黄金分割点 发现历史 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形 和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派 已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了 这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把 长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于 一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算 斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21，...后二数之比2/3， 3/5,5/8,8/13,13/21,..近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了 欧洲人的欢迎，他们称之为”金法"，17世纪欧洲的一位数学家， 甚至称它为”各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之 为”三率法"或”三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多 克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有 关黄金分割的论著
黄金分割点 发现历史 由于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形 和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派 已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了 这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把 长为 L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另 一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算 斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比 2/3, 3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了 欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17 世纪欧洲的一位数学家， 甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之 为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 公元前 300 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多 克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有 关黄金分割的论著
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利 称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普 勒称黄金分割为神圣分割。 其实有关"黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早， 但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。 欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而 不是直接从古希腊传入的。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多 有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优 选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953 年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。 几何作法 己知线段AB,按照如下方法作图： (1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB/2. (2)连接AD,在DA上截取DE=DB. (3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点 数值 通常用希腊字母Φ表示这个值。 黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利 称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普 勒称黄金分割为神圣分割。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早， 但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。 欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而 不是直接从古希腊传入的。 到 19 世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多 有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优 选学中的黄金分割法或 0.618 法，是由美国数学家基弗于 1953 年首先提出的，70 年代由华罗庚提倡在中国推广。 几何作法 已知线段 AB，按照如下方法作图： （1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= AB/2. （2）连接 AD，在 DA 上截取 DE=DB. （3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点 数值 通常用希腊字母φ表示这个值。 黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1
618的倒数是0.618，而1.618：1与1：0.618是一样的。 确切值为（根号5-1）/2 黄金分割数是无理数，前面的2000位为： 0.61803398874989484820458683436563811772030917980576:50 28621354486227052604628189024497072072041893911374:100 84754088075386891752126633862223536931793180060766:150 72635443338908659593958290563832266131992829026788:200 06752087668925017116962070322210432162695486262963:250 13614438149758701220340805887954454749246185695364:300 86444924104432077134494704956584678850987433944221:350 25448770664780915884607499887124007652170575179788:400 34166256249407589069704000281210427621771117778053:450 15317141011704666599146697987317613560067087480710:500 13179523689427521948435305678300228785699782977834:550 78458782289110976250030269615617002504643382437764:600 86102838312683303724292675263116533924731671112115:650 88186385133162038400522216579128667529465490681131:700 71599343235973494985090409476213222981017261070596:750 11645629909816290555208524790352406020172799747175:800 34277759277862561943208275051312181562855122248093:850 94712341451702237358057727861600868838295230459264:900 78780178899219902707769038953219681986151437803149:950 97411069260886742962267575605231727775203536139362:1000 10767389376455606060592165894667595519004005559089:1050 50229530942312482355212212415444006470340565734797:1100 66397239494994658457887303962309037503399385621024:1150 23690251386804145779956981224457471780341731264532:1200 20416397232134044449487302315417676893752103068737:1250 88034417009395440962795589867872320951242689355730:1300
618 的倒数是 0.618，而 1.618:1 与 1:0.618 是一样的。 确切值为(根号 5-1)/2 黄金分割数是无理数，前面的 2000 位为: 0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 : 50 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 : 100 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 : 150 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 : 200 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 : 250 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 : 300 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 : 350 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 : 400 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 : 450 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 : 500 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 : 550 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 : 600 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 : 650 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 : 700 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 : 750 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 : 800 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 : 850 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 : 900 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 : 950 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 : 1000 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 : 1050 5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 : 1100 6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 : 1150 2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 : 1200 2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 : 1250 8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 : 1300
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9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 : 1350 9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 : 1400 0023014437 7026992300 7803085261 1807545192 8877050210 : 1450 9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 : 1500 2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 : 1550 2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 : 1600 5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 : 1650 1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 : 1700 1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 : 1750 8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 : 1800 9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163 : 1850 0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607 : 1900 2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860 : 1950 0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715 : 2000 美学价值 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的 长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中 的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分 割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一 侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最 好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶 端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很 多科学实验中，选取方案常用一种 0.618 法，即优选法，它可以 使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺 条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广
泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。 黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系。黄金 分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价 值。应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样。 并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好 看、更协调。在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。 最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.61 8 最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.61 8 做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是0.618那做的馒头 最好吃。 在企业经营管理中，从经验来看，资产负债率（即负债总额 除资产总额)应以黄金分割点为临界点，如果高于这个点就可能 面临较大经营风险（当然象银行这类企业可以例外），日前正在进 行科学论证中
泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。 黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系。黄金 分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价 值。应用时一般取 0.618 ，就像圆周率在应用时取 3.14 一样。 并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好 看、更协调。在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。 最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.61 8 最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.61 8 做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是 0.618 那做的馒头 最好吃。 在企业经营管理中，从经验来看，资产负债率（即负债总额 除资产总额）应以黄金分割点为临界点，如果高于这个点就可能 面临较大经营风险（当然象银行这类企业可以例外），目前正在进 行科学论证中
举例与应用 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺 术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、 3、5、8、13、21、34、55、89、144….这个数列的名字叫做” 菲波那契数列”，这些数被称为"菲波那契数"。特点是即除前两个 数（数值为1)之外，每个数都是它前面两个数之和。 菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻 两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比 的。即f(n)/f(n-1)-→1.618…。由于菲波那契数都是整数，两 个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无 理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发 现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的
举例与应用 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺 术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、 3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做" 菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。特点是即除前两个 数（数值为 1）之外，每个数都是它前面两个数之和。 菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻 两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比 的。即 f(n)/f(n-1)-→1.618…。由于菲波那契数都是整数，两 个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无 理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发 现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常 美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角 星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长 度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所 有三角形，都是黄金分割三角形。 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值 为2Sinl8度。 生活中的黄金分割 植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿 色世界。尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶 序)，却是极有规律的。 你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻 的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表， 第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二 到三层，三到四层，四到五层…两叶之间都成这个角度数。植 物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。 叶子的排布，多么精巧！
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常 美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角 星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长 度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所 有三角形，都是黄金分割三角形。 由于五角星的顶角是 36 度，这样也可以得出黄金分割的数值 为 2Sin18 度。 生活中的黄金分割 植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿 色世界。尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶 序)，却是极有规律的。 你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻 的两片叶子之间约成 137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表， 第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是 137.5°，以后二 到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数。植 物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。 叶子的排布，多么精巧！
今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。对人体解剖 很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.61 8处。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍 时，人会感到最舒服。 古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名 的完美建筑。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更 加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。连一扇门 窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。 高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发 现，按0.618：1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优 美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此 古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双 腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑 娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮 起脚尖。 音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618：1 时，奏出来的音调最和谐、最悦耳
今人惊讶的是，人体自身也和 0.618 密切相关。对人体解剖 很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的 0.61 8 处。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的 0.618 倍 时，人会感到最舒服。 古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是 0.618，成了举世闻名 的完美建筑。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更 加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。连一扇门 窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。 高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发 现，按 0.618∶1 来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优 美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的 0.58，因此 古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双 腿，使之与身高的比值为 0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑 娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮 起脚尖。 音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合 0.618∶1 时，奏出来的音调最和谐、最悦耳
只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹。 运用于科学实验和工农业生产的优选法中的0.618法，还能给我 们带来巨大的经济效益呢！黄金数0.618，真是一件造福人类的绚 丽瑰宝！ 希腊古城雅典有一座用大理石砌成的神庙，神庙大殿中央的 女神像是用象牙和黄金雕成的。女神的体态轻柔优美，引人入胜。 经专家研究发现，她的身体从脚跟到肚脐间的距离与整个身高的 比值，恰好是0.618。不仅雅典娜女神身材如此美好，其他许多 希腊女神的身体比例也是如此。人们所熟悉的米洛斯“维纳斯”， 太阳神阿波罗的形象，海姑娘一一阿曼等一些名垂千古的雕像， 都可以找到0.618的比值。 1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗 姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意 利用这一黄金分割的比值。“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一 副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。英国在画家斐 拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。 每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。如果仔细量一下她们的 比例也都和雅典娜相似
只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹。 运用于科学实验和工农业生产的优选法中的 0.618 法，还能给我 们带来巨大的经济效益呢!黄金数 0.618，真是一件造福人类的绚 丽瑰宝! 希腊古城雅典有一座用大理石砌成的神庙，神庙大殿中央的 女神像是用象牙和黄金雕成的。女神的体态轻柔优美，引人入胜。 经专家研究发现，她的身体从脚跟到肚脐间的距离与整个身高的 比值，恰好是 0.618。不仅雅典娜女神身材如此美好，其他许多 希腊女神的身体比例也是如此。人们所熟悉的米洛斯“维纳斯”， 太阳神阿波罗的形象，海姑娘――阿曼等一些名垂千古的雕像， 都可以找到 0.618 的比值。 1483 年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗 姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意 利用这一黄金分割的比值。“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一 副油画，它的画杠结构比例也正是 0.618 的比值。英国在画家斐 拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有 96 幅美人图。 每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。如果仔细量一下她们的 比例也都和雅典娜相似
建筑：早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值 是协调，平衡的结构。文明中国埃及的金字塔，形似方锥，大小 各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。古时 候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们 认为这样的长方形看来是较美观。黄金律是建筑艺术必须遵循的 规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计 平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。 据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变 化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有 许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀 中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标 准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就 喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则， 成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金 分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个 “黄金矩形”和2个“黄金指数”黄金点： (1)肚脐：头顶一足底之分割点； (2)咽喉：头顶一肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐一足底之分割点： (4)、(6)肘关节：肩关节一中指尖之分割点： (7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点：
建筑：早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道 0.618 的比值 是协调，平衡的结构。文明中国埃及的金字塔，形似方锥，大小 各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于 0.618。古时 候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们 认为这样的长方形看来是较美观。黄金律是建筑艺术必须遵循的 规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计 平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。 据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变 化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有 许多比例关系接近 0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀 中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标 准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就 喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则， 成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金 分割与人体关系时，发现了人体结构中有 14 个“黄金点”，12 个 “黄金矩形”和 2 个“黄金指数” 黄金点： (1) 肚脐：头顶－足底之分割点； (2) 咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3) 、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (4) 、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点； (7) 、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；
