第一章复数与复变函数 By 付小宁
第一章 复数与复变函数 By 付小宁
§1复数及代数运算 1.复数的概念 回顾历史，瑞士数学家欧拉(Euler,1707~1783)在前人确信负数开方能 施行的基础上于1737年第一次提出用i表示-1的平方根.因为这种数不是直接 产生于计算或测量，所以相对于实数，人们很自然地称它为虚数.这样，数的概 念在实数的基础上进一·步得到发展，产生了复数与复变量.为了进一步研究复变 量之间的依赖关系，德夙数学家高斯(Gauss,1777-1855)于1811年正式引入 了复变函数的概念，法国数学家柯西(Cauchy,1789~1857)给出了柯西-黎曼 方程，于1814年建立起复变函数的积分理论，提供了计算留数公式，复变函数 的级数理论是德国数学家魏尔斯特拉斯 (Weierstrass, 1815-1897)在191世纪 初建立的，德国数学家黎曼(Reimann, 1826一1866)在19世纪对复变函数的 几何理论作出了很大贡献， 由于生产实际问题的需要，复变函数理论从19世纪以来得到了差勃的发展， 它不仅与其他学科（如理论物理，自动控制等）有着密切的联系，而且与数学中 其他分支有着密切的联系，我国数学家陈景润(1933一1996)在研究“哥德巴赫 猜想”问题中就广泛应用了复变函数的理论.正因为复变函数有如此广泛的联系 与应用，所以学好这门课就显得很有必要
1. 复数的概念 §1 复数及代数运算
复数的 亿 般形 式？ Z=a+bi（a,b∈R) 实部！ 虚部！ 一个复数 由什么唯 a -Re(z b =Im(z) 一确定
回 忆 … 复数的 一般形 式？ Z=a+bi(a, b∈R) 实部! 虚部! 一个复数 由什么唯 一确定？ a =Re( z ) b =Im( z )
实数(b=0) 复数 纯虚数(a=0) z =a bi (a,beR) 虚数(b0) 非纯虚数(ao) 复数集 虚数集 实数集 纯虚 数集
复数 z =a + bi (a,b∈R) 实数 (b=0) 虚数 (b‡0) 纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a‡0) 虚数集 纯虚 数集 复数集 实数集
复数的概念 复数不能比较大小的一种解释 例如：与0能不能比较大小？ (1)如果i>0,那么i>0i,即-1>0。 (2)如果i0,(←)2>0(-) 即-1>0. 因此，与0不能比较大小。 Note Z1=a1+ib1,Z2 =a2+ib2 Z1=Z2 if a=az bi=b2
复数不能比较大小的一种解释 （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i) 即-1>0. 例如：i与0能不能比较大小？ 因此，i与0不能比较大小。 A 复数的概念 Note Z1 =a1 + i b1 , Z2 =a2 + i b2 Z1 = Z2 if a1= a2 & b1= b2
例1.辨析： 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。 例1. 辨析： 1．下列命题中的假命题是（D）
2.“a=0”是"复数a+bi(a,b∈R)是纯 虚数”的()。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 D)不充分不必要条件 3.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对 应的点在虚轴上”的（)。 (A)必要不充分条件 ()充分不必要条件 (C)充要条件 D)不充分不必要条件
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 C 3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 A
4·设z1、2为复数，则下列结论中正确的是(D) (A)若z2+z22>0,则z21>-z22 (B)k1-z2=V(亿1+z22-4z12 (C)z21+z22=0分z1=2-0 (D)z1-乙1是纯虚数或零 例2是否存在复数z,使其满足zz+2z=3+ia∈R) 如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由
4． 设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( ) D (A)若z 2 1+z 2 2＞0，则z 2 1＞-z 2 2 (B)|z1 -z2 |=√(z1+z2 ) 2 -4z1 z2 (C)z 2 1+z 2 2=0z1=z2 =0 (D)z1 -z1是纯虚数或零 例2 是否存在复数z，使其满足z·z+2iz=3+ai(a∈R) 如果存在，求出z的值；如果不存在
2.复数的代数运算 设两复数乙1=飞1+y1,2=X2+y2, 1)两复数的和 z1士z2=(x1±x2)+i(y1±y2): 2)两复数的积 乙1·z2=(x1X2-y1y2)+i(x2Jy1+X1y2). 3)两复数的商 =?+2+x2-2. 2 x2+y2
, , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z = x + iy z = x + iy 1) 两复数的和 ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z z = x x + i y y 2) 两复数的积 ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z = x x − y y + i x y + x y 3)两复数的商 . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z + − + + + = 2. 复数的代数运算
3.共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与z共轭的复数记为z, 若z=x+y,则z=x-y. 共轭复数的性质 (1)Z1±z2=Z1士乙2；乙1乙2=Z1·Z2; 31 (2)z=z;(3)z·z=[Re(z)+[m(z)f; (4)z+z=2Re(z),z-z=2im(z)
3. 共轭复数 与z 共轭的复数记为z, 若 z = x + iy, 则 z = x − iy. 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质 (1) ; 1 2 1 2 z z = z z ; 1 2 1 2 z z = z z ; 2 1 2 1 z z z z = (2) z = z; (3) Re( ) Im( ) ; 2 2 zz = z + z (4) z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z)