset)、四角对角线(X-Wing)、唯一矩形(Unique Rectangle)、 全双值坟墓(Bivalue Universal Grave)、单数链(X-Chain)、异数链(XY-Chain)及其他数链的 高级技巧等等。己发展出来的方法有近百种之多。其中前两种加上基础解法为一般数独书中 介绍并使用的方法，同时也是大部分人可以理解并掌握的数独解题技法
在网站上（这个网站也就是著名的数独玩家论坛），后来因一些原因，网站被关闭，幸好数 独大师 Glenn Fowler 恢复了数据，玩家论坛有了新处所。在 90 年代国内就有部分的益智类 书籍开始刊登，南海出版社在 2005 年出版了《数独 1-2》，随后日本著名数独制题人西尾 彻也的《数独挑战》也由辽宁教育出版社出版。《北京晚报》、《扬子晚报》、《羊城晚报》、 《新民晚报》、《成都商报》等等报纸媒体也先后刊登了数独游戏。 3. 解题方法 解题的本质有二：隐性唯一解(Hidden Single)及显性唯一(Naked Single)，他们的名称是 在候选数法的基础上命名的。 （1）摒除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为摒除法，数字可填唯一空格称为 摒余解(隐性唯一解)。 根据不同的作用范围，摒余解可分为下述三种： 数字可填唯一空格在「宫」单元称为宫摒余解(Hidden Single in Box)，这种解法称宫摒 除法。 数字可填唯一空格在「行」单元称为行摒余解(Hidden Single in Row)，这种解法称行摒 除法。 数字可填唯一空格在「列」单元称为列摒余解(Hidden Single in Column)，这种解法称列 摒除法。 行摒余解和列摒余解合称行列摒余解(Hidden Single in Line)。 得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。 （2）余数法： 用格位去找唯一可填数字，称为余数法，格位唯一可填数字称为唯余解(Naked Single)。 余数法是删减等位群格位(Peer)已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有 20 个，如 右图所示。 （3）辅助解法 上述方法称为基础解法(Basic Techniques)，其他所有的解法称为进阶解法(Advanced Techniques)，是在补基本解法之不足，所以又称辅助解法。进阶解法包括：区块摒除法（Locked Candidates）、数组法（Subset）、四角对角线（X-Wing）、唯一矩形（Unique Rectangle）、 全双值坟墓（Bivalue Universal Grave）、单数链(X-Chain)、异数链(XY-Chain)及其他数链的 高级技巧等等。已发展出来的方法有近百种之多。其中前两种加上基础解法为一般数独书中 介绍并使用的方法，同时也是大部分人可以理解并掌握的数独解题技法
(4)通过基础解法出数只需一种解法，摒除法或唯余法，超出此范围而需要施加进阶 解法时，解题点需要进阶解法协助基础解法来满足隐性唯一或显性唯一才能出数，该解题点 的解法需要多个步骤协力完成，因此称做组合解法。 (5)解题必须以逻辑为依归，猜测的方法被称为“暴力型解法Brute Force),这不是提 倡数独的本意。 依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。直观法就是不做任何记号，直接从数独 的盘势观察线索，推论答案的方法。候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可 填数字填入空格做为解题线索的参考，可填数字称为候选数(Candidates,或称备选数)。直 观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别，依照个人习惯而定，并非鉴定题目难度或 技巧难度的标准，无论是难题或是简单题都可上述方法填制，一般程序解题以候选数法较多。 4.难度划分 影响数独难度的因素很多，就题目本身而言，包括最高难度的技巧、各种技巧所用次数、 是否有隐藏及隐藏的深度及广度的技巧组合、当前盘面可逻辑推导出的出数个数等等。对于 玩家而言，了解的技巧数量、熟练程度、观察力自然也影响对一道题的难度判断。市面上数 独刊物良莠不齐，在书籍、报纸、杂志中所列的难度或者大众解题时间纯属参考，常有难度 错置的情况出现，所以不必特别在意。网络上有很多数独难度的分析软件，比较著名的是 Nicolas Juillerat开发的Sudoku Explainer和Bernhard Hobiger开发的Hodoku,它们都是 免费的软件。因为每种软件的都有不同的解题策略，所以也只能作为难度的大致界定，无法 真正的解析出难度的内涵。 如果一道题目的提示数少，那么题目就会相对难，提示数多则会简单，这是一般人判断 难易的思维模式，但数独谜题提示数的多寡与难易并无绝对关系，多提示数比少提示数难的 情况屡见不鲜，同时也存在增加提示数之后题目反而变难的情形，即使是相同提示数（甚或 相同谜题图形)也可以变化出各式各样的难度。提示数少对于出题的困难度则有比较直接的 关系，以2035提示数而言，每少一个提示数，其出题难度会增加数倍，在制作谜题时，提 示数在22以下就非常困难，所以常见的数独题其提示数在23-30之间，其原因在于制作比 较不困难，可以设计出比较漂亮的图形(Pattern)，另外这个提示数范围的谜题变化多端是 一个重要因素。 5.终盘数量 数独中的数字排列千变万化，那么究竞有多少种终盘的数字组合呢？ 6,670,903,752,021,072,936,960(约有6.67×10的21次方)种组合，2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终
（4）通过基础解法出数只需一种解法，摒除法或唯余法，超出此范围而需要施加进阶 解法时，解题点需要进阶解法协助基础解法来满足隐性唯一或显性唯一才能出数，该解题点 的解法需要多个步骤协力完成，因此称做组合解法。 （5）解题必须以逻辑为依归，猜测的方法被称为“暴力型”解法(Brute Force)，这不是提 倡数独的本意。 依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。直观法就是不做任何记号，直接从数独 的盘势观察线索，推论答案的方法。候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可 填数字填入空格做为解题线索的参考，可填数字称为候选数(Candidates，或称备选数)。直 观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别，依照个人习惯而定，并非鉴定题目难度或 技巧难度的标准，无论是难题或是简单题都可上述方法填制，一般程序解题以候选数法较多。 4. 难度划分 影响数独难度的因素很多，就题目本身而言，包括最高难度的技巧、各种技巧所用次数、 是否有隐藏及隐藏的深度及广度的技巧组合、当前盘面可逻辑推导出的出数个数等等。对于 玩家而言，了解的技巧数量、熟练程度、观察力自然也影响对一道题的难度判断。市面上数 独刊物良莠不齐，在书籍、报纸、杂志中所列的难度或者大众解题时间纯属参考，常有难度 错置的情况出现，所以不必特别在意。网络上有很多数独难度的分析软件，比较著名的是 Nicolas Juillerat 开发的 Sudoku Explainer 和 Bernhard Hobiger 开发的 Hodoku，它们都是 免费的软件。因为每种软件的都有不同的解题策略，所以也只能作为难度的大致界定，无法 真正的解析出难度的内涵。 如果一道题目的提示数少，那么题目就会相对难，提示数多则会简单，这是一般人判断 难易的思维模式，但数独谜题提示数的多寡与难易并无绝对关系，多提示数比少提示数难的 情况屡见不鲜，同时也存在增加提示数之后题目反而变难的情形，即使是相同提示数（甚或 相同谜题图形）也可以变化出各式各样的难度。提示数少对于出题的困难度则有比较直接的 关系，以 20-35 提示数而言，每少一个提示数，其出题难度会增加数倍，在制作谜题时，提 示数在 22 以下就非常困难，所以常见的数独题其提示数在 23-30 之间，其原因在于制作比 较不困难，可以设计出比较漂亮的图形（Pattern），另外这个提示数范围的谜题变化多端是 一个重要因素。 5. 终盘数量 数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？ 6,670,903,752,021,072,936,960（约有 6.67×10 的 21 次方）种组合，2005 年由 Bertram Felgenhauer 和 Frazer Jarvis 计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终
盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有5,472,730,538个组合。数 独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又 可以制作出无数道合格的数独题目。 6.标准数独 目前（截止2011年）发现的最少提示数9×9标准数独为17个提示，截止编辑此词条 时间(2011.11.2416：14)，共发现了非等价17提示数谜题49151题，此数量仍在缓慢上升 中，如果你先发现了17提示数的题目，可以上传至17格数独验证网站，当然你也可以在 这里下载这49151题。 关于是否有16提示数的合格题目，网络上也争论很久，有发现16提示数双解的，但是 仍未发现唯一解。国外有网友给出了关于为什么至少需要17提示的证明，受到了大家的质 疑，比如9×9对角线数独（在标准数独规则基础上，两条大对角线的数字不重复）的最小 提示数为12，按照他的理论则需要更多的提示数。 另外在2006年Gary McGuire撰写了程式，试图通过暴力法来证明l6提示数的数独是 否存在，方法很简单，既然Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis已经计算出不等价的终盘总 数为5,472,730,538个，那么将每个终盘是16提示的情况都跑一遍，如果没有找到16提示 的数独，那么就可以证明最少提示数为17个。但因为是暴力方法，对于一台单核的电脑来 说需要跑30万年才能跑出结果。台湾的吴毅成教授和他的团队将Gary McGuire的程式加以 改进，使得效率大幅提升，大约2417年即可完成演算。并放在BONC(伯克利开放式网络 计算平台)上让世界加入BONC的电脑一同演算，令人欣喜的是，截至编辑本词条的时间 (2012年4月18日)已经完成了51.73%。 Gary McGuire的团队在20O9年设计了新的算法，利用Deadly Pattern的思路，花费710 万小时CPU时间后，于2012年1月1日提出了9×9标准数独不存在16提示唯一解的证明， 继而说明最少需要17个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在2009年的页面上。 7.变型数独 数独到如今发展，出现了越来越多的变型(Variants)，按照规则划分则成百上千，各 国的数独爱好者也不断制作出新的变型。下面列出最常见的三种变型： 对角线数独(Diagonal Sudoku、Sudoku-X)：在标准数独规则基础上，两条大对角线 的数字不重复。 锯齿数独(Jigsaw Sudoku)：相对标准数独而言，宫变成了不规则的。玩家需在对应 的锯齿方框内填入不重复的九个数，并保证横纵也不重复
盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有 5,472,730,538 个组合。数 独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又 可以制作出无数道合格的数独题目。 6. 标准数独 目前（截止 2011 年）发现的最少提示数 9×9 标准数独为 17 个提示，截止编辑此词条 时间（2011.11.24 16:14），共发现了非等价 17 提示数谜题 49151 题，此数量仍在缓慢上升 中，如果你先发现了 17 提示数的题目，可以上传至“17 格数独验证”网站，当然你也可以在 这里下载这 49151 题。 关于是否有 16 提示数的合格题目，网络上也争论很久，有发现 16 提示数双解的，但是 仍未发现唯一解。国外有网友给出了关于为什么至少需要 17 提示的证明，受到了大家的质 疑，比如 9×9 对角线数独（在标准数独规则基础上，两条大对角线的数字不重复）的最小 提示数为 12，按照他的理论则需要更多的提示数。 另外在 2006 年 Gary McGuire 撰写了程式，试图通过暴力法来证明 16 提示数的数独是 否存在，方法很简单，既然 Bertram Felgenhauer 和 Frazer Jarvis 已经计算出不等价的终盘总 数为 5,472,730,538 个，那么将每个终盘是 16 提示的情况都跑一遍，如果没有找到 16 提示 的数独，那么就可以证明最少提示数为 17 个。但因为是暴力方法，对于一台单核的电脑来 说需要跑 30 万年才能跑出结果。台湾的吴毅成教授和他的团队将 Gary McGuire 的程式加以 改进，使得效率大幅提升，大约 2417 年即可完成演算。并放在 BOINC（伯克利开放式网络 计算平台）上让世界加入 BOINC 的电脑一同演算，令人欣喜的是，截至编辑本词条的时间 （2012 年 4 月 18 日）已经完成了 51.73%。 Gary McGuire 的团队在 2009 年设计了新的算法，利用 Deadly Pattern 的思路，花费 710 万小时 CPU 时间后，于 2012 年 1 月 1 日提出了 9×9 标准数独不存在 16 提示唯一解的证明， 继而说明最少需要 17 个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在 2009 年的页面上。 7. 变型数独 数独到如今发展，出现了越来越多的变型（Variants），按照规则划分则成百上千，各 国的数独爱好者也不断制作出新的变型。下面列出最常见的三种变型： 对角线数独（Diagonal Sudoku、Sudoku-X）：在标准数独规则基础上，两条大对角线 的数字不重复。 锯齿数独（Jigsaw Sudoku）： 相对标准数独而言，宫变成了不规则的。玩家需在对应 的锯齿方框内填入不重复的九个数，并保证横纵也不重复
Kilr数独：在标准数独规则的基础上，每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数 字之和，每个虚线框内数字无重复。 8.赛事 世界数独锦标赛：由世界智力谜题联合会组织的国际性最高水准数独赛事，该赛事每年 举办一次，由不同的会员国轮流申请举办。首届于2006年在意大利的卢卡举办，第八届将 于2013年在北京举办。每年由世智联在各国的唯一授权组织选拔国家队参加。 北京国际数独大奖赛：由北京广播电视台主办的一项国际数独赛事，该赛事奖金较高， 也吸引了国际上众多高手踊跃参与，给国内高手提供了一个可以与国外高手同场竞技的平台。 首届于2011年举办，第二届于2012年5月举办，日前国内参赛的选手均为以往进入过数独 国家队或在国内选拔赛中名列前茅者。 中国数独锦标赛：由国内的世智联授权组织每年举办一次，目的是选拔出当年的数独高 手组队参加一年一度的世界数独锦标赛。该比赛不设置门槛，无论新人还是老手均可参加。 具体的时间和地点请关注官方的数独选拔赛通知
Killer 数独：在标准数独规则的基础上，每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数 字之和，每个虚线框内数字无重复。 8. 赛事 世界数独锦标赛：由世界智力谜题联合会组织的国际性最高水准数独赛事，该赛事每年 举办一次，由不同的会员国轮流申请举办。首届于 2006 年在意大利的卢卡举办，第八届将 于 2013 年在北京举办。每年由世智联在各国的唯一授权组织选拔国家队参加。 北京国际数独大奖赛：由北京广播电视台主办的一项国际数独赛事，该赛事奖金较高， 也吸引了国际上众多高手踊跃参与，给国内高手提供了一个可以与国外高手同场竞技的平台。 首届于 2011 年举办，第二届于 2012 年 5 月举办，目前国内参赛的选手均为以往进入过数独 国家队或在国内选拔赛中名列前茅者。 中国数独锦标赛：由国内的世智联授权组织每年举办一次，目的是选拔出当年的数独高 手组队参加一年一度的世界数独锦标赛。该比赛不设置门槛，无论新人还是老手均可参加。 具体的时间和地点请关注官方的数独选拔赛通知