《场论与复变函数》教学大纲 课程编号：SC2123009 课程名称：场论与复变函数 英文名称：Theory of Field and Complex Function 学分/学时：3/48 课程性质：必修课， 适用专业：电子，信息，机电 建议开设学期：3 先修课程：《高等数学》 开课单位：机电工程学院自动化/电气/测控系 一、课程的教学目标与任务 《场论与复变函数》是工科电子技术类专业教学计划中的一门重要基础课，也是一门工 具课程。本课程的设立，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助， 另一方面，增强学生解决实际问题的能力。 通过本课程的学习，要求：（一）引导学生理解复变函数与数学分析的联系与区别、相 同与不同，从而诱导学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，为学生掌握复变函数在自 然科学和工程技术中的应用打下基础。（二）要求学生掌握矢量分析与场论方面的有关基本 理论，并学会应用所学知识解决所从事专业及在科学、工程技术中实际问题。 二、课程具体内容及基本要求 复变函数（30学时) (一)复数与复变函数（4学时) 复数发展史略：复数的定义及运算：面上的点集；复球面与无穷远点：复变函数。 1.基本要求 理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、按段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等 概念。理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。进一步认识复数域 的结构，并联系中学的复数教学。 2.重点、难点 重点：复变函数概念，复变函数的极限、连续。 难点：无穷远点及无穷远点邻域，用不等式表示区域。 (二)解析函数(5学时) 解析函数的概念：调和函数：初等函数。 1.基本要求 理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件：理解函数在一点解析与函数在一点可导 的区别：熟练掌握利用C一R条件判别解析函数的方法：熟练掌握已知解析函数的实部 或虚部，求该解析函数的方法。 2.重点、难点 重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及C一R条件、指数函数与指数函数的定
- 1 - 《场论与复变函数》教学大纲 课程编号：SC2123009 课程名称：场论与复变函数 英文名称：Theory of Field and Complex Function 学分/学时：3/48 课程性质：必修课， 适用专业：电子，信息，机电 建议开设学期：3 先修课程：《高等数学》 开课单位：机电工程学院自动化/电气/测控系 一、课程的教学目标与任务 《场论与复变函数》是工科电子技术类专业教学计划中的一门重要基础课，也是一门工 具课程。本课程的设立，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助， 另一方面，增强学生解决实际问题的能力。 通过本课程的学习，要求：(一) 引导学生理解复变函数与数学分析的联系与区别、相 同与不同，从而诱导学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，为学生掌握复变函数在自 然科学和工程技术中的应用打下基础。(二) 要求学生掌握矢量分析与场论方面的有关基本 理论，并学会应用所学知识解决所从事专业及在科学、工程技术中实际问题。 二、课程具体内容及基本要求 复变函数（30 学时） (一) 复数与复变函数 ( 4 学时) 复数发展史略；复数的定义及运算；面上的点集；复球面与无穷远点；复变函数。 1.基本要求 理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、按段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等 概念。理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。进一步认识复数域 的结构，并联系中学的复数教学。 2.重点、难点 重点：复变函数概念，复变函数的极限、连续。 难点：无穷远点及无穷远点邻域，用不等式表示区域。 (二) 解析函数(5 学时) 解析函数的概念；调和函数；初等函数。 1.基本要求 理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件；理解函数在一点解析与函数在一点可导 的区别；熟练掌握利用 C—R 条件判别解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部 或虚部，求该解析函数的方法。 2.重点、难点 重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及 C—R 条件、指数函数与指数函数的定
义及其主要性质。 难点：从己知的调和函数求其共轭调和函数 (三)复变函数的积分(5学时) 复积分的概念、性质和计算：柯西积分定理：单连通区域的柯西积分定理、复连通区域 的柯西积分定理：柯西积分公式与高阶导数公式：柯西积分定理与积分公式的应用：柯西不 等式、不定积分、牛顿一莱不尼兹公式。 1.基本要求 理解复积分的概念：理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定 理和公式的作用，知道证明方法：熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积 分。 2.重点、难点 重点：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。 难点：计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。 (四)级数(6学时) 复级数的基本概念：幂级数：解析函数的泰勒展式：唯一性定理：罗朗级数：孤立奇 点：解析函数在无穷远点的去心邻域内的性质。 1.基本要求 理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念：理解复变函 数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较认识其条件结论的强弱：熟练掌握幂级 数收敛半径和收敛圆的求法：熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法：数量掌握解析函 数零点和级别的求法。理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本性奇点的概念：熟练掌 握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式：熟练掌握判断奇点类别的方法。 2.重点、难点 重点：幂级数的收敛圆及收敛半径的求法：将函数在一点展成幂级数的方法：解析函数 的唯一性定理：将函数展成罗朗级数的方法：判别孤立奇点的方法：解析函数在其孤立奇点 去心邻域内的性质。 难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数：孤立奇点类别的 识别：将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。 (五)留数理论及其应用(6学时) 解析函数的映照性质：分式线性变换：几个初等函数的映照性质：黎曼定理及边界对应 定理。 1.基本要求 理解留数的定义：熟练掌握计算留数的方法：理解留数基本定理，会用留数理论计算积 分。 2.重点、难点 重点：计算留数的方法：留数基本定理。 难点：函数在无穷远点留数的计算。 (六)保形变换（6学时) -2-
- 2 - 义及其主要性质。 难点：从已知的调和函数求其共轭调和函数 (三) 复变函数的积分(5 学时) 复积分的概念、性质和计算；柯西积分定理；单连通区域的柯西积分定理、复连通区域 的柯西积分定理；柯西积分公式与高阶导数公式；柯西积分定理与积分公式的应用；柯西不 等式、不定积分、牛顿—莱不尼兹公式。 1.基本要求 理解复积分的概念；理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定 理和公式的作用，知道证明方法；熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积 分。 2.重点、难点 重点：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。 难点：计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。 (四) 级数( 6 学时) 复级数的基本概念；幂级数； 解析函数的泰勒展式；唯一性定理；罗朗级数；孤立奇 点；解析函数在无穷远点的去心邻域内的性质。 1.基本要求 理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念；理解复变函 数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较认识其条件结论的强弱；熟练掌握幂级 数收敛半径和收敛圆的求法；熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法；数量掌握解析函 数零点和级别的求法。理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本性奇点的概念；熟练掌 握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式；熟练掌握判断奇点类别的方法。 2.重点、难点 重点：幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；将函数在一点展成幂级数的方法；解析函数 的唯一性定理；将函数展成罗朗级数的方法；判别孤立奇点的方法；解析函数在其孤立奇点 去心邻域内的性质。 难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数；孤立奇点类别的 识别；将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。 (五) 留数理论及其应用( 6 学时) 解析函数的映照性质；分式线性变换；几个初等函数的映照性质；黎曼定理及边界对应 定理。 1.基本要求 理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，会用留数理论计算积 分。 2.重点、难点 重点：计算留数的方法；留数基本定理。 难点：函数在无穷远点留数的计算。 (六) 保形变换 ( 6 学时)
留数的概念与计算：留数基本定理：留数在计算某些实积分中的应用：辐角定理。 1.基本要求 理解导数的几何意义及保形映照、分式线性映照、保圆性、对称点等概念：掌握分式线 性映照的性质和几个典型映照：理解常见的映照性质：会求将区域D映射为G的保形映照。 2.重点、难点 重点：分式线性变换。 难点：已知区域D与G,求将D映射为G的保形映照。 场论部分 第一章矢量分析(8学时) 本章是本篇的基础，包括矢性函数的概念、矢性函数的导数与微分、矢性函数的积分。 重点：矢性函数的导数与微分、矢性函数的积分。 难点：矢性函数的求导与微分。 第二章场论(8学时) 本章是本篇的重点，包括场、数量场的方向导数和梯度、矢量场的通量及散度、矢量场 的环量及旋度、几种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）。 重点：数量场的方向导数及梯度、矢量场的通量及散度、矢量场的环量及旋度。 难点：数量场梯度的求解应用、矢量场散度和旋度的。 三、教学安排及方式 总学时48学时，理论及习题授课48学时，实验（或上机或多种形式教学）0学时。 教学环节 教学时数 讲 实 习 讨 上 看 外 题 论 课 验 课 课 或 课程内容 机 计 复数与复变函数 4 解析函数 5 5 复变函数的积分 5 级数 5 1 6 留数理论及其应 5 1 6 用 保形变换 5 1 6 矢量分析 8 8 场论 7 1 8 合计 41 48 四、本课程对培养学生能力和素质的贡献点 本课程围绕测控技术与仪器专业人才培养的专业工程素质教育目标，重在培养学生的数 学抽象能力，注重实数域与复数域的联系，巩固和加强数学中解析函数、计数展开知识，建 立留数、保形影射的概念，为相关专业知识的学习打下坚实的数学基础。 五、考核及成绩评定方式 -3-
- 3 - 留数的概念与计算；留数基本定理；留数在计算某些实积分中的应用；辐角定理。 1.基本要求 理解导数的几何意义及保形映照、分式线性映照、保圆性、对称点等概念；掌握分式线 性映照的性质和几个典型映照；理解常见的映照性质；会求将区域 D 映射为 G 的保形映照。 2.重点、难点 重点：分式线性变换。 难点：已知区域 D 与 G，求将 D 映射为 G 的保形映照。 场论部分 第一章 矢量分析(8 学时) 本章是本篇的基础，包括矢性函数的概念、矢性函数的导数与微分、矢性函数的积分。 重点：矢性函数的导数与微分、矢性函数的积分。 难点：矢性函数的求导与微分。 第二章 场论(8 学时) 本章是本篇的重点，包括场、数量场的方向导数和梯度、矢量场的通量及散度、矢量场 的环量及旋度、几种重要的矢量场(有势场、管形场、调和场)。 重点：数量场的方向导数及梯度、矢量场的通量及散度、矢量场的环量及旋度。 难点：数量场梯度的求解应用、矢量场散度和旋度的。 三、教学安排及方式 总学时 48 学时，理论及习题授课 48 学时，实验（或上机或多种形式教学）0 学时。 教学环节 教学时数 课程内容 讲 课 实 验 习 题 课 讨 论 课 上 机 参 观 或 看 录 像 小 计 复数与复变函数 4 4 解析函数 5 5 复变函数的积分 5 5 级数 5 1 6 留数理论及其应 用 5 1 6 保形变换 5 1 6 矢量分析 8 8 场论 7 1 8 合计 41 4 48 四、本课程对培养学生能力和素质的贡献点 本课程围绕测控技术与仪器专业人才培养的专业工程素质教育目标，重在培养学生的数 学抽象能力，注重实数域与复数域的联系，巩固和加强数学中解析函数、计数展开知识，建 立留数、保形影射的概念，为相关专业知识的学习打下坚实的数学基础。 五、考核及成绩评定方式
(以下为示例) 最终成绩由平时成绩(20%)和期末成绩综合而成。各部分所占比例如下： 平时作业成绩：15%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。 到课点名：5%。 期末考试成绩：80%。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、简答题和综合题等。 六、教材及参考书目 教材： 1.工程数学《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，高等教育 出版社，1996年5月第4版： 2.谢树艺编《矢量分析与场论》（第三版），北京：高等教育出版社，2005年。 参考书： 1. 《复变函数》.孙利祥主编，复旦大学出版社，1998年： 2. 《复变函数》（第三版），余家荣，高等教育出版社，2000年： 3.复变函数》.路见可，钟寿国等，武汉大学出版社，1999年： 4.谢树艺编《矢量分析与场论学习指导书》（第三版），北京：高等教育出版 社，2005年。 七、说明 (一)与相关课程的分工衔接 本课程是一门工程基础课，必须先修《高等数学》、《线性代数》，后续课程为《信号与 系统》、《电磁学》、《电动力学》、《流体力学》、《自动控制》等，为后续课程提供数学工具， 有助于学生深刻理解信号与系统、自动控制等专门知识。 (二)其他说明 (执笔人：付小宁 审核人：赵建) 月 -4-
- 4 - （以下为示例） 最终成绩由平时成绩（20%）和期末成绩综合而成。各部分所占比例如下： 平时作业成绩：15%。主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。 到课点名：5%。 期末考试成绩：80%。书面考试形式。题型为：选择题、填空题、简答题和综合题等。 六、教材及参考书目 教材： 1. 工程数学《复变函数》(第四版)，西安交通大学高等数学教研室编，高等教育 出版社，1996年5月第4版； 2. 谢树艺 编《矢量分析与场论》（第三版），北京：高等教育出版社，2005年。 参考书： 1. 《复变函数》.孙利祥主编，复旦大学出版社，1998年； 2. 《复变函数》（第三版），余家荣，高等教育出版社，2000年； 3. 复变函数》. 路见可，钟寿国等，武汉大学出版社，1999年； 4. 谢树艺 编《矢量分析与场论学习指导书》（第三版），北京：高等教育出版 社，2005年。 七、说明 （一）与相关课程的分工衔接 本课程是一门工程基础课，必须先修《高等数学》、《线性代数》，后续课程为《信号与 系统》、《电磁学》、《电动力学》、《流体力学》、《自动控制》等，为后续课程提供数学工具， 有助于学生深刻理解信号与系统、自动控制等专门知识。 （二）其他说明 （执笔人：付小宁 审核人：赵建） 年 月 日