第十一讲矩阵的QR分解
第十一讲 矩阵的 QR 分解 1
一.Givens矩阵与Givens变换 1.定义：设实数c与s满足c2+s2=1,称 S ←-() 1 -s ←-() T = 1 1 (i<j) 2
一．Givens 矩阵与 Givens 变换 1．定义：设实数 c 与 s 满足 2 2 c s + = 1，称 Tij ＝ 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 cs i sc j ← − ← (i j < ) 2
为Givens矩阵（初等旋转矩阵），也记作T,=T,(c,s)。由Givens矩阵 所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）。 说明：(1)实数c2+s2=1,故存在0，使c=cos(0),s=sin(0)。 (2)y=Tx中T,确定了将向量x变成y的一种变换，正是Givens 袋2-a9 确定的正是平面直角坐 标系中绕原点的一个旋转变换（旋转日度）。 (3)以上实Givens矩阵也可推广称为复初等旋转矩阵。 3
为 Givens 矩阵（初等旋转矩阵），也记作 (,) T T cs ij ij = 。由 Givens 矩阵 所确定的线性变换称为 Givens 变换（初等旋转变换）。 说明：（1）实数 2 2 c s + =1，故存在θ ，使c s = = cos( ), sin( ) θ θ 。 （2） ij y Tx = 中Tij 确定了将向量 x 变成 y 的一种变换，正是 Givens 变换。二阶情况下， cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) y x θ θ θ θ = − 确定的正是平面直角坐 标系中绕原点的一个旋转变换（旋转θ 度）。 （3）以上实 Givens 矩阵也可推广称为复初等旋转矩阵。 3
1 1 cele seje ←-(@) 1 Uk= 1 -s j识3 ←-(k) 1 ◆◆· 1 4
1 2 3 4 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ik j j U j j ce se i k se ce θ θ θ θ = ← − ← 4
其中c与s仍为满足c2+s2=1的实数，日，02,0,0，为实角度。 显然，det(U)=c2e8+8)+s2e+8) 当0+8=82+0，时，det(Uk)=e4+8 当8+04=02+03=2nm时，det(Uk)=1 2.性质 (1)[T,(c,s)]=[T,(c,s)]=T,(c,-),-s=-sin(e=sin-8), 旋转0度再反向旋转度0 detT,(c,s)=1 (2)设x=[552…5n]，y=Tx=[☑h2…],则有 5
其中 c 与 s 仍为满足 2 2 c s + =1的实数， 1234 θθ θθ ,,, 为实角度。 显然， 1 4 2 3 2 2 ( ) ( ) det( ) j j U ce se ik θ θ+ θ θ+ = + 当θθ θ θ 14 23 +=+ 时， 1 4 ( ) det( ) j U e ik θ θ+ = 当 14 23 θθ θ θ π +=+= 2n 时，det( ) 1 Uik = 2. 性质 （1） 1 (,) (,) (, ) T T cs T cs T c s ij ij ij − = = − , − =− = − s sin( ) sin( ) θ θ , 旋转θ 度再反向旋转度θ det , 1 ( ) T cs ij = （2）设 [ 1 2 ] T n x = ξξ ξ ， [ 1 2 ] T ij n y Tx = = ηη η ，则有 5
n,=c5,+S5 7=-S5,+C5 nk=5k (k≠i,j) 当？+5子≠0时，总可以选c= 5 使 V+子 Vs h啡。可 定理1.设x=[552:5n]'≠0，则存在有限个Givens矩阵的乘 积T,使得Tx=xe 6
( ,) iij j ij k k c s s c k ij ηξξ η ξξ η ξ = + =− + = ≠ 当 2 2 0 i j ξ ξ + ≠ 时，总可以选 2 2 i i j c ξ ξ ξ = + ， 2 2 j i j s ξ ξ ξ = + 使 2 2 2 2 1 2 0 0 T i ij ij i j n j T x η ξξ ξξ ξ ξ ξ η = + → = + = 定理 1. 设 [ 1 2 ] 0 T n x = ξξ ξ ≠ ，则存在有限个 Givens 矩阵的乘 积 T，使得Tx x e = 1 6
说明：(1)=Vx=Vxx(《为实数时)，X=Vx”x(x为复数 时)。 (2)g=[100…0] [证明]：5≠0的情形 (1)构造T2(c,S):c= 5 2 ++ Tx=[+0与气…] (2)对T2x再考虑 7
说明：（1） 2 2 T x x xx = = (x 为实数时)， H x xx = （x 为复数 时）。 （2） 1 [100 0] T e = [证明]： 1 ξ ≠ 0的情形 （1） 构造 1 2 12 22 22 12 12 T cs c s ( , ): , ξ ξ ξξ ξξ = = + + 2 2 12 1 2 3 4 0 T T x n = + ξ ξ ξξ ξ （2） 对T x 12 再考虑 7
(3)T3(c,S):C= V+段 53 2= V+5号+V+号+另 I,Ix=[卧+号+00点…5 (4)依此类推，构造 7a(c,s):c= V+…+另 5 V5+5子+…+民 V5+子+…+5民 (k=2,3,.n) 8
（3） 2 2 1 2 3 13 222 222 1 23 1 23 T cs c ( , ): ,s ξ ξ ξ ξξξ ξξξ + = = ++ ++ T13 222 12 1 2 3 4 0 0 T T x n = ++ ξξξ ξ ξ （4） 依此类推，构造 2 2 1 1 22 2 22 2 1 2 1 2 ( , ): , k k k k k T cs c s ξ ξ ξ ξξ ξ ξξ ξ + + = = + ++ + ++ (k=2,3,…..n) 8
T(红k-{-2[…I(Tx]}》 =[V+号++景00…0 … n 直至k=n。令T=TnTm-T…T2,则有 =[导+号+…号00…0=-He 5=0的情形，从第一个不为零的5，开始运用上述方法即可 推论：对于任何非零列向量x∈R”及任何单位列向量z(=1),均存在 着有限个Givens矩阵的乘积T,使Tx=xz。 [证明]：由上述定理，对x存在有限个Givens矩阵T,T公，，I的 乘积 9
1 1 1 1 2 13 12 { ( ) } 22 2 1 2 1 00 0 kk k T k k n T T T T Tx ξξ ξ ξ ξ − − + = + ++ 直至 k=n。令T TT T T = 1 1 1 12 n n− ，则有 22 2 1 2 1 00 0 T Tx n ξξ ξ x e = ++ = 1 ξ = 0的情形, 从第一个不为零的 i ξ 开始运用上述方法即可 推论：对于任何非零列向量 n x R ∈ 及任何单位列向量 z z( 1) = ，均存在 着有限个 Givens 矩阵的乘积 T，使Tx x z = 。 [证明]：由上述定理，对 x 存在有限个 Givens 矩阵 (1) (1) (1) 12 13 1 , ,, TT T n 的 乘积 9
T0=T9T9…TT9,使Tx=xe 对z同理存在有限个Givens矩阵T2,T2,…,T2的乘积 T2-T2T2…Ig2Tg2,使T2z=g=e Tx=xT2z=T2xz)→(T2）T0x=xa 即， →(T2T2…I2）T'(T9T9…T）x=x 其中 10
(1) (1) (1) (1) (1) T TT TT = 1 1 1 13 12 n n− ，使 (1) T x xe = 1 对 z 同理存在有限个 Givens 矩阵 (2) (2) (2) 12 13 1 , ,, TT T n 的乘积 (2) (2) (2) (2) (2) T TT TT = 1 1 1 13 12 n n− ，使 (2) T z ze e = =1 1 即， ( ) ( ) ( ) 1 (1) (2) (2) (2) (1) 1 (2) (2) (2) (1) (1) (1) 1 1 1 12 1 1 1 12 ( ) n n n n T x xT z T xz T T x xz T T T T T T x xz − − − − == → = ⇒ = 其中 10