上游夫通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第二章分离变量法 §10.4非奇次定解问题 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 漏 Sa?
第二章 分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 §10.4 非奇次定解问题
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 10.4.1非奇次波动方程 1.齐次边界定解问题 un=a'us +f(x,t),t>0, 0<x<I (0,t)=u(l,t)=0, (①) u(x,0)=(x),u,(x,0)=w(x) 思考： 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？
1. 齐次边界定解问题 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？ 思考: 10.4.1 非奇次波动方程 2 ( , ), 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (1) ( ,0) ( ), ( ,0) ( ). tt xx t u au f xt t x l u t ult u x x ux x φ ψ = + > << = = = =
上游充通大学 法一：利用叠加原理降低难度，令 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY u(x,t)=v,t)+w(x,t) W,V分别满足定解问题 Wn=a2Wss,t>0,00,0<x<1 V(0,t)=V(l,t)=0, 虽然PDE为非齐次 (3) 的，但边界，初值 V(x,0)=(x,0)=0. 条件为0，很简单
uxt V xt W xt (,) (,) (,) = + 法一: 利用叠加原理降低难度，令 2 2 ( , ) { cos sin }sin . n 1 , 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (2) ( ,0) ( ), ( ,0) ( ). ( , ), 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (3) ( ,0) ( ,0) 0. tt xx t tt xx t n at l n at n W xt x n l na l l W aW t x l W t Wlt Wx x Wx x n V aV f xt t x l V t Vlt Vx Vx π ππ φ ψ π φ ψ ∞ = ∑ + = ⇒ = > << = = = = W, V 分别满足定解问题 分离变量法求解 虽然PDE为非齐次 的，但边界，初值 条件为0，很简单
上游充通大￥ 李v有泥式-子.um SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY n元 why? 则它已满足（③）的边界条件，再代入波动方程 固有函数 +f(x,) n=l n=1 00 其中0名c0sm竖 xdx. 0E0+a:0-
( )sin ( )sin , ( )sin ( )sin ( , ) 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = + = − + ⇒ ′′ = − n n n n n n n n x l n x f t l n v t l n a x f x t l n v t l n x a l n v t π π π π π π ( , )sin d . 2 ( ) 0 x x l n f x t l f t l n π ∫ 其中 = 令V有形式: 则它已满足 (3)的边界条件，再代入波动方程 x why？ l n V x t v t n n π ( , ) ( )sin 1 ∑ ∞ = = : ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 v t f t l n ODE v t a n + n = n ⇒ ′′ π 固有函数
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 最后再看(3)的初始条件 x0-立0sn=00=0 n=l y(x,0)=∑.0)sn27x=0→y. n=] 得到非齐次ODE的初值问题 0+a2na =0. (4) yn(0)=v'n(0)=0
1 1 3 ( ,0) (0)sin 0 (0) 0, ( ,0) ' (0)sin 0 ' (0) 0. n n n tn n n n Vx v x v l n Vx v x v l π π ∞ = ∞ = = =⇒ = = =⇒ = ∑ ∑ 最后再看（ ）的初始条件 得到非齐次ODE的初值问题 (4) (0) ' (0) 0. ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 = = ′′ + = n n n n n v v v t f t l n v t a π
上4)的解法一：参数变异法（也是为了求解③》 SHANGHAI JIAO TONG UNIVER T an元 n元 解：(4对应的齐次方程通解乃Ci COS+cs1n7 -t. 则设(4)的解形式为 v.()(wc.(psin y0-c'0cos1-c07 nπ anπ sin 1c0sn971+0cos74 因为求(4)的特解中，确定c(t),c2(t)需要2个条件，这里先 用一个，为了不在yn"(t)中增加c2"(t),加深难度，先让 )co()sin
(4)的解法一: 参数变异法(也是为了求解(3)) 解: (4)对应的齐次方程通解为 cos sin . 1 2 t l an t c l an c π π + 1 2 1 1 2 2 1 2 1,2 1 4 ( ) ( )cos ( )sin . '( ) ' ( )cos ( ) sin ' ( )sin ( ) cos , (4) , ( ), ( ) 2 , , ''( ) ''( ) ' ( )cos n n n an an vt ct t ct t l l an an an v t c t t ct t l ll an an an c t t ct t l ll ctct vt c t an c t l π π π ππ π ππ π = + ⇒= − + + 则设（ ）的解形式为 因为求 的特解中 确定 需要 个条件 这里先 用一个 为了不在 中增加 ，加深难度，先让 2 ' ( )sin =0. an tct t l π +
上游充通大 c0n7-60 anπ.. anπ -C '2() 1 - 2n22 rc0cosT1+c0sm小-0 cco. → -casn1+c.0eus7小-0
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4, () () () ' ( ) sin ( )( ) cos ' ( ) cos ( )( ) sin [ ( )cos ( )sin ] ( ). ' ( )cos ' ( )sin 0, [ ' n n n n n vt a vt ft l an an an an c t t ct t ll l l an an an an c t t ct t ll l l n an an a ct t ct t f t ll l an an ct tct t l l an c l π ππ π π ππ π π ππ π π π π ′′ + =⇒ − − + − + += + = ⇒ − 则由（ ） 1 2 ( )sin ' ( )cos ] ( ). n an an t t c t t ft l l π π + =
上泽文通大学 求解出 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY sin → ca品aeo1 对c'1(t),c'2(t)从0到t积分， =c0-fm7, → c0)co 由初值 条件为0
1 2 ' ( )= ( )sin( ), ' ( )= ( )cos( ). n n l an c t ft t an l l an c t ft t an l π π π π − ⇒ 求解出 1 2 1 1 0 2 2 0 '() '() 0 t , ( ) (0) ( )sin , ( ) (0) ( )cos . t n t n ct ct l an ct c f d an l l an ct c f d an l π τ ττ π π τ ττ π = − ⇒ = + ∫ ∫ 对 ， 从 到 积分 由初值 条件为0
上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →(4)的解为 0=c(0eos941+c(0sn71 sindr. 三定解问题(3)的解为： x0-20sm n=] -立asm-dsmx n元
1 2 0 1 0 1 (4) ( ) ( )cos ( )sin ( )sin ( ) . (3) ( , ) ( )sin [ ( )sin ( ) ] sin . n t n n n t n n an an vt ct t ct t l l l an f td an l n V xt v t x l l an n f td x an l l π π π τ ττ π π π π τ ττ π ∞ = ∞ = ⇒ = + = − ⇒ = = − ⋅ ∫ ∑ ∑ ∫ 的解为： 定解问题 的解为：
上游充通大 非齐次PDE(3)的解 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →(1)的解 u(x,t)=V(x,t)+w(x,t) 齐次PDE (2)的解 含{kn-Dr kπat kπ X kπa
( cos sin ) sin . ( ) ( )sin ( , ) ( , ) ( , ) (1) k k 1 0 x l k l k at k a l l k at d l k a t f k a l u x t V x t W x t k t k π π ψ π π ϕ τ π τ τ π + + − = = + ⇒ ∑ ∫ ∞ = 的解 非齐次PDE（3）的解 齐次PDE （2）的解