上降充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第十一章无界数理方程 的初值问题 §11.2.1 Fourier?变换的应用 w 上海交通大学数学系 唐异垒
§11.2.1 Fourier变换的应用 上海交通大学数学系 唐异垒 第十一章 无界数理方程 的初值问题
上游充通大￥ §11.2.1 Fourier的应用 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1无界非齐次热传导方程的初值问题 -u =a1 定解问题 Ot +f(x,t), t>0 (1) u(x,0)=p(x), -00 dt U(0,0)=Φ(o):
解： 2 2 2 ( , ), 0 (1) ( ,0) ( ), u u a f xt t t x ux x ϕ x ∂ ∂ =+ > ∂ ∂ = −∞ ⇒ = Φ 微分性质 1 无界非齐次热传导方程的初值问题 §11.2.1 Fourier的应用 ( ), ( , ), ( , ) , () d, (,) d, ( ( ) F ,) d, ( ,) U( , ) i x i x i x x f xt uxt x e x f xt e x uxt e x t x t t ω ω ω ϕ ω ω ϕ ω +∞ +∞ − − ∞ ∞ +∞ − ∞ ∈ ∞ +∞ =⋅ = ⋅ = ⋅ Φ ∫ ∫ ∫ - - - 设 关于x (- )的F-变换分别为 这里将 看作参数，对 求F -变换
上海充通大 求解U(o,t)关于t的一阶非齐次ODE初值问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (⑩看作参数士 dU(o,0=-ao2.U(o,0）+F(o,),1>0 dt U(0,0)=Φ(0)， 再对t求Laplace变换，设U(o,t),F(o,t)关于t∈(0，+oo)的L-变换 分别为U,(o,p),F(@,p),这里将o看作参数， -pU(@,p)-U(@,O)=-a'@'U(@,p)+F(@,p), 由对应齐次男程下=0)特征值y=-aw2,从而得到通解 U(@,t)=C(o)eaot.由参数变异法， 得到非齐次方程解形式为：U(o,t)=C(o,)eao →U(o,）=Φ(o)eo+F(o,zeo-rx
d ( ,) 2 2 ( , ) ( , ), U( , ) ODE ( ) 0 d ( ,0) ( ), : U t a U tF t t t t t U ω ωω ω ω ω ω ω =− ⋅ + > = Φ 求解 关于 的一阶非齐次 初值问题 看作参数 2 2 2 2 2 2 : = , ( , ) ( ) . ( , ) ( , ) . a t a t a UtCe U t C te ω ω γ ω ω ω ω ω − − − = = ⋅ 由对应齐次方程(F=0)特征值 从而得到通解 由参数变异法， 得到非齐次方程解形式为： 2 2 2 2 ( ) 0 ( ,) ( ) ( , ) d t a t a t Ut e F e ω ω τ ω ω ωτ τ − − − ⇒ = Φ + ∫ 1 1 2 2 1 1 1 Laplace , ( , ), ( , ) 0, ( , ), ( , ) ( , ) ( ,0) ( , ) ( , ) t U tF t U pF p pU p U a U p F p ω ω ωω ω ω ω ωω ω ∈ +∞ ⇒ − =− + 再对 求 变换 设 关于t( )的L-变换 分别为 ，这里将 看作参数， ， Φ( ) ω
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 解出U(o,p)=f(@,p)+ΦD(o） p+a@? -a.r'U(o,p1”z1oDto 关于t p+ao- =r%1e0 5apri2dloEp+da 卷积公式 =F(@,t)*e-an'i+D(@)e-o@i =F(@.tk-dr+)e 2 2 1 1 e ←> ea ←〉 P+a2@2 D-
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 0 (,) ( ) [ ][ ] 1 1 [ ( , )]* [ ] ( ) [ ] ( , )* ( ) (,) d () a t a t t a t a t F p L L pa pa LF p L L p a p a F te e Fe e ω ω ω τ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωτ τ ω − − − − − − − − − − Φ = + + + = +Φ ⋅ + + = + Φ = ∫ + Φ 卷积公式 p a e at − ↔ 1 2 2 2 2 1 ω ω p a e a t + − ↔ 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 (,) () (,) (,) () ( , ) [ ( , )] [ ] t p F p U p p a F p U t LU p L p a ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − + Φ = + + Φ ⇒= = + 关于 关于 解出
上游充通大粤 U(o.)=(oer+ro,d关于ol取g-, SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →wx,t)=F-Uo,t】-坐'[o(o)eo+jF(o,rkio-dt 关于0 =(w)e]+F(@.ev-dr] 卷积公式 ]]+F(,)]*ed] 钟形脉冲函数 三 关于x udanrn 4d(1-)dt 卷积定义 (x-S)2 m川2 (x-s) 4d2(-)dsdt. 4a2 ←>ea2o2 2a√t
a t a t x e e a t 2 2 2 2 4 2 1 ω π − − ↔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 1 1 ( ) 0 1 1 1 1 () 0 4 ( , ) [ ( , )] [ ( ) ( , ) d ] [ () ] [ (,) d] [ ( )]* [ ] [ ( , )]* [ ]d ] 1 = ( )* ( 2 t a t a t t a t a t t a t a t x a t x uxt U t e F e e Fe e Fe x ef a t ω ω ω τ ω ω τ ω ω τ ω ω ωτ τ ω ωτ τ ω ω τ τ ϕ π − − − − − − − − − − − − − − −− − − ⇒ = =Φ + =Φ + =Φ + + ∫ ∫ ∫ 关于 卷积公式 钟形脉冲函数 关于 F F F F FF F F 2 2 2 2 2 2 4( ) 0 ( ) ( ) 4 4( ) 0 1 , )* d 2 () 1 (, ) () d dd . 2 2 () x t a t x s x s t a t a t x e a t f s se s e s a t a t τ τ τ τ π τ τ ϕ τ π π τ − − − − − − +∞ +∞ − ∞ −∞ − = ⋅+ − ∫ ∫ ∫∫ 卷积定义 - 2 2 2 2 ( ) 1 0 ( ,) ( ) ( , ) d t a t a t Ut e F e ω ω τ ω ω ωτ τ ω − − − − =Φ + ∫ 关于 取F
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 若f=0,则有 →(x,0= aMs (x-S)2 十00 2 4a't ds. -poisson公式
2 2 ( ) 4 1 ( ,) () d. 2 x s a t uxt s e s a t ϕ π − +∞ − ∞ ⇒= ⋅ ∫- ---- poisson 公式 若 f = 0,则有
上游充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY u,a"u+tx, t>0 例： u(x,0)=1+2x+3x2, -0<X<十00 解： u(t,x) 1 00 4+2c-0+3cr-p9mw+2ad- y2 00 2 e 4a2(t-s)s(x-y)dyds 2avtπJ-∞ J-00 1 00 y2 e e 4a2(t-s)s xdyds 2avtπ J-00 +2x+3r+y1b+八ad-g 3 00 y2 =1+2x+3x2+ sx ds 2aVtπJ-∞ 3 .00 =1+2x+3x2+ s x ds 2aVtπJ-m =1+2x+3x2+6a2t+2xt2
2 2 , 0 ( ,0) 1 2 3 , u a u tx t t xx ux x x x =+ > = + + −∞ < < +∞ 例： 解：
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 3 利用了奇、偶性以及 aiaJnedx=eawlw- =1 能否找到函数使得PDE方程变成齐次呢？ -PDE的齐次化。 此例中辅助函数w较好找，S.t.w,=awx+x. xt2 可设w=Cxmt”→W= 2 如果右端是tsinx,t2cosx,etx? v(t,x)=f(t)sinx,f(t)cosx,g(x)et
能否找到函数使得PDE方程变成齐次呢？ --PDE的齐次化。 2 . 2 m n x wCt t 可设 = ⇒ x w = 2 . 此例中辅助函数w较好找,s.t.w a w tx t xx = +
上海气通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.非齐次弦振动方程的初值问题 [un-a'ug=f(x,t),0<t, 一00<X<十0， (2) ulo=(x),u,h=o=w(x) 解：设(x),w(x),f(x,t),u(x,t)关于x∈(-o,+oo)的F-变换分别为 D(@),Y(@),F(@,t)=f(x,t)eidx, U(o,)=∫4(x,)eod,这里将看作参数，对x求F-变换
2. 非齐次弦振动方程的初值问题 2 0 0 ,0 , , (2) | ( ), | ( ) ). ( , tt xx t t t u au t x u xu x f xt = φ ψ = − = < − ∞ < < +∞ = = : ( ), ( ), ( , ), ( , ) , ( ), ( ), F( , ) ( , ) d , ( , ) ( , ) d , i x i x x x f xt uxt t f xt e x U t uxt e x t x ω ω φ ψ ω ωω ω +∞ − ∞ +∞ − ∞ ∈ ∞ +∞ ΦΨ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ - - 解 设 关于x (- )的F-变换分别为 这里将 看作参数，对 求F -变换
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (微分性质) 0Uo,=-aa2U(o,0+F(o,),1>0 8t2 U(0,0)=Φ(o),U,(0,0)=Ψ(0)， 用10.4节二阶非齐次ODE的定解问题的解法 (Laplace变换)，得到非齐次方程解形式为： )-coa))inca) aw 注意到： Φ(o)cos(aot)=Φ(o) eaor+eaor原像平移T((x+at)十(x-at) 2 2 Ψ(osin(aot）=平(o) aa'-elant原像平移F(y(x+at)-yy(x-at) aw aw2i 2a01
2 2 2 2 ( ,) ( , ) ( , ), 0 ( ,0) ( ), ( ,0 ( ) ) ( ), t U t aU tF t t t U U ω ωω ω ω ωω ω ∂ =− + > ∂ = Φ = Ψ 微分性质 ⇒ 0 ( ) sin ( ) ( , ) ( )cos( ) sin( ) ( , ) 10.4 ODE Laplace d t a t U t at at F a a ω ω τ ω ω ω ω ωτ τ ω ω Ψ − = Φ+ + ∫ 用 节二阶非齐次 的定解问题的解法 （ 变换），得到非齐次方程解形式为： ( ( )+ ( ) 2 ( ( ( )cos( ) ( ) , 2 ( )sin( ) ( )- 2 ) 2 ( ) ia t ia t ia t ia t e e a t e e a t a a i x at x at x at x at a i ω ω ω ω ωω ω ω φ φ ψ ω ω ω ω ψ ω − − + Φ = Φ = Ψ − = Ψ = + − + − ⋅ 原像平移 原像平移 注意 ） 到： F ） F