第三讲线性变换及其矩阵 1
第三讲 线性变换及其矩阵 1
一、线性变换及其运算 定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对 于V中的任意元素x均存在唯一的y∈V与之对应，则称T为V 的一个变换或算子，记为 Tx=y 称y为x在变换T下的象，x为y的原象。 若变化T还满足 T(a+y)=k(Tx)+l(Ty)x,y∈V,k,I∈K 称T为线性变换。 2
一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对 于V 中的任意元素 x均存在唯一的 y V∈ 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx y = 称 y为 x在变换T 下的象， x为 y的原象。 若变化T 还满足 T kx ly k Tx l Ty ( ) () () += + ∀∈ ∈ xy Vkl K , ,, 称 T 为线性变换。 2
[例1]二维实向量空间R 一儿】5eR队将销网点9光的 操作就是一个线性变换。 5 n=5 cos0-5,sine [证明]x= 」 y=Tx= 72 72=5sin8+52cos0 cos0 -sin ∈R2 72 952 可见该操作为变换，下面证明其为线性变换 3
[例 1] 二维实向量空间 2 1 2 R R i = ∈ ξ ξ ξ ，将其绕原点旋转θ 角的 操作就是一个线性变换。 [证明] 1 2 x = ξ ξ 1 2 y Tx = = η η 11 2 21 2 cos sin sin cos = − = + η ξ θξ θ η ξ θξ θ 1 1 2 2 cos sin sin cos − = η ξ θ θ η ξ θ θ 2 ∈ R 可见该操作为变换，下面证明其为线性变换 3
y Vx- [] 2= ∈R2,k,leR 72 22 kx +lz= [医] 52 T+)- cos0 -sinekx+ 0 7 sine cos0kx,+12 m88m9m9 =k =k(Tx)+1(TZ) .T是线性变换。 4
1 2 x x x ∀ = 1 2 z z z = 2 ∈ R ，k l, ∈R 1 1 11 2 2 22 = kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz + + += + 1 1 2 2 1 1 2 2 cos sin ( ) sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos () () kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz − + + = + − − = + = + θ θ θ θ θθ θθ θθ θθ ∴ T 是线性变换。 θ η1 η2 1 ξ 2 ξ x y o 4
[例2]次数不超过n的全体实多项式P,构成实数域上的一个n+1维的 线性空间，其基可选为1，x,x,,},微分算子D=是P上的一 d 个线性变换。 [证明]显然D对P,而言是变换， 要证明D满足线性变换的条件 f,g∈Pn,k,l∈R D(kf+1g)=k(Df)+(Dg) ∴.D是P,上的线性变换。 5
[例 2] 次数不超过n的全体实多项式P n构成实数域上的一个n +1维的 线性空间，其基可选为{ } 2 1, , , , n xx x ，微分算子 d D dx = 是P n上的一 个线性变换。 [证明] 显然D对P n而言是变换， 要证明D满足线性变换的条件 ∀ ∈ f g, Pn，k l, ∈R D kf lg k Df l Dg ( ) ()() += + ∴ D是P n上的线性变换。 5
2.性质 (1) 线性变换把零元素仍变为零元素 (2) 负元素的象为原来元素的象的负元素 (3) 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明]线性变换T(kc+y)=k(Tx)+I(Ty) (1)T(O)=T(0x)=0(Tx)=O (2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) (3)元素组x,x2,…,xm线性相关，即存在一组不全为零的数 k,k2,…,kn使 6
2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换T kx ly k Tx l Ty ( ) () () += + （1）T O T x Tx O ( ) (0 ) 0( ) = = = （2）T x Tx Tx ( ) ( 1)( ) ( ) − = − =− （3）元素组 1 2 ,,, m xx x 线性相关，即存在一组不全为零的数 1 2 ,,, m kk k 使 6
∑kx=0 则 T2kx)=2k(0x)=T0)=0 .{Tx}线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无 关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T将所 有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 7
1 0 m i i i k x = ∑ = 则 1 1 ( ) ( ) (0) 0 m m ii i i i i T k x k Tx T = = ∑ ∑= = = ∴ {Txi}线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无 关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T 将所 有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 7
3.线性变换的运算 (1) 恒等变换T,:x∈V,Tx=x (2) 零变换T:Hx∈V,Tx=0 (3) 变换的相等：T、T,是V的两个线性变换，x∈V,均有 Tx=Tx,则称T=T (4) 线性变换的和T+T,:x∈V,(T+T)x=Tx+Tx2 (5) 线性变换的数乘kT:x∈V,(kT)x=k(Tx) 负变换：(-T)x=-(Tx) (6) 线性变换的乘积TT,:x∈V,(TT)x=T(Tx) (7) 逆变换T:Vx∈V,若存在线性变换S使得(ST)x=x,则 8
3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换T e： , e ∀∈ = x V Tx x （2） 零变换T0： 0 ∀∈ = x VTx , 0 （3） 变换的相等：T1、T2 是V 的两个线性变换，∀ ∈x V ，均有 Tx Tx 1 2 = ，则称T T 1 2 = （4） 线性变换的和T T 1 2 + ：∀ ∈x V ， 12 1 2 ( ) T T x T x Tx + =+ （5） 线性变换的数乘kT ：∀ ∈x V ，( ) () kT x k Tx = 负变换：( ) () − =− T x Tx （6） 线性变换的乘积TT1 2：∀ ∈x V ， 12 1 2 ( ) () TT x T T x = （7） 逆变换 1 T − ：∀ ∈x V ，若存在线性变换S 使得( ) ST x x ≡ ，则 8
称S为T的逆变换S=T-1 (8) 线性变换的多项式： T”=TT…T,并规定T=T。 0 fm)=立a,T→fTx=2a,Tx 1 n=0 需要说明的是： 1)T也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵I: 2)T,对应的矩阵表示为零矩阵： 3)和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 9
称S 为T 的逆变换 1 S T − = （8） 线性变换的多项式： n n T TT T = ，并规定 0 T T = e 0 ( ) N n n n f T aT = = ∑ → 0 ( ) N n n n f T x aT x = = ∑ 需要说明的是： 1）T e也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵I ； 2）T0对应的矩阵表示为零矩阵； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 9
4)不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，ST=T。: 5)恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在） 均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设T是线性空间V”的一个线性变换，且{x1,x2,…,xn}是V"的一 个基，x∈V",存在唯一的坐标表示 10
4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换， e ST T = ； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在） 均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设T 是线性空间 n V 的一个线性变换，且 {xx x 1 2 ,,, n}是 n V 的一 个基，∀ ∈x n V ，存在唯一的坐标表示 10