高等学校教材 数学物理方法 (第三版 架昆森编 高笔教有女版社
内容简介 本书系在第二版的基础上，根据当前的教学实际修订而成的，全书包括 复变函数论、数学物理方程两部分，以数学物理中的偏微分方程定解问题的 建立和求解为中心，本书保持了前两版数学紧密联系物理、讲解流畅的特点， 并对内容作了适度精简， 本书可作为综合大学、高等师范院校物理类各专业“数学物理方法”课程 的教材，亦可供高等工科院校有关专业选用 -n
第三版序言 本节第二版面世业已十多年，在这十多年里，物理类各专业 “数学物理方法”课程的教学要求和学时数发生了变化.针对这一 情况，特约请刘法、缪国庆副教授对本书进行修订.他们两位多年 来分别在南京大学物理系和电子系讲授数学物理方法 前两版数学紧密联系物理、讲解流畅的特点，在这次修订中力 求延续下来. 不少学校的“高等数学”课程已讲述了傅里叶级数.因此，在这 一版中，“傅里叶级数和傅里叶积分”不再单独作为一篇，而在“复 变函数论”篇下设“傅里叶变换”章，与“拉普拉斯变换”章并列.“傅 里叶变换”章以傅里叶级数的概述作为起始的一步，未曾学过傅里 叶级数的读者也可通过此概述掌握它。 格林函数方法原来分散在两处，此次修订将它集中到专门的 一章之中. 为了适应不同的专业要求和不同的学时数，我们把某些可选 讲的内容加上标记*或用小字排印，源来的想法是首先考虑精简 小字排印内容，进一步精简可考虑标有*的内容。不过，事实上很 难区分得如此清楚，而且归根结底·只有任教的若师才能决定怎祥 的精简最适合他（她）的学生· 此次修订还修政了个别地方的提法、讲法，精简了某些过多的 例题，制除了附录中关系不很密切的部分， 修订工作的具体分工是，缪国庆货贵第1~6章和第12~15 章，刘法负责第7~10章，我和刘法共同负责第11章.修订过程中 三人多次集体讨论 修订稿承武汉大学梁家宝先生提出许多宝贵意见，特此致谢. 本书第一、二版也得到过许多先生的宝贵意见和帮助，我愿藉此机 。I
会一并表示感谢. 本书的不妥当处以及错误缺点，切盼读者诸君批评指正， 梁昆森谨识 1995年7月
目 录 第一篇复变函数论 第一章复变函数…………………… (1) 1.1复数与复数运算………… ……………(1) 1.2复变函数………………… ………(6) 1.3导数…………………………………(9) 1.4解析函数………………………………(13) 1.5平面标量场…………………………………………(18) 1.6多值函数……………………… ……(23) 第二章复变函数的积分…………………………………(28) 2.1复变函数的积分…………………… …………………(28) 32.2柯西定理…… ……(30) 2.3不定积分 …… ……(33) 62.4柯西公式 ………………………………(35) 第三章幂级数展开………………………………………… (40) 3.1复数项级数…………………………………(40) 3.2幂级数…………………… ………(42) 3.3泰勒级数展开……………… ……………(47) 3.4解析延拓…………… ………(52) 3.5洛朗级数展开………………………………………(54) §3.6孤立奇点的分类………………………………………(60) 第四章留数定理 ……(65) §4.1留数定理 .….……(65) §4,2应用留数定理计算实变函数定积分………………(71) 关84.3计算定积分的补充例题 (82) 第五章傅里叶变换 (88) 5.1傅里叶级数 (88) ·1
§5.2傅里叶积分与傅里叶变换……… (93) §5.38函数……………………(104) 第六章拉普拉斯变换 (114) 矿6.】符号法…………………… (114) §6,2拉普拉斯变换…… (115) $6.3拉普拉斯变换的反演… (122) §6.4吃用例……… (128) 第二篇数学物理方程 第七章数学物理定解问题 ……(133) §。1数学物理方程的导出…… (135) §7.2定解条件…… (153) 苓7,3数学物理方程的分类………… (161) 苓7.4达朗贝尔公式定解问题…… (170) 第八章分离变数（傅里叶级数）法…… (180) §8.1齐次方程的分离变数法…………… (180) S8、2非齐次振动方程和输运方程…… (203) S8.3非齐次边界条件的处理……… (216) §8,4泊松方程……… (219) §8.5小结……… (223) 第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题… (226) S9.1特殊函数常徽分方程…………… (226) §9.2常点邻域上的级数解法 (237) §9、3正则奇点邻域上的级数解法………… (243) S9.4塘图姆-刘维尔本征值问题… (261) 第十章球函数… (273) §10.1轴对称球函数 (273) S10.2连带勒让德函数…… (297) S10.3一般的球函数… (308) 第十一章柱函数…… (325) §11.1二三类柱函数………(325) 、2
爷11.2贝塞尔方程………………… ……………(328) 11.3柱函数的渐近公式………………(347) §11.4虚宗量贝塞尔方程………………………(355) 11.5球贝塞尔方程 ……… ……(362) 并§11.6可化为贝塞尔方程的方程………………………(372) 第十二章格林函数解的积分公式………(374) §12.1泊松方程的格林函数法……………………(374) §12.2用电像法求格林函数……………………………… (381) §12.3含时间的格林函数…………………… (388) 12.4用冲量定理法求格林函数…………………(391) 12.5推广的格林公式及其应用 (397) 第十三章积分变换法 (406) 13.1傅里叶变换法 (406) §13.2拉普拉斯变换法 (418) 第十四章保角变换法 (423) 14.1保角变换的基本性质 +++ (423) 14.2某些常用的保角变换 (426) 第十五章近似方法简介…………………………(459) 15.1作为近似方法的变分法 ………………(459) 515.2模拟法 (462) 15.3有限差分法 + ………………(462) 附录……… ……(468) 一、傅里叶变换函数表 *………(468) 二、拉普拉斯变换函数表……………………………………(471) 三、高斯函数和误差函数…………………………………(474) 四、勒让德方程的级数解(9.2.7)和(9.2.8)在x=士1发散……(475) 五、连带勒让德函数…… …4…(476) 六、贝塞尔函数表………………… …………(477) 七、诺伊曼函数……………………… …………………(480) 八、虚宗量贝塞尔函数虚宗量汉克尔函数………………(483) 九、球贝塞尔函数 ……………………(484) ·3·
十、埃尔米特多项式…………… (487) 十、拉盖尔多项式……… (490) 十、方程x十件gx=0的前六个根……… (491) 十、厂函数（第二类欧拉积分） (492) 习题答案… (499) 人名对照表… (529) ·4·
第一篇 复变函数论 第一章复变函数 §1.1复数与复数运算 (一)复数的基本概念 一个复数x总可以表为某个实数x与某个纯虚数y的和， z=x十iy, (1.1.1) 这叫作复数的代数式，x和y则分别叫作该复数的实部和虚部，并 分别记作Rex和Imz.: 如果把x和y当作平面上的 点的坐标（图1-1），复数之就跟平 面上的点一一对应起来，这个平面 叫作复数平面，两个坐标轴分别叫 作实轴和虚轴 如果把x和y当作矢量的直 角坐标分量（图1-1），复数之还可 以用复数平面上的矢量来表示， 图1-1 改用极坐标P和（图1-1）代替直角坐标x和y, 1
p=vr+y, x=pcosp, (1.1.2) p=arc tg(y/x); y=psing. 则复数之可表为三角式或指数式，即 2=o(cosp十ising), (1.1.3) 或 z=peP. (1.1.4) p叫作该复数的模，记作1z.叫作该复数的辐角，记作 Ar宫之 一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且 彼此相差2π的整数倍.通常约定，以argz表示其中满足条件 0≤Argz2π 的一个特定值，并称arg之为Arg之的主值，或之的主福角.于是有 p=Argz=argz十2kx.(k=0,士1，士2，…) 复数“零”（即实部x和虚部y都等于零的复数）的辐角没有 明确意义 一个复数z的共轭复数之·，指的是对应的点对实轴的反映， 即 z'=x-iy=p(coso-ising)=pe-i. (1.1.5) (二)无限远点 前面我们将模为有限的复数跟复数平面上的有限远点一一对 应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平 面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点.关于无限远点，可 作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面 相切于原点，如图12所示.在复数平面上任取一点A,它与球的 北极N的联线跟球面相交于A',这样，复数平面上的有限远点跟 球面上N以外的点一一对应了起来.这种对应关系叫作测地投 老，这个球叫作复数球，设想A点沿着一根通过原点的直线向无 限远移动，对应的点A'就沿着一根子午线（经线）向北极N逼近. 如果A沿着另一根通过原点的直线向无限远移动，则A'沿着另一 根子午线向北极N逼近.其实，不管A沿着什么样的曲线向无限 。2