计算机类本科规划教材：《离散数学》课程配套电子教案（PPT课件讲稿）第7章 群、环和域

第7章群、环和域 第7章群、环和域 7.1半群和独异点 7.2群与阿贝尔群 7.3子群 7.4陪集和拉格朗日定理 7.5正规子群 7.6同态和同构 7.7循环群 7.8置换群 7.9环与域 返回总目录

第7章 群、环和域 第7章 群、环和域 7.1 半群和独异点 7.2 群与阿贝尔群 7.3 子群 7.4 陪集和拉格朗日定理 7.5 正规子群 7.6 同态和同构 7.7 循环群 7.8 置换群 7.9 环与域 返回总目录

第7章群、环和域 第7章群、环和域 7.1半群和独异点 7.1.1广群和半群 代数系统又称为广群。 定义7.1.1设是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统为半群。 例如，代数系统、、、、 是半群，如果运算*又满足交换 律，则称半群为可换半群。若S为有限集合，则半群 称为有限半群。 定理7.1.1设是半群，*是S上的二元运算，BcS, 如果*在B上是封闭的，则<B,也是半群

第7章 群、环和域 第7章 群、环和域 7.1半群和独异点 7.1.1广群和半群 代数系统又称为广群。 定义7.1.1 设是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统为半群。 例如，代数系统、R,·、、、 和都是半群。 半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运 算组成的代数系统。设是半群，如果运算*又满足交换 律，则称半群为可换半群。若S为有限集合，则半群 称为有限半群。 定理7.1.1 设是半群，*是S上的二元运算，BS， 如果*在B上是封闭的，则B, *也是半群

第7章群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算 。 是代数系统。Va,b,ceB,由于BcS,所以a,b,ceS,又 由于S,>是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c),故是半群。 定义7.1.2定理7.1.1中的半群叫做半群的子半 群。 例如，因为QcR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，是的子半群，所以是半群 类似的可以证明、和是半群。 定理7.1.2设<S,是半群，S是有限集，则必有aeS,使 得a*a=a 证明：Vb∈S,由*在S上的封闭性知： b2=b*b∈S b3=b2*b∈S

第7章 群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。 B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又 由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B, *是半群。 定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B, *叫做半群S, *的子半 群。 例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半群。 类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。 定理7.1.2 设S, *是半群，S是有限集，则必有aS，使 得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b 2=b*bS b 3=b 2*bS …

第7章群、环和域 因为S是有限集，所以必有i<j使 b=b令p=j-i,则p=j-21,而=p十i b=b=bP+i=bP￥b 于是下式成立： b9=bp*ba gzi 因为p=j-21,总可以找到②1，使得p≥i 对于S中的元素bp,就有 bkp=bp*bkp =bP*(bP*BKP) =b2p*bkp =b2P*(bP*bKP) =bkp*bkp 令a=bp,a*a=a

第7章 群、环和域 因为S是有限集，所以必有i＜j使 b i=bj 令p=j–i，则p=j–i≥1，而j=p＋ i b i=bj=bp+i=bp*b i 于是下式成立： b q=bp*b q q≥i 因为p=j–i≥1，总可以找到k≥1，使得kp≥i 对于S中的元素b kp，就有 b kp=bp*b kp =bp*(b p*b kp) =b2p*b kp =b2p*(bp*b kp) =… =bkp*b kp 令a=bkp，a*a=a

第7章群、环和域 设！，是正整数集合，+是I+上的普通加法，加法在正整 数集合I,上封闭且适合结合律。所以是半群。但因1+ 是无限集，所以I+中没有幂等元。 【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： Vx,y∈R,x*y=xy 其中xy为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明是 一个半群。 证明：显然，x,yeR,则xy∈R,故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x,y,z∈R,有 (x*)*=(x=( xy粒)=xy*z=xylz=xylz 所以，(x*y)*z=x*(y*2),故是一个半群 7.1.2独异点 定义7.1.3设为含么半群或独异点

第7章 群、环和域 设I＋是正整数集合，＋是I＋上的普通加法，加法在正整 数集合I＋上封闭且适合结合律。所以I＋,＋是半群。但因I＋ 是无限集，所以I＋中没有幂等元。 【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y| 其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明是 一个半群。 证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有 (x∗y)∗z=(x∗y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z| x∗(y∗z)=x|y∗z|=x|y|z||=x|y||z| 所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G, *是半群，如果运算*的单位元eG， 则称半群G, *为含幺半群或独异点

第7章群、环和域 若是独异点；交运算∩在P(A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元A∈P(A),所以半群也是独异点。 显然，并运算U和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3设为独异点。 证明：a,beH,于是a*a=a,b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a=a*(b*b)*a a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是*beH,即*在H上封闭，显然HcG,根据定理7.1.1， 为独异点

第7章 群、环和域 若G, *为独异点，且*是可交换的，则称G, *为可换 的独异点。 例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元AP (A)，所以半群也是独异点。 显然，并运算∪和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3 设G, *是可交换的独异点，H为其所有幂等 元的集合，则H, *为独异点。 证明：a,bH，于是a*a=a，b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a =a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是a*bH，即*在H上封闭，显然HG，根据定理7.1.1， H, *是半群。 因e*e=e，故eH。所以H, *为独异点

第7章群、环和域 定理7.1.4设是独异点，则在*的运算表中任何两行 两列都不相同。 证明：先证明任何两列不相同。 设运算*的单位元是e∈G,xeG,yeG,xy 因为e*x=x,e*=y,所以e*xe*y,这说明e所在行的元 素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何 两列是不相同的，至少所在行互不相同。 类似地可证任何两行是不相同的。 前面说过，和是半群。根据表6.1和表 6.2, N4上的模4加法+4有单位元0，N4上的模4乘法×4有单位 元1，所以和都是独异点。在+4和×，运算表 中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。 定理7.1.5设是独异点，Va,b∈G且a,b均有逆元， 则

第7章 群、环和域 定理7.1.4 设G, *是独异点，则在*的运算表中任何两行 两列都不相同。 证明：先证明任何两列不相同。 设运算*的单位元是eG，xG，yG，x≠y 因为e*x=x， e*y=y，所以e*x≠e*y，这说明e所在行的元 素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何 两列是不相同的，至少e所在行互不相同。 类似地可证任何两行是不相同的。 前面说过，和是半群。根据表6.1和表 6.2，N4上的模4加法＋4有单位元0，N4上的模4乘法×4有单位 元1，所以和都是独异点。在＋4和×4运算表 中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。 定理7.1.5设是独异点，a,bG且a, b均有逆元， 则

第7章群、环和域 (1)(a1)1=a (2)a*b有逆元，且(a*b)1=b1*a1 证明：(I)因a*al=al*a=e,故(awl)l=a (2)因(a*b)*(b1*arl)=(a*(b*b1)*a1 =a*e*al=a*al=e 又 (b1*ar1)*(a*b)=(b1*a1)*(a*b) =b1*(am1*a)*b=b1*e*b=b-1*b=e 故 (a*b)-1=b-1*a1 定义7.1.4设是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则侧称半群为由a所生成的循环 半群，而a称为半群的生成元素，并记(a。 定理7.1.6一个循环半群一定是可换半群

第7章 群、环和域 ⑴ (a –1 ) –1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b) –1=b–1*a –1 证明：⑴ 因a*a –1=a–1*a=e，故(a –1 ) –1=a ⑵ 因(a*b)*(b –1* a –1 )=(a*(b*b –1 )*a –1 =a*e*a –1=a*a –1=e 又 (b –1* a –1 )*(a*b)=(b –1*a –1 )*(a*b) =b–1*(a –1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e 故 (a*b) –1=b–1*a –1 定义7.1.4 设是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则称半群为由a所生成的循环 半群，而a称为半群的生成元素，并记(a)。 定理7.1.6 一个循环半群一定是可换半群

第7章群、环和域 证明：设为由a所生成的循环半群，，y∈G,则 x=am,y=a”,于是 x*y=aman=amin=an+m =anxam=y*x 即是可换半群 7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质 定义7.2.1设为群。有时也可将群<G,简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点 是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录

第7章 群、环和域 证明：设为由a所生成的循环半群，x, yG，则 x=am ，y=an ，于是 x*y=am*a n=am+n=an+m =an*a m=y*x 即是可换半群。 7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质 定义7.2.1 设G,*是代数系统，其中，G是非空集合， *是G上二元运算。如果 ⑴运算*在G上是可结合的。 ⑵运算*的单位元eG。 ⑶xG，有x –1G。 则称G, *为群。有时也可将群G, *简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点 是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录

第7章群、环和域 普通加法十在I上是封闭的和可结合的，在中有关于加 法的单位元0，VxeI,有xl=-xeI,所以是群。该群 叫做整数加法群。 乘法在Q0}上也是封闭的和可结合的，在Q0}中有 关于乘法的单位元1，x∈Q0},有x1=1∈Q0},所以 是群。 X 用同样的办法可以证明是群，其中0是单位元， Vx∈R,xX1=-x∈R。群叫做实数加法群；但不 是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而 是群，其中1是单位元，x∈R0,有x1=∈R-0Y。 【例7.2】设G=了e,a,b,c,表7.1给出了*的运算表。证明 是群

第7章 群、环和域 普通加法＋在I上是封闭的和可结合的，在I中有关于加 法的单位元0，xI，有x –1＝–xI，所以I,＋是群。该群 叫做整数加法群。 乘法·在Q-0上也是封闭的和可结合的，在Q-0中有 关于乘法的单位元1，xQ-0，有x –1＝ Q-0，所以 Q-0,·是群。 用同样的办法可以证明R,＋是群，其中0是单位元， xR，x –1＝–xR。群R,＋叫做实数加法群；但R,·不 是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而R-0,· 是群，其中1是单位元，xR-0，有x –1= R-0。 【例7.2】设G＝e,a,b,c，表7.1给出了*的运算表。证明 G,*是群。 x 1 x 1