与学李宣·每文告 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 第一章 函数、极限、连续 表1.1-2函数的几种特性 性质 定 义 图例或说明 表1：1-1函数及相关的定义 如果蹈数y )的定文城 名称 定 义 要点 补充说明 关十鲸点对 称，并且对任怠 议D是…个非常集合，若按照某一 奇函数 的￥∈D均布有 确定的对应法则了，对于母一个x 对应 1.x称为白变址，y为因变量 fr- x》,期称y 函数 ∈D,都有惟确定的实数y与之 规则、」2.R={代x)x∈x}为 奇 八x》为奇灼数 对应，则称对应法期f是定义在D定义域 函数的值域 上的函数，D称为函数∫的定义赋 如果函数y= 具)的定义城 的数 平面上点集 D关于原点对 的图 t(,八x)|x∈X]称为函数 西函数 称，并且对任总 的x∈D均行， 形 f代x)的图形 f(-x)mf八x) 则称八x)为偶 设函数y=代：)的定义城包含“ 对应规 =g(x)的值城，则在函数g(x)的 复合 则、定 定义域X上可以确定一个函数y= 的数 义城 酒数八x)在：D f爪g(x)],称之为g与f的复合函 上有定义，对任 值城 度的，∈D, 数.记作y=八g(x)]或y=fg 递州) 且x10,使得对任 ymr°，(01 有 意的￥ED,均有 a>0时，两致作0.+ 八x)≤M(或存在 x)上严格上升 性 m.M,使得雕三升x》三 M成立)，则称函数八x》 酥函数 a0,都存 例：：)=在0.+)上无界因为对任意的 在xa∈D,使得 指数 1 y=(a>0,a≠1) 八。)>M,则称 M>0.取知=M年则n)=M+1>M 函数 过点(0，I》 f代x》在D:无界 设函数y=八x的定义 域为D,如果存在T> 0.使得对任意的x∈D 周 均有￥±T∈D且八x+ 若T是只x)的周期，则(1)fx+T)=八x), y=ogx,(a>0,a+1,0< (k为然数)：(2)f(ar+6)〔a≠0，b∈)是 对数 x<+o) T)=f八x)成立，则称 y=a与y=lgx生为 性 y=logn y兰氏x)为周期函数，T 个以日引为周期的数 函数 反听数，（若ae,y= 称为函数的一个周期， logx为y=nx) U<a<1 道常所说的周期为最小 正周期
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 1 第一章 函数、极限、连续
,亏学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 名称 定义式及性质 图例 表1,2-1极限定义 分类 定 义 补充说明 正监函数y=nx,(-0,均存在N,使得当n>N时恒 有1名，-a10，均存在8>0，使得当 要 )-A 00，均存在X>0,使得当 函数 1x1>X时有1f(x)-A10,均存在8>0，使得当 7不7 00，均存在8>0，使得当 的 00,在X>0,使得当x>X时而 =0.±1，±2，) 极 有八x)-AI0,均存在作X>D,使得当<-X 时恒有1八x)-AI<e 名称 定义式及性质 图例 表1.2-2序列极限的性质 椎一性 若序列x的极限存在，则极限值是惟一的 反正弦函数y=arcsinx,(-1 有界性 若序列{名.：有极限，则序列引名有界 ≤≤山，-受ye) 有序性 若名运X(n≥)且1m=a,lm为=b,则a≤b 设x,x的极限存在且m,=a,imx=6,则 四 (1) lim(去方）=a士b=lim名±im: 反余弦函数y=oe,(-1 鱼 (2) m(x·)=a·b=im·im 看x≤1.0≤y≤x） 算 (3) 者0则归会行一款 反二角 函数 反正切菌数y=arc1anx,(-0 反余切函数y=rocl, (-m<<+画，0<y<元) 2
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方学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.2-3 函数极限的性质 表1.2-6常用已知极限 维一性 若极限八x)存在，则极限值惟一 (1) }=0, (2) im石=↓(a≥0) 等，完全类似 局部 若极限四（)存在，则函数八x)在 注：对x一，黑+石，者的 (3) mg=0(1g1M,则 注：①同样可定义x→有，x→材时的 表1.2一4极限有在的判别准则 时的无 称f八x)为x时 无穷大量②还可以定义i代x)=± 穷大量 的无穷大量，记作 设{x,y.,{x。}兰序列满足： (1) 无 1imf八x）=4 夹逼 定理 (2) limy.lin.a. 则im名=& 量 若对任意的M>0,行 存在准则 在X>0使符当 注：①同样可定义x→+，x→-时 单调递增有」上界的数列必有极限 1￥【>X时恒有1 时的无 f代x)1>M,则称f代x】 的无穷大量 单湖递减有下界的数列必有极限 穷大量 为x中四时的无穷大 ②可以定义mx)=生∞等 量，记作1im代x)= 设(1)在n的某去心邻城内有：g(x)≤ f八x)Eh(x), (2) 定 a6(）=imh(x)=A 注：对x·x,±0以及 x+对，行有类似结果 数 lim f(x)=A 型 单 侧 则 设y=八x)作和的某去心邻战内有定 义，则八x)在的充分必要条件起 注：对年·，有类似结果 n八x)与Jif八x)任在I等 表1.2-5 两个重要极限 基本形式 变型 若x+□时，《)→0，则1m.1, 四=1 中☐可以定0，∞，±￥，好，行等 () 1*片=，(2)m(1+）广”=e (3) 若x☐时，)0，则 1+女)护=e 1+✉a= 代□可以是知，，士0，对，行等 2
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勿亏学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.3-2无穷小量与无穷大量的性质 6空a堂e空to里w2堂o里2oso望oYo里o策es欧as7aeY 性渍 §1.4函数的连续性 堂es空afoa2宜oa量o亚e堂o空a宜6 (1) 有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量 (2) 无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量 (3) 无穷小量 细x)=A爪x)=A+(x,其中(x)为x+ 1.4.1 主要内容及理解记忆方法 口时的无穷小量 表1.4一1连续的定义 ④。a,~g(x→口，则吗是=吗g 设函数y=(x)在和 设y=八x)东n的某 (1) 若)为一口时的无穷小且八)0，则大名为 设y=fx)在0的菜 的菜一邻城内有定义， 一邻域内有定义·如果 三个等价定义 个邻域内有定义，如柴 无穷大与无穷小的 x+☐时的无穷大量 imf八x)。f八o》,则 4y=f八知+4） 对任意e>0.存在8 关系 (2)若八)为x→口时的无穷大，则动为x一→口时的 知).如果2y= >0,使得当1x-和 10 则称y=f八x)在[a,b]上连续 为常数) 如果吗e0 的边续性 表1.3-4常见等价无穷小量的例子(x·0) 表1.4-2连续通数的性质 ing一x tanz ~x 1-eosx2 左 e2-】←米， ln(1+x)-x, 1*-1六 右连续与 y=f代x)在和处连续的充分必要条件是y=f八x)在和处慨左连续，又读 续 arctanxx 注：常用干分段的数在分段点处连续性的讨论 四则运算性质 设y=八x),y=g(x)在和处均连续，则八x)±g(x),J(x)·g(x)以方 g(o)≠0)在0处也监续 gtah 复合运算 设y-)在“=o处，u=g(x)在￥。和处连续，且w=g(和），则家 合函数y=爪g(x门在处连续 涵数的连续性 设y=f(x)在[a,b]上连续山严格单调，值城为[a,B],则其反函数x= 9(y)在[a,]1上存在，在[a,]上连绕，并且单测，其单调性与原来南数的 单调性一致 切初等函致在其定义区间内连线 函数的连续 注这里定义区问祁当关键，例如 y=arcsin(e出)是初等函数，其定义 城为女=杯，k=0,女1，±2，…. ·般不讨论这种函数的连接性
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与学李纹·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.4-3闭区间上连续函数的性质 本章知识网络图 性质 补充说明 设y=八x在[a,}上连缕，则y=x)一 最值定理 定在[a,b】上存在最大值与最小值：郎存在 定义（特点） ,y∈[c,b】.使得对任意的x∈[a,b],均 有：f)∈x)蓝八y) 性质（有界性、单调性、奇偶性，周期性） 函数{ 基本初等函数（定义，性质、图形） 界定理 设y=八x)在[a,b】上连续，则y=f代x)在 [a,b]上有界 反函数 复合明数 没y=f代x)在[a,b].上连线，则对任意介于 这五条性质中，闭区间的要求 序列极限(：一N定义) 值定理 仪a)与f代b)之间的慎y,一定存在∈【a, 是本质的，不可轻易替换，此 数 ]使八)=y 外，琴点存在性质显然为介值 拨限 定义 limf具x) 定理的推论，有界性定薄为最 设y=八x》在[a,b]上连续，且八x)在[a, 值定理的淮论 介值定理论 ]上的最大值，最小值分别为M与m,期对 函数极限(：-8定义)人 任意y∈{m,M],均存在∈[a,b]使得 代)=y 左右极限 极限 性质（单阁性和夹通定理） 零点存在定理 设y=f八x)在[a,b]上连续，并且f孔a) 定义和性质 f八b)<0,则一定#在e∈(a,b),使得f八) 无穷大与无穷小 =0 阶的分类和比较（高阶、低阶，同阶、等阶、阶》 逢续与间断 表1.4-4间断点及其分类 定义 分类 可去间 lim八x)·imx),但八》在处不连续，则称 6 一的 第 和为氏x)的可去间断点 若y=fx) 点 在和的某个 类 去心邻峨内 第二章 导数与微分 有定义，月y 些 1imx,limx)存在，伯im八x)≠lia八x), =f代x)在 点 跳跃间 2222222X 一6 广名 处不连续，则 则称知为孔x)的跳跃间晰点 点 堂a望Rs望里a宜堂o宜堂 弥为 §2.1导数 y:八x)的 一个间断点 第二类间 lim代x,im八x)中至少有一个不存在的闾断点 2.1.1 主要内容及理解记忆方法 玉0 表2.1-1导数的定义 点 名称 定义 记号及表达式 设函数y=八x)在和某一邻域内有 ∫(0)= 小结 函数八x) 定义 在和处的 f八o+4r)-f八】 +a- 利用左右极限存在且相等并等于该点的函数值这一函数在某点连 是 Ar 导数 荐在，则称函数八：)在0处可导，并 将该极限值陈作八x)在0处的导数 ·im)-八) 0 x一0 续的充分必要条件，来判别函数，特别是分段函数在某点处的连缕性，间 断点以及间断类型是非常有效的：利用连续性及等价无穷性质来计算极 限，特别是与重要极限相关的极限，是非常简捷的；在利用闭区间上连续 函数的零点存在定理证明根的存在性时，一般需将方程一端化为0，另 一端即为所常构造的函数。 5
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方学数宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 设函数y=八x)在和的某一左邻城 (0~,知]内有定义，若im f'(6）= 设4二g(x)在x处可导，y=八)在“=g(x)处可导，则复合 明数x) Ax+0 复合函数求导 函数y=f开g(x)]在x处可寺，并且 在：和处的 和+一-八如存在，则称之为 m+4)-f) (Ag()]y=f'ig(x)].g(x) 左导数 y=f八x)在和处的左导数 若函数y二f八.》满足万程F(,代x)》=0,则称y=八x》是方 设，=了(x)在和之某个右邻城[0， 隐函数求导 程F(x,y）=0所确定的隐函数.求导时，只须将方程F(,y）= 函数y■ 和+6)有定义， 若四 f'+(0)至 0中的y视作x的函数，两边对x求导，最后整理出y=g(￥·y) 八)在和 的样子即可 处的右导 数 孔0+△x)-代如2存在，喇称之为 lim so+A)no) x 八x)在和处的有宁数 先将方程两边取对数，利用对数性质将兼除化作加城，方幂化作 函数八x) 对数求导法 乘除，再利用隐函数求导的方法来求导，一般用于多个因子连乘 在(a,b 若函数f八x)在(a,b)内每一点处均 除，开方，乘方或形如()（引这样的函数 可导 内可导 函数x) 设函数￥=p(y)在(c,d)上严格单调且值域为(a,b).若x= 若函敷八x)在(a,b)内可母，月在a 在[a,b] 9(y)在(e,d)人可导且g(y)≠0，则其反函数y=(x)在(a, 上可异 处在右导数存在，在b处左导数存在 反函数求导 )上可导且f'(x)==可 表2.1-2可导函数的性质及导数的几何意义 表2.1-4常用基本求导公式 可导与连 若函数八x)在x处可帚，则八x)一定在x处崖续，反之不一定 (cy=0,(e一常数) 续的关系 (wcoss)=-≥ (x=x-1; ((arctan*Y=1+家2 1 导数与左、 右亭数的 函数只x)在x点处可守的充分必婴条件是函数代：)在x点处的左右 (nxy=c0鸣x; 导数存在并且相等 关系 (coex)'上-sintt (e)=e"; 若y=fx)在动处可导，则了P(x)为曲线y兰八x)在(0，八0)斑 切线的斜率 切线方程：y-式和》=广'（和）(x-和) 导数的儿 何意义 法线方程：y-八)■“F幻) (lanx)'=secx; (a)'=alha,(a>0a≠1 f'(x)=如表示曲线y=八x)在(0，八0)》处有铅直 切线 (cotx)'=-cscx: (hiy 表2,1-3求导法则 1ay=aa>0a40 法则 定理及公式 设函数代x,g(x)在点x处可导，则八x)±g(x),x)·g{x, 器g0在：处的国华，且 四则运算 1)fx)±gx月=f"(x)±g(x) 2)f)·g(x)]=f(x)g()+八x)g(x) 》.@,0 8(x)
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与学数宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 so望s7s望o堂料堂4重4种望空ao坐e堂望co宜堂o望as堂s里e §2.2高阶导数与微分 里亚46空量o堂望s堂6宜空宜Y堂堂宜Y宜 本章知识网络图 2.2.1主要内容及理解记忆方法 定义 表2.2-1高阶导数的定义及其蓝本公式 定义左、右导数 设y=八x)的导函数y=(x)可导，则称y=f“(x)的导数(f“(x)”为 导数存在的充分必要条件 阶 y=a)的二阶学数，记作()或 儿何意义 设y=代x)的二阶学数y∫“(x)可导，称y=f(x)的导数(U(x) 可导与连续的关系 为y=八：)的三阶导数记作了()政器 x定义（左、右寻数） 定 设y=x)的n-1阶导数y=-()可导，则称y=人山（￥）的导数 导数 基本公式 文 (✉y为y=)的a阶号数，记作()碧 四则运算 求导方法 复合函数求导法 (1)儿u(x)±v(x)]}=a()tv(x) 隐函数求导法 质 (2[c·u(x)=c.(x) (3)[u(am+b)]a=u(a=+b)·a 导数与微分 对数求导法 的 ()(x)gm(m-1)(m-n+1)x (0<B≤m) 高阶导数{高阶导数求导方法 (xa)=n!(n为正整数) 本性质和 (2)(e)=62 定义 (31+z]e=(-)-1n-1盟 徽分 河导与可微的关系 它 (1+x)n 徽分的基本性质及求法 (4(snr)o=(s+n·受) (6)(eee)=os(x+n·交) a(a“.小 第三章 中值定理与导数的应用 表2.2-2微分的定义，几何意义 表3.3-1 微分中值定理 定义 几何意义 图例 名称 定理 图示 几何意义 设函数y=八x)满足 如果连曲线 设y=(x)在x点的装个 除去 邻威内有定义若y=八￥) 罗尔定 处均有切提 非作铅直的 在x处的增量△y=八x+ 理 y=fx) 相 △x)-八x）可表乐为： (Rolle) △y=A·dx+w(Ax) △y 其切线是水 其中A仅与x有关向与△x 「微分是切线纵 0 平 无关则称y=八x)在x处 坐标的改变其 可微：并称△y的线性部分 ·4x为y=八x》在x处的 做分.i心作dy=A·△x (注：4x=dx) 表2.2-3微分的性质 可微与可护的关系 函数fx》在x处可做八》在x处可导，且dy=f(dx (1) d(w士)=d丝士ds 做分的四则诺算 (2) du·v)=la+a (3) 水g) 复合函数的微分（一 阶微分的形式不变 若y=代4)，4s()均可微，划复介函数y=【a(x)]也 性) 可微，且其微分dy=∫()da=f'iu(x)门4(xx
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亏学效言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表3.2-2 其他类型不定式转化为8戏型 如果连续曲线 不定式类型 朝化过程 x)在(a,b)内 除了绵点外处有 0·m 0%=0 线（非铅），姆 00 y=f(r) 在其上必有一点 注：也 C,切线平行于 +06 - 曲线的弦B 00M 推论 定理2 2 Z成立 0(八知)，则称 是个整体概念，是对于整个区间而言的 {3)g =k(年为有限数或±四) 八0)为函数y=只x)的极小 值，和称为极小位点 表3.3-2极值判别法 判别定理 补充说明 (1)若f(0）■0， 则称和为函数爪x 的一个驻点 (2)导数为0的点不 必樱 设的数八x)在和处可导，并且(x)在和处取 一定就是极值点，例 条件 得板值，则∫'（和）=0 如f八x)-2,0=0 (3)极值的必要条 件说明了：极值一定 发生在驻点成导数不 存在的点处
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方学纹宣·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 判别定理 补充说明 设函数八x)在0的某个邻城U(o,8》内连 理a6置YooTaoToo7ast4里nao7sY72s7a67e堂理67 续，在去心邻城U(和，6)内可导 §3.4曲线的凹凸性、拐点、 第一 (1)若当0-80,而 渐近线以及函数作图 充分 当00,划)为 极小值 表3.4-1曲线的凹凸性的定义 定义 几何意义 设函数(x)在0的某个邻域队和，B)内可 例图 第二 守，且f‘(和)=0，f"(和)存在 充分 （1)若f“(和）0,则f(0)为极小值 上连续。 (3)若∫（和）=U,不能确定 姻果对1上任意两点 fx)+fx) 无，月知≠和恒有 2 若的线上任-弦的中 表33-3求函数极值的一般步骤 八牛超) 2 点位于曲线上方，则 曲线为阿的（向下凸）】 第一步：确定函数的定义域 )+f红】 2 1土久 第二步：求导，由f‘(x)=0解出驻点，并列出导数不存在的点 则称(x)在I上的图 第三步：用极值存在的充分条件判别以上点是否确实为极值点，若是，求出极俏 形是（向上》阿的（或 下凸的) 注： 当驻点或导数不存在的点较多时，列表用第一充分条件判别比较简提 表3.3-4求闭区间[a,]上函数八x)的最值的一般步骤 第一步：求导将f'(x),在所讨论区间(a,)求出f(x)=0的根： 设函数代x)在区间1 x1,，，xn 上连续.如果对1.上任 第二步：在(a,b)内，求出f'(x)不存在的点1：2， 意两点1，和且到≠ f() 第三步：计算出f),),,),),…n)以及a》,b) 恒有 若曲线上任一弦的中 生) x升X过 第四步：比较第三步中计算出的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值 > 点位于曲线下方，则 线为凸的 )+x 21 则称f八x)在I上的图 2 形是凸的（向上凸】 表3.4-2曲线凹凸性判别定理 设八x)在区间11连续，在区间1内二阶中，则 (1)若(x)>0,x∈1，则x)在1上的图形是叫的 (2)若f()<0,x∈1，则x)在1上的图形是凸的 (其中1表示去掉1的端点后得到的开仅倒) 9
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勿与学李纹·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表3.4一3拐点的定义、性质及判别法 定义 质 性 判别法 若(，)》为曲线 设式x)在和的某个 y=八x)的拐点，并 设其x)在和的邻城，8) 邻城(0，)内连 抖f"(x)存在，则 续，若曲线y=f代x) f"(x)=0 内连续，在去心邹城U(,) 在点(，八)的两 内二阶可宁若f(x)在和的 steo单PosTan里w置里eoPaoRasTa宝TaoPeoYePaoPao0宜6望aew空6理o2e 侧叫凸性正好相反， 左、右邻域（和-8，和）和(0， §3.5微分学在经济中的应用 则称点（和代）为洋：出以上性质可见， x+8)内符号相反，竭(0 度a6宝ew登里6g%2sw安o亚s望s宜s里s第生望esY堂宜ast6望望aYs望w业6 曲线y=fx)的一个 拐点只能发生在二阶 八)为曲线y=f代x)的拐 拐点 导数为0或二阶亭数 点 3.5.1主要内容及理解记忆方法 不存在的点处 表3.5-1边际函数的概念及常见边际函数的经济意义 定义 数学及经济解释 表3.4-4曲线的渐近线 边 设y=代x)在区间I内可导，则称 x)-f(x-1)f'(x) 际 导函数∫'()为函数f氏x)的边际 x+1)-f代x)uf'(x) 函数，(x)在0∈1处的值 由此派生出经济学中各种边际量 水平渐近线 若m到：A或m=A或m到=A,则 数 f'(和）称为边际（的数）值 的经济意义 y一A为曲线y=式x)的条水平渐近线 Cw(Q)=c,(Q)-C(Q-1) 边 设总成本函数为Cr=C,(0),其 C(Q)Cr(0+1)-Cr(0) 若imf代x)=o或imf孔x)=的或imf代x)=,则 中0为产量，则作产Q个单位产品 刊此C(Q)可近似地理解为生产 垂直渐近线 6 一 时的边际成本函数为： 0个单位后增加的那个单位*最 x=和为曲线y=八x)的一条垂直渐近线 本 Cw dc-(o) do 所花的成本或生产：0个单位产品 时最后一个的成本 Ry(Q)=Ry(0+1)-Rr(0) 若m 血圣=a,i)-=6放存在埔直线y 边 设总收益函数为Rr=R,(O),其 Rw(0)Rr(Q)-Rr(@-1) 料渐近线 巾Q为产量，烟销售Q个单位产品 因此，Rw(Q)可近似炮理解为销 =贴+b是曲线y:代x)的藩近线 时的边际收益为： 售Q个单位产品后再销售的那个 (也可将x→0改为x+的或x+-0,结论不变) 益 Ru dRr(Q) do 单位产品所得的收益，或销售第Q 个单位产品的收益 表3,4-5确定曲线y=八x)的凹凸性、拐点的一般步骤 设总利海函数为π=r(Q),其中Q 元w(Q)ar(Q+1)-x(Q】 际 为产量，则销售Q个单位产品时的 xx(Q)=x(Q)-x(Q-1) 利 边际利润为 因此，R(Q)可近似地理解为销 第一步：确定函数氏x)的连续风间 润 ”we(Q 售第Q+1或Q个单位产品的利润 第步：求出二阶导数∫{x,架出f(x】=0的根以及二阶导数不存在的点： ao ,2,…, 第三步：曲以上点x,…,x,将连续区间分成若干子区间，列表讨论∫”(x)的符号 第四步：根诺∫(x)的符号，判断凹凸性区间，以及拐点 表3.4-6函数作图的一般步骤 第步：求出函数的定义域，并考察函数的奇、俱性、周期性 第二步：求出∫'(z小(x),并进一步求出"(x）=0∫"(x）=0以及'(x小、 ∫(x)不存在的点 第三步：以上点将定义区间分成若子区间，列表讨论∫'(x以∫"(x}的符号，进 而确定(x)的单区间、凹凸区间、极值以及拐点 第四步：求出y=(x)的渐近线 第五步：计算几个特殊的点的函数值，画出图形
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