基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究 及其在期权定价中的应用 班级：F1224002 姓名：王思远 学号：5122409025 1 Monte Carlo方法 蒙特卡罗Monte Carlo)方法于二十世纪四十年代作为一种以概率和统计理 论为指导思想的数值计算方法被首次提出，又被称为随机模拟方法或统计模拟方 法。蒙特卡罗同时也是位于欧洲摩纳哥的一个地名，是世界著名的赌城，蒙特卡 罗方法也正是借此而得名。 实际上，蒙特卡罗方法的起源可以追溯到1777年的蒲丰投针实验来求圆周 率，其实质上是通过大量的实验次数由频率来近似概率。蒙特卡罗方法将所求问 题与一定的概率模型联系起来，通过计算机反复产生模型中具有某种统计特征的 随机数来解决计算问题。当然，这样产生的随机数并不是真的随机数，通常被称 为伪随机数。在概率统计理论上，大数定律确保了蒙特卡罗了方法的收敛性，而 中心极限定理为蒙特卡罗方法提供了误差分析的途径。当代电子计算机的进步让 需要大量次数的实验成为可能，加速了蒙特卡罗方法的发展，使其被广泛应用于 金融、运筹、物理、生物等领域。下面将对Monte Carlo方法作简单的介绍。 1.1 Monte Carlo方法基本原理 以一个简单的积分计算来说明Monte Carlo方法的基本原理，例如 A-ff(x)dx (1.1) 这是计算函数f(x)在单位区域[0,1]上的积分值A。不能发现(1.1)等价于计 算数学期望 A=E[f(x)] (1.2) 其中变量X是服从0到1上的均匀分布，即X~U[0,1]。那么，我们首先通过随 机抽样以获得N个相互独立且来自[0,1]均匀分布的随机数X,X2,,X、,然后 计算函数fx)在各个随机数处的取值f(X),f(X2),,f(Xw),最后将这些函数值 累加并求其算术平均值，就可以得到A的Monte Carlo估计
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究 及其在期权定价中的应用 班级：F1224002 姓名：王思远 学号：5122409025 1 Monte Carlo 方法 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法于二十世纪四十年代作为一种以概率和统计理 论为指导思想的数值计算方法被首次提出，又被称为随机模拟方法或统计模拟方 法。蒙特卡罗同时也是位于欧洲摩纳哥的一个地名，是世界著名的赌城，蒙特卡 罗方法也正是借此而得名。 实际上，蒙特卡罗方法的起源可以追溯到 1777 年的蒲丰投针实验来求圆周 率，其实质上是通过大量的实验次数由频率来近似概率。蒙特卡罗方法将所求问 题与一定的概率模型联系起来，通过计算机反复产生模型中具有某种统计特征的 随机数来解决计算问题。当然，这样产生的随机数并不是真的随机数，通常被称 为伪随机数。在概率统计理论上，大数定律确保了蒙特卡罗了方法的收敛性，而 中心极限定理为蒙特卡罗方法提供了误差分析的途径。当代电子计算机的进步让 需要大量次数的实验成为可能，加速了蒙特卡罗方法的发展，使其被广泛应用于 金融、运筹、物理、生物等领域。下面将对 Monte Carlo 方法作简单的介绍。 1.1 Monte Carlo 方法基本原理 以一个简单的积分计算来说明 Monte Carlo 方法的基本原理，例如 A = f ( x)dx 0 1 ∫ (1.1) 这是计算函数 f (x) 在单位区域［0,1］上的积分值 A。不能发现（1.1）等价于计 算数学期望 A = E ⎡ f ( x) ⎣ ⎤⎦ (1.2) 其中变量 X 是服从 0 到 1 上的均匀分布，即 X ∼U[0,1] 。那么，我们首先通过随 机抽样以获得 N 个相互独立且来自［0,1］均匀分布的随机数 X1, X2 ,…, XN ，然后 计算函数 f (x) 在各个随机数处的取值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )，最后将这些函数值 累加并求其算术平均值，就可以得到 A 的 Monte Carlo 估计
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 (1.3) 当N取得足够大的时候，根据强大数定律A将会非常接近A的值并可以作为A 的近似值。 由上述这个简单的例子可以看出，如果想要利用Monte Carlo方法，最为重 要的一步是需要将所求解的问题转化为与之等价的概率统计问题，寻找到某个统 计量的数学期望恰好等于所求问题的值。下面给出一般情形下Monte Carlo方法 计算问题的步骤： 假设要计算的问题可以表示为如下形式 A=E[f(x)]=[f(x)dF(x) (1.4) 这里A是所要求的值，X是一个随机变量，f(x)是一个依赖于X的统计量，F(x) 是X的分布函数。 (1)依据概率分布函数F(x)产生N个样本点X,X2,,Xw。 (2)计算f(x)在这些样本点上的值f(X),fX2),f(Xw)。 (3)对N个值f(X),i=1,2,N进行求和并计算算术平均值A,作为A的估算值。 有以上步骤得到的统计估计量A,和所要求的A的近似程度与所取样本点的个数 N相关。 对任意的ε>0，满足 im P(Av-A<e)=1 (1.5) 即当N趋向于正无穷时，A,依概率收敛于A。 1.1.2 Monte Carlo方法的误差分析 假设f(X)满足E[f(X,)]=A,Var[f(X)]=o<∞，δ为显著水平，根据 中心极限定理，≥0 (1.6) 当N足够大时，有 mPA-4胎2子=1-6 (1.7)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 2 Aˆ N D = 1 N f (Xi) i=1 N ∑ (1.3) 当 N 取得足够大的时候,根据强大数定律 Aˆ 将会非常接近 A 的值并可以作为 A 的近似值。 由上述这个简单的例子可以看出，如果想要利用 Monte Carlo 方法，最为重 要的一步是需要将所求解的问题转化为与之等价的概率统计问题，寻找到某个统 计量的数学期望恰好等于所求问题的值。下面给出一般情形下 Monte Carlo 方法 计算问题的步骤： 假设要计算的问题可以表示为如下形式 A = E ⎡ f (X) ⎣ ⎤⎦ = f ( x)dF( x) ∫ (1.4) 这里 A 是所要求的值，X 是一个随机变量，f(x)是一个依赖于 X 的统计量，F(x) 是 X 的分布函数。 （1）依据概率分布函数 F(x)产生 N 个样本点 X1, X2 ,…, XN 。 （2）计算 f(x)在这些样本点上的值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )。 （3）对 N 个值 f (Xi),i = 1,2,…,N 进行求和并计算算术平均值 Aˆ N 作为 A 的估算值。 有以上步骤得到的统计估计量 Aˆ N 和所要求的 A 的近似程度与所取样本点的个数 N 相关。 对任意的ε > 0 ，满足 lim N→∞ P Aˆ ( N − A < ε ) = 1 (1.5) 即当 N 趋向于正无穷时， Aˆ N 依概率收敛于 A。 1.1.2 Monte Carlo 方法的误差分析 假设 f (Xi) 满足 E ⎡ f (Xi) ⎣ ⎤ ⎦ = A ，Var⎡ f (Xi) ⎣ ⎤ ⎦ = σ A 2 < ∞ ，δ 为显著水平，根据 中心极限定理，∀uδ ≥ 0 lim N→∞ P Aˆ N − A σ A / N < uδ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = 1 2π e − x2 2 dx −uδ uδ ∫ (1.6) 当 N 足够大时，有 lim N→∞ P Aˆ N − A < σ Auδ N ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≅ 1 2π e − x2 2 dx −uδ uδ ∫ = 1−δ (1.7)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 式(1.7)意味着 (1.8) 以概率1-6成立，(1.8)表明估计量A,收敛到A的速度的阶为O(N-),若用R 表示Monte Carlo方法的误差，则 R=alls (1.9) √W 在(1.9)中，随机变量的标准差σ，在求解问题的过程中未知的，尽管如此，若以 。,表示样本标准差，当N→∞时我们有g→1所以可以用G,代替。A, A (1.10) 因此，获得的函数值fX),f(X2),,fXw)不仅可以用于估计A,还可以用来 衡量Monte Carlo方法的误差。另外，由(1.9)可以看Monte Carlo方法的误差 R由标准差o,和样本点的个数N共同决定。误差形式o,I√W是Monte Carlo方 法区别于其它数值方法的最主要的特点。 从Monte Carlo方法的收敛速度的阶O(N-n),不难发现相比于其它数值方 法Monte Carlo方法在解决一维或者低维问题上其收敛速度比较慢，并不那么吸 引人。事实上，Monte Carlo方法大受欢迎的原因是它能够很容易地被拓展到解 决多维问题上，因为随着维数的增高Monte Carlo方法的误差仍然为o,I√N, 也就意味着此时其收敛速度的阶仍为O(N-),而与所求问题的维数无关，这是 其它数值方法难以相比的，也正是Monte Carlo方法的优势所在。 1.1.3 Monte Carlo方法在金融衍生品定价中的应用 假设y表示任意一个欧式衍生产品的价值，根据金融衍生产品定价理论，V 可以被表示为此产品在到期日回报的贴现的期望值，即 V=E[e"h(S,】 (1.11) 其中T是到期日，S,是标的变量在到期日的值，根据定价问题的不同S,可以是 一维变量或者是多维变量，r是无风险利率。是到期目的收益函数，最简单的
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 3 式(1.7)意味着 Aˆ N − A < σ Auδ N (1.8) 以概率1−δ 成立，(1.8)表明估计量 Aˆ N 收敛到 A 的速度的阶为O N−1/2 ( ) ，若用 R 表示 Monte Carlo 方法的误差，则 R = σ Auδ N (1.9) 在(1.9)中，随机变量的标准差σ A在求解问题的过程中未知的，尽管如此，若以 σ s 表示样本标准差，当 N → ∞ 时我们有 σ s σ A →1所以可以用σ s 代替σ A， σ s = 1 N −1 f (Xi) − Aˆ N ( ) 2 i=1 N ∑ (1.10) 因此，获得的函数值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )不仅可以用于估计 A，还可以用来 衡量 Monte Carlo 方法的误差。另外，由(1.9)可以看 Monte Carlo 方法的误差 R 由标准差σ A和样本点的个数 N 共同决定。误差形式σ A / N 是 Monte Carlo 方 法区别于其它数值方法的最主要的特点。 从 Monte Carlo 方法的收敛速度的阶O N−1/2 ( ) ，不难发现相比于其它数值方 法 Monte Carlo 方法在解决一维或者低维问题上其收敛速度比较慢，并不那么吸 引人。事实上，Monte Carlo 方法大受欢迎的原因是它能够很容易地被拓展到解 决多维问题上，因为随着维数的增高 Monte Carlo 方法的误差仍然为σ A / N ， 也就意味着此时其收敛速度的阶仍为O N−1/2 ( ) ，而与所求问题的维数无关，这是 其它数值方法难以相比的,也正是 Monte Carlo 方法的优势所在。 1.1.3 Monte Carlo 方法在金融衍生品定价中的应用 假设 y 表示任意一个欧式衍生产品的价值，根据金融衍生产品定价理论，V 可以被表示为此产品在到期日回报的贴现的期望值，即 V = E e−rT h S ⎡ ( T ) ⎣ ⎤ ⎦ (1.11) 其中 T 是到期日，ST 是标的变量在到期日的值，根据定价问题的不同ST 可以是 一维变量或者是多维变量，r 是无风险利率。h 是到期目的收益函数，最简单的
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 例子比如欧式看涨期权，K表示合约定价，则 h(S,)=(S,-K）=max(S,-K,0) (1.12) 金融衍生产品定价问题有了(1.11)这样的期望形式后，就可以利用Monte Carlo方法进行计算，其一般步骤如下： (1)在风险中性测度下根据相应的数学模型模拟出各标的变量在有效期内的样本 路径。 (2)根据收益函数计算在样本路径上的现金流并乘以贴现因子得到衍生产品在这 些路径上的价值。 (③)对所有模拟路径上得到的衍生产品的价值取算术平均值，最终得到其价值的 Monte Carlo估计。下面以欧式看涨期权为例来说明Monte Carlo方法在期权定 过程中的具体应用：假设股票价格&满足随机微分方程(SDE) =rdi+odw,(0≤1≤T） (1.13) S 其中，r是无风险利率，σ是股票价格的波动率，r和σ均为常数。T是到期日， W是标准Brown运动，即满足E(dW,)=O,Var(dW,)=dt。那么，在初始时刻欧 式看涨期权的价值为 V=E[e(S,-K)'] (1.14) 随机微分方程(1.13)的解为 号=8ew脚[-o+aw] (1.15) S。是初始时刻的股票价格，是已知的。如果用Z表示标准正态分布随机变量，那 么√TZ就和W,同分布，股票价格就可以又表示为 s.-S.exp(r-ja)rtaz (1.16) 根据(1.16)，就可以通过产生N个独立的标准正态分布随机数Z,Z,…Z、得 到在到期日T股票价格的N条样本路径 sm)=e脚[r-p+oiz] (1.17) 然后由(1.14)有 V.=e-(ST-K)" (1.18)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 4 例子比如欧式看涨期权，K 表示合约定价，则 h S( T ) = S( T − K) + = max S( T − K,0) (1.12) 金融衍生产品定价问题有了(1.11)这样的期望形式后，就可以利用 Monte Carlo 方法进行计算，其一般步骤如下: (1)在风险中性测度下根据相应的数学模型模拟出各标的变量在有效期内的样本 路径。 (2)根据收益函数计算在样本路径上的现金流并乘以贴现因子得到衍生产品在这 些路径上的价值。 (3)对所有模拟路径上得到的衍生产品的价值取算术平均值，最终得到其价值的 Monte Carlo 估计。下面以欧式看涨期权为例来说明 Monte Carlo 方法在期权定 过程中的具体应用：假设股票价格&满足随机微分方程(SDE) dSt St = rdt +σdWt (0 ≤ t ≤ T ) (1.13) 其中，r 是无风险利率，σ 是股票价格的波动率，r 和σ 均为常数。T 是到期日， Wt 是标准 Brown 运动，即满足E(dWt) = 0,Var(dWt) = dt 。那么，在初始时刻欧 式看涨期权的价值为 V = E erT (ST − K) + ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ (1.14) 随机微分方程(1.13)的解为 ST = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σWT ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.15) S0是初始时刻的股票价格，是已知的。如果用 Z 表示标准正态分布随机变量，那 么 T Z 就和WT 同分布，股票价格就可以又表示为 ST = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σ T Z ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.16) 根据(1.16)，就可以通过产生 N 个独立的标准正态分布随机数Z1,Z2 ,…ZN 得 到在到期日 T 股票价格的 N 条样本路径 Si(T ) = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σ T Zi ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.17) 然后由(1.14)有 Vi = e−rT S( T − K) + (1.18)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 对N条样本路径上相应的欧式看涨期权的值求平均得到欧式看涨期权的估计值 (1.19) 1.2 Monte Carlo方法中的方差减小技术 Monte Carlo方法的收敛速度与所求问题维数无关，使得Monte Carlo方法 在解决高维问题诸如多资产问题、多状态问题上具有其得天独厚的优势。尽管如 此，在金融衍生产品定价问题中，为了达到一定的精度要求，按照传统的Mote Crlo方法往往需要非常大的模拟次数(N足够大)，这将造成大量的计算时间消 耗，严重影响了计算成本。从Monte Carlo方法的误差形式可以发现，如果要增 加计算精度一位数字就要将N扩大100倍，也就需要增加100倍的工作量：反之， 在模拟次数不变的情况下，只需将标准差缩小10倍就可以达到同样的效果。因 此，为了提高Monte Carlo方法的计算效率，一些方差减小技术被应用于模拟过 程中。控制变量、对偶变量、重要抽样、分层抽样、匹配技术等都是常用的方差 减小技术。 1.2.1控制变量方法 控制变量技术是一种十分常用的方差减小方法，该方法的主要原理是充分利 用己经知道的量去缩小所求估计量的方差，因其思想简单、容易掌握且效果好 而被广泛使用。 假设我们的目标是估计随机变量Y的期望值E[Y],Y,Y2,Yw是N条路径的 模拟输出值，Y,是独立同分布的。由传统的Monte Carlo估计有 g=Y+r+...+Y (1.20) N 若在获得Y的同时也获得了另一个随机变量X的输出值，X,X2,,Xw, (X,Y)是独立同分布的，且E(X)=4,4为己知的，设 Y(a)=Y,-(X,-4 (1.21) 其中α是一个固定的常数，通过计算样本均值得 (a)=7-a(仅-川=2g-a(x-) (1.22) 1 Glasserman P.Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M].Berlin:Springer,2004 5
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 5 对 N 条样本路径上相应的欧式看涨期权的值求平均得到欧式看涨期权的估计值 Vˆ N = 1 N Vi i=1 N ∑ (1.19) 1.2 Monte Carlo 方法中的方差减小技术 Monte Carlo 方法的收敛速度与所求问题维数无关，使得 Monte Carlo 方法 在解决高维问题诸如多资产问题、多状态问题上具有其得天独厚的优势。尽管如 此，在金融衍生产品定价问题中，为了达到一定的精度要求，按照传统的 Monte Carlo 方法往往需要非常大的模拟次数(N 足够大)，这将造成大量的计算时间消 耗，严重影响了计算成本。从 Monte Carlo 方法的误差形式可以发现，如果要增 加计算精度一位数字就要将 N 扩大 100 倍，也就需要增加 100 倍的工作量；反之， 在模拟次数不变的情况下，只需将标准差缩小 10 倍就可以达到同样的效果。因 此，为了提高 Monte Carlo 方法的计算效率，一些方差减小技术被应用于模拟过 程中。控制变量、对偶变量、重要抽样、分层抽样、匹配技术等都是常用的方差 减小技术。 1.2.1 控制变量方法 控制变量1 技术是一种十分常用的方差减小方法，该方法的主要原理是充分利 用 已经知道的量去缩小所求估计量的方差，因其思想简单、容易掌握且效果好 而被广泛使用。 假设我们的目标是估计随机变量 Y 的期望值E[Y ] ，Y1,Y2 ,…,YN 是 N 条路径的 模拟输出值，Yi 是独立同分布的。由传统的 Monte Carlo 估计有 Y = Y1 +Y2 +!+YN N (1.20) 若在获得Yi 的同时也获得了另一个随机变量 X 的输出值， X1, X2 ,…, XN ， Xi ( ,Yi)是独立同分布的，且E(X) = µ ，µ 为已知的，设 Yi(α ) = Yi −α (Xi − µ) (1.21) 其中α 是一个固定的常数,通过计算样本均值得 Y (α ) = Y −α (X − µ) = 1 N (Yi −α (Xi − µ)) i=1 N ∑ (1.22) 1 Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M]. Berlin: Springer, 2004
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 ()就称为控制变量估计量，误差-u作为估计E(Y)过程中的控制部分。因 为 E[T(a)]=E[-a(-]=E[]=E[Y] (1.23) 可见控制变量估计量是无偏的，再来分析它的方差 Var[Y(a)]=VarY-a(X-u) (1.24) =o;-2aGxOyPxy+a'ox 其中o=Var[X],o=Var[Y],当a2o<2 QGxGyPxy时，控制变量估计量的 方差将比原随机变量Y的方差要小。并且在取 d-gpg=Varx刈 o_Cov[X.Y] (1.25) Oy 时，控制变量估计量()的方差取到最小值 VarF(a")=(1-piy)Var[Y] (1.26) 上式表明在最优系数α·下，使用控制变量技术缩小方差的效果取决于控制变量 和原变量的相关性，相关性越大效果越明显。在式(1.23)中，因为E(Y)是未知 的导致Cov[X,Y]和Var[X,Y]也是未知的，因此一般通过样本点(X,Y)估计得到 近似值 a=(&-y-yw-) ∑(x,-X1(N-) (1.27) ∑(x,-g-）) ∑(x,- 实际应用中，通常可以选取标的资产、债券价格或者一些具有封闭解得期权 等作为控制变量，下面简单介绍两种控制变量。 (1)利用标的资产作为控制变量在无套利原则下，任何风险资产的价值都是鞅， 也就是说它在未来任意时刻价值的贴现值的期望值都等于初始时刻的价值。假设 S(t)表示资产在t时刻的价值，则它在风险中性测度下满足 E[e-S(T)=S(0) (1.28) 其中r是无风险利率为常数，可见标的资产的这个特性恰好符合控制变量的要求。 令Y=er(S(T)-K)为欧式看涨期权到期收益的贴现，那么基于标的资产S(T) 6
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 6 Y (α ) 就称为控制变量估计量，误差 X − µ 作为估计 E(Y )过程中的控制部分。因 为 E ⎡Y (α ) ⎣ ⎤⎦ = E ⎡Y −α (X − µ) ⎣ ⎤ ⎦ = E ⎡Y⎣ ⎤⎦ = E[Y ] (1.23) 可见控制变量估计量是无偏的，再来分析它的方差 Var⎡Y (α ) ⎣ ⎤⎦ = Var⎡Y −α (X − µ) ⎣ ⎤ ⎦ = σ Y 2 − 2ασ Xσ Y ρ XY +α2 σ X 2 (1.24) 其中σ X 2 = Var[X] ，σ Y 2 = Var[Y ] ，当α2 σ X 2 < 2ασ Xσ Y ρ XY 时，控制变量估计量的 方差将比原随机变量 Y 的方差要小。并且在α 取 α∗ = σ Y σ X ρ XY = Cov[X,Y ] Var[X] (1.25) 时,控制变量估计量Y (α ) 的方差取到最小值 Var Y α∗ ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 1− ρ XY 2 ( )Var[Y ] (1.26) 上式表明在最优系数α∗ 下，使用控制变量技术缩小方差的效果取决于控制变量 和原变量的相关性，相关性越大效果越明显。在式(1.23)中，因为E(Y )是未知 的导致Cov[X,Y ] 和Var[X,Y ]也是未知的，因此一般通过样本点 Xi ( ,Yi)估计得到 近似值 αˆ N = (Xi − X)(Yi −Y )/(N −1) i=1 N ∑ (Xi − X) 2 /(N −1) i=1 N ∑ = (Xi − X)(Yi −Y ) i=1 N ∑ (Xi − X) 2 i=1 N ∑ (1.27) 实际应用中，通常可以选取标的资产、债券价格或者一些具有封闭解得期权 等作为控制变量，下面简单介绍两种控制变量。 (1)利用标的资产作为控制变量在无套利原则下，任何风险资产的价值都是鞅， 也就是说它在未来任意时刻价值的贴现值的期望值都等于初始时刻的价值。假设 S(t)表示资产在 t 时刻的价值，则它在风险中性测度下满足 E e−rT ⎡ S(T ) ⎣ ⎤ ⎦ = S(0) (1.28) 其中 r 是无风险利率为常数，可见标的资产的这个特性恰好符合控制变量的要求。 令Y = e−rT (S(T ) − K) + 为欧式看涨期权到期收益的贴现，那么基于标的资产 S(T)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 作为控制变量的Monte Carlo估计为 (a)= 2e-s)-k-as-so叭 (1.29) 当选取标的资产作为控制变量为欧式看涨期权定价时，它与Y的相关性还依 赖于K的取值。K越小，相关性越高，方差减小效果越好，特别地，当K=0时相 关性最高。 (2)利用封闭解已知的期权作为控制变量 一些期权在复杂的模型下没有封闭解，但对模型作适当的改变后就能够求得 封闭解，这样后者就提供了一个很好的控制变量，最经典的例子就是亚式期权 的定价，算术平均亚式期权是不能求得封闭解的，但是几何平均亚式期权却有封 闭解。假设在第1次模拟中，得到资产价值的样本 S,(t),S,t2),S,(tw),i=1,2,m,则这条路径上的算术平均和几何平均分别为 =N2) (1.30) c-fst)" (1.31) 那么，以几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权进行定价的估计量 为 c=n2[u,-Ki-a-K-c】 (1.32) 其中G为几何平均亚式期权的封闭解，由于几何平均和算术平均相关性较高，所 以它比使用标的资产作为控制变量或其它控制变量方差减小的效果要更好。 以上分析的均是单一的控制变量，实际应用中还能够采用复合的控制变量，也就 是说将两个或以上的单一控制变量构成一个复合控制变量来缩小方差。假设在模 拟Y的同时能得到d维向量X,=（X,X2,X)的样本，且E[X]为己知， (X,Y)独立同分布。记(X,Y)的协方差矩阵为 其中∑x为非奇异的d×d矩阵，∑w是d×1矩阵。则对于实列向量α有 y(a)=y,-a(,-Ex),其估计值为(a)=∑[y-a(x-Ex】]。称
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 7 作为控制变量的 Monte Carlo 估计为 Y (α ) = 1 N e−rT (Si(T ) − K) + −α Si(T ) − erT ( ( S(0))) i=1 N ∑ (1.29) 当选取标的资产作为控制变量为欧式看涨期权定价时，它与 Y 的相关性还依 赖于 K 的取值。K 越小，相关性越高，方差减小效果越好，特别地，当 K=0 时相 关性最高。 (2)利用封闭解已知的期权作为控制变量 一些期权在复杂的模型下没有封闭解，但对模型作适当的改变后就能够求得 封闭 解，这样后者就提供了一个很好的控制变量，最经典的例子就是亚式期权 的定价，算术平均亚式期权是不能求得封闭解的，但是几何平均亚式期权却有封 闭解。假设在第 i 次模拟中 ， 得到资产价值的样本 Si t( 1 ),Si t( 2 ),…,Si t( N ),i = 1,2,…,m ,则这条路径上的算 术平均和几何平均分别为 Ji = 1 N Si t( j) j=1 N ∑ (1.30) Gi = Si t( j) j=1 N ∏ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1/N (1.31) 那么，以几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权进行定价的估计量 为 C! = 1 m J( i − K) + −α (Gi − K) + ( − C0 ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ i=1 m ∑ (1.32) 其中 G 为几何平均亚式期权的封闭解，由于几何平均和算术平均相关性较高，所 以它比使用标的资产作为控制变量或其它控制变量方差减小的效果要更好。 以上分析的均是单一的控制变量，实际应用中还能够采用复合的控制变量，也就 是说将两个或以上的单一控制变量构成一个复合控制变量来缩小方差。假设在模 拟Yi 的同时能得到 d 维向量 Xi = Xi (1) , Xi (2) ,…, Xi (d ) ( ) T 的样本，且 E[X]为己知， Xi ( ,Yi)独立同分布。记(X,Y ) 的协方差矩阵为 ∑X ∑XY XY T ∑ σ Y 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 其中∑X 为非奇异的 d×d 矩阵，∑XY 是 d×1 矩阵。则对于实列向量α 有 Yi(α ) = Yi −αT (Xi − E[X]) ，其估计值为 Yi(α ) = 1 n Yi −αT ⎡ (Xi − E[X]) ⎣ ⎤ ∑ ⎦ 。称
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 ()是一个线性的多元控制变量估计。控制变量方差 var[Y(a)]=o+a∑aa,a∑g,当取最优控制系数a=∑∑w时，最 小化方差为ar[Y(a】=-pi)ar[y],其中p%-∑w∑∑w/o.l-p% 称为最小方差减小比例，表示采用控制变量法原方差减小的倍数。 1.2.2重要抽样方法 重要抽样技术的主要思想是通过适当的测度变换来改变样本的产生过程，将 一种概率测度下的期望值转换为另一种概率测度下的期望值，使得样本更符合所 求问题的要求，进而减小模拟方差，是一种比较复杂的方法。 为了使重要抽样的思想更加清晰，下面考虑估计 A=E,[h(x)]=Jh(x)f(x)dx (1.33) 其中X是具有概率密度函数为f的随机变量，X∈R,h是R→R的函数。根 据独立取样X,X2,,Xw,则传统的Monte Carlo估计量为 A=A(w=240x) (1.34) 假设存在另一个概率测度g满足 f(x)>0→g(x)>0 (1.35) 对任意的x∈R立。则A可以写成 (1.36) 积分表达式又可以写成关于反函数g的期望表达式，有 (1.37) 如果根据密度函数g独立取样X,X,,X、，则关于g的重要抽样估计量为 i-iwm=24x) (1.38) g(x,) 因为E[A]=A,可知A也是无偏估计，受称为似然比或Padon-Nikodym 8(X)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 8 Y (α ) 是一个线性的多元控制变量估计。控制变量方差 Var⎡Yi(α ) ⎣ ⎤⎦ = σ Y 2 +αT α2αT ∑XX ∑XY ，当取最优控制系数α∗ = X ∑XY −1 ∑ 时，最 小化方差为Var Yi α∗ ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 1− ρ XY 2 ( )Var[Y ] ,其中 ρ XY 2 = X ∑XY −1 XY∑T ∑ σ Y 2 。1− ρ XY 2 称为最小方差减小比例，表示采用控制变量法原方差减小的倍数。 1.2.2 重要抽样方法 重要抽样技术的主要思想是通过适当的测度变换来改变样本的产生过程，将 一种概率测度下的期望值转换为另一种概率测度下的期望值，使得样本更符合所 求问题的要求，进而减小模拟方差，是一种比较复杂的方法。 为了使重要抽样的思想更加清晰，下面考虑估计 A = Ef ⎡h(X) ⎣ ⎤⎦ = h( x) f ( x)dx ∫ (1.33) 其中 X 是具有概率密度函数为 f 的随机变量， X ∈Rd ，h 是 Rd → R 的函数。根 据独立取样 X1, X2 ,…, XN ，则传统的 Monte Carlo 估计量为 Aˆ f = Aˆ f (N) = 1 N h(Xi) i=1 N ∑ (1.34) 假设存在另一个概率测度 g 满足 f ( x) > 0 ⇒ g( x) > 0 (1.35) 对任意的 x ∈Rd 立。则 A 可以写成 A = h( x) f ( x) g( x) ∫ g( x)dx (1.36) 积分表达式又可以写成关于反函数 g 的期望表达式，有 A = Eg h(X) h(X) g(X) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.37) 如果根据密度函数 g 独立取样 X1, X2 ,…, XN ，则关于 g 的重要抽样估计量为 Aˆ f = Aˆ f (N) = 1 N h(Xi) i=1 N ∑ h(Xi) g(Xi) (1.38) 因为 Eg Aˆ g ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = A ，可知 Aˆ g 也是无偏估计， h(Xi) g(Xi) 称为似然比或 Radon-Nikodym
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 导数，下面来推导使用重要抽样技术对模拟方差的影响。 or-au阁-术 .39) Var.[h(X)]=E,Th2(X)7-Ai 由(1.37)可以得出重要抽样技术缩小方差的条件是 <E,[F(X] (1.40) 不等式成立完全取决于密度函数g的选取，如何选取有效的g达到较好的方差缩 小效果是使用重要抽样技术的关键所在。 1.2.3对偶变量方法 对偶变量技术是一种比较简单的方差减小技术，它的基本原理是在模拟过程 中产生两组具有负相关的路径，利用两组路径上值一大一小的特点使得最终得到 一组相对平稳的值，从而达到减小方差的目的。通常对偶变量有两种形式，一种 是如果U为(0,1)上的均匀分布，则1一U也是(0,1)上的均匀分布：另外一种是 如果Z为标准正态分布，则一Z同样也是。 为了作更详细的说明，现在我们用对偶变量方法来估计A=E[f(U)],其中 U是(0,1)上的均匀分布。用U,U2,,Uw产生一组含有N个样本容量的路径，再 以1-U,1-U2,1-U×作为另一组路径。实际上，我们得到了A的两个估计值 足=N2u)=2y (1.41) =2-)= (1.42) 虽然X,.3…y同分布但并不独立，但是+里+业…十是独 2 2 2 立的，则对偶变量估计的结果为 w+生） (1.43) 此时传统的Monte Carlo估计是2N个样本观察值的平均，如果要对偶变量具有方 差减小的效果，就需要
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 9 导数，下面来推导使用重要抽样技术对模拟方差的影响。 Varg h(X) h(X) g(X) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = Eg h(X) h(X) g(X) ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − A2 = Ef h2 (X) h(X) g(X) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − A2 Varg ⎡h(X) ⎣ ⎤⎦ = Ef h2 ⎡ (X) ⎣ ⎤ ⎦ − A2 (1.39) 由(1.37)可以得出重要抽样技术缩小方差的条件是 Ef h2 (X) h(X) g(X) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ < Ef h2 ⎡ (X) ⎣ ⎤ ⎦ (1.40) 不等式成立完全取决于密度函数 g 的选取，如何选取有效的 g 达到较好的方差缩 小效果是使用重要抽样技术的关键所在。 1.2.3 对偶变量方法 对偶变量技术是一种比较简单的方差减小技术，它的基本原理是在模拟过程 中产生两组具有负相关的路径，利用两组路径上值一大一小的特点使得最终得到 一组相对平稳的值，从而达到减小方差的目的。通常对偶变量有两种形式，一种 是如果 U 为(O,1)上的均匀分布，则 1 一 U 也是(O,1)上的均匀分布；另外一种是 如果 Z 为标准正态分布，则一 Z 同样也是。 为了作更详细的说明，现在我们用对偶变量方法来估计 A = E ⎡ f (U) ⎣ ⎤⎦ ，其中 U 是(0,1)上的均匀分布。用U1,U2 ,…,UN 产生一组含有 N 个样本容量的路径，再 以1−U1,1−U2 ,…,1−UN 作为另一组路径。实际上，我们得到了 A 的两个估计值 ˆYa = 1 N f (Ui) = 1 N Yi i=1 N ∑ i=1 N ∑ (1.41) ˆ Yb = 1 N f (1−Ui) = 1 N Y! i i=1 N ∑ i=1 N ∑ (1.42) 虽然Y1,Y! 1,Y2 ,Y! 2 ,…,YN ,Y! N 同分布但并不独立，但是 Y1 +Y! 1 2 , Y2 +Y! 2 2 ,…, YN +Y! N 2 是独 立的，则对偶变量估计的结果为 ˆYAV = 1 2N Yi i=1 N ∑ + Y! i i N ∑ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 N Yi +Y! i 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ i=1 N ∑ (1.43) 此时传统的 Monte Carlo 估计是 2N 个样本观察值的平均,如果要对偶变量具有方 差减小的效果，就需要
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 o[生wor[2] (1.44) 也就是 Var[Y,+Y]<2Var[Y] (1.45) 不等式左边展开得 Var[Y,+]Var[Y,]+Var[,]+2Cov[Y,+] (1.46) 2Var[Y]+2Cov[Y.. 在上式推导中用到了Var[Y]=Var[],因为y和y,是同分布的。这样当满足条 件 Cov[Y.F]<0 等价于p(Y,)<0,即对偶变量产生的两组路径是负相关时，方差才能得到减小。 当f(U)是单调函数时，使用对偶变量技术方差减小效果较好；特别的，当(U) 是线性的，使用对偶变量技术将产生零方差估计：当f(U)是对称函数时，则不 会对方差产生影响。在欧式看涨期权定价的例子中，只要令(1.17)中的Z换成一 Z就可以得到股票价格的另一组样本路径 s)-8[-o+oF-z刘 (1.47) 相应的有 =er(,(T）-K) (1.48) 那么，欧式看涨期权定价的对偶变量估计值为 =生） (1.49) o
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 10 Var 1 N Yi +Y! i 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ i=1 N ∑ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ < Var 1 2N Yi i=1 2N ∑ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.44) 也就是 Var Yi +Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ < 2Var[Yi] (1.45) 不等式左边展开得 Var Yi +Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = Var[Yi]+Var Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ + 2Cov Yi +Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 2Var[Yi]+ 2Cov Yi ,Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ (1.46) 在上式推导中用到了Var[Yi] = Var Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ，因为Yi 和Y! i 是同分布的。这样当满足条 件 Cov Yi ,Y! i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ < 0 等价于 ρ Yi ,Y! ( i) < 0，即对偶变量产生的两组路径是负相关时，方差才能得到减小。 当 f (U) 是单调函数时，使用对偶变量技术方差减小效果较好；特别的，当 f (U) 是线性的，使用对偶变量技术将产生零方差估计；当 f (U) 是对称函数时，则不 会对方差产生影响。在欧式看涨期权定价的例子中,只要令(1.17)中的 Z 换成一 Z 就可以得到股票价格的另一组样本路径 S! i(T ) = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σ T (−Zi) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.47) 相应的有 V! i = e−rT S! ( i(T ) − K) + (1.48) 那么，欧式看涨期权定价的对偶变量估计值为 Vˆ AV = 1 N Vi +V! i 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ i=1 N ∑ (1.49)