第19卷第1期 运筹与管理 Vol.19,No.1 2010年2月 OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE feb.2010 小样本下两阶段MCMC参数估计方法 —一基于信用风险强度模型的研究 周额颖，秦学志，王玥 (大连理工大学管理学院，辽宁大连116024) 摘要：应用我国金融市场数据估计信用风险强度模型参数时，常调到由小样本而导致的偏差问题，对此本文提 出了两阶段MCMC参数估计方法：第一阶段用Le和Mykland的跳辨识方法估计跳跃项参数：第二阶段用MC MC方法估计扩散和藤移项参数。误差分析的结果表明两阶段MCMC方法小样本下信用风险模型参数估计的 效果要明显好于单纯的MCMC方法。作为应用，采用我国第一支个人住房抵押贷款支持证券“建元2005】”的 违约和提前还款数据，估计了信用风险强度模型的参数。 关镶词：信用风险；两阶段MCMC方法；小样本参数估计：跳辨识；强度模型 中图分类号：F830.53 文章标识码：A文章编号：1007-3221(2010)01-0126-06 A Two-Stage McMC Approach to Estimate Parameters of Affine Jump Diffusion Process with Small-Size Samples ZHOU Ying-ying,QIN Xue-zhi,WANG Yue (School of Management,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China) Abstract:In the Chinese financial market,the bias caused by small-size sample is usually encountered to esti- mate parameters of credit risk intensity model.To solve this problem,this paper proposes a two-stage MCMC (Markov chain Monte Carlo)approach.In the first stage,we make use of non-parametric estimation method de- veloped by Lee and Mykland to estimate the parameters of jumps,and in the second stage,MCMC approach to the parameters of diffusion and drift.Then we compare the estimation error of the two-stage MCMC approach and MCMC approach.The former is less than the latter.At last,we make empirical analysis and stability analysis to default risk intensity model,using the default and prepayment data of "Jianyuan2005-1"which is the first MBS (Mortgage Backed Securities)in China. Key words:default risk intensity model;small-size samples parameter estimation;a two-stage MCMC approach; jump diffusion 0引言 近期，由次贷危机引发的金融风暴席卷美国、欧盟和日本等世界主要金融市场。其发生的一个主要原 因是美国利率上升和住房市场持续降温引发的信用风险。次贷危机对我国金融业起到巨大的警示作用， 收稿日期：2008-12-12 蔷金项目：国家自然科华基金资始项日(70771018)：教有邮人文社科基金青勋项日(05J630005):教有部新世起优秀人才支种计划 (2005年)：中国博士后升芋基金膏课题(20070410350) 作者简介：周颗颖(1982-)，女，牌士生，研克方向为结构化全融衍生品定价：秦学志(1965-)，男，教投，博士生乎师，研究方向为全融工 狂、财券管理和保精算等：王明(1978)，女，博士生，研究方向为银行信用风险管理。 万方数据
第19卷第1期 2010年2月 运 筹 与 管 理 0PERATlONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE V01．19，No．1 Feb．2010 小样本下两阶段MCMC参数估计方法 ——基于信用风险强度模型的研究 周颖颖， 秦学志， 王瑚 (大连理工大学管理学院，辽宁大连116024) 摘要：应用我国金融市场数据估计信用风险强度模型参数时，常遇到由小样本而导致的偏差问题，对此本文提 出了两阶段MCMC参数估计方法：第一阶段用Lee和Mykland的跳辨识方法估计跳跃项参数；第二阶段用MC— MC方法估计扩散和漂移项参数。误差分析的结果表明两阶段MCMC方法小样本下信用风险模型参数估计的 效果要明显好于单纯的MCMC方法。作为应用，采用我国第一支个人住房抵押贷款支持证券“建元2005一l”的 违约和提前还款数据，估计了信用风险强度模型的参数。 关键词：信用风险；两阶段MCMC方法．，J、样本参数估计；跳辨识；强度模型 中图分类号：F830．53 文章标识码：A 文章编号：1007—3221(2010)01—0126—06 A Two-Stage McMC Approach to Estimate Parameters of Affine Jump Diffusion Process with Small—Size Samples ZHOU Ying-ying，QIN Xue-zhi，WANG Yue (School of Management，Dalian University of Technology，Dalian 1 1 6024，China) Abstract：In the Chinese financial market，the bias caused by small-size sample is usually encountered to esti· mate parameters of credit risk intensity model．To solve this problem，this paper proposes a two·stage MCMC (Markov chain Monte Carlo)approach．In the first stage，we make use of non-parametric estimation method developed by Lee and Mykland to estimate the parameters of jumps，and in the second stage，MCMC approach to the parameters of diffusion and drift．Then we compare the estimation error of the two—stage MCMC approach and MCMC approach．The former is less than the latter．At last，we make empirical analysis and stability analysis to default risk intensity model，using the default and prepayment data of“Jianyuan2005-1’’which is the first MBS (Mortgage Backed Securities)in China． Key words：default risk intensity model；small·size samples parameter estimation；a two-stage MCMC approach； jump diffusion 0 引言 近期，由次贷危机引发的金融风暴席卷美国、欧盟和日本等世界主要金融市场。其发生的一个主要原 因是美国利率上升和住房市场持续降温引发的信用风险。次贷危机对我国金融业起到巨大的警示作用， 收稿日期：2008-12．12 基金项目：国家自然科学基全资助项目(70771018)；教育鄙人文社科基金青助项目(05JA630005)；教育部新世纪优秀人才支持计划 (2005年)；中国博士后科学基金资助课题(20070410350) 作者简介：周颖颖(1982．)．女．博士生．研究方向为结构化全融衍生品定价；秦学忠(1965-)．男．教授。博士生导师．研究方向为金融工 程、财务管理和保险精算等；王明(1978-)．女。博士生，研究方向为银行信用风险管理。 万方数据
第1期 周颖颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 127 必须充分认识房贷潜在的信用风险，准确度量和控制信用风险。现代信用风险度量模型主要有三种：结构 化模型、简约化模型和强度模型。强度模型是简约化模型与结构化模型的有效整合。该模型放弃了对公 司资产价值的假设，将公司的违约现象视为服从Poisson过程的随机事件，通过Poisson过程的特征参 数一一强度刻画违约事件发生的可能性，即公司违约现象的发生取决于信用风险的强度。但我国金融市 场建立时间较短，致使小样本偏差成为信用风险强度模型实证研究的一道障碍。 对于金融实证研究中遇到的小样本问题，一些学者进行了研究。王春峰，李议华(2001)针对我国商 业银行信用风险评估有效历史数据样本容量小的特点，提出一种小样本情况下的信用风险评估建模技 术。张明玉(1998)考虑到小样本经济变量所具有的特殊性，建立专门适用于小样本因果关系检测的数 学模型2)。Papalia(2008)使用混合交叉熵方法估计解决宏观经济模型的小样本估计问题)。但信用风 险强度模型小样本参数估计的研究成果却乏善可陈。 信用风险强度模型是典型的仿射跳扩散模型，许多学者的研究成果已证明MCMC方法是仿射跳扩散 模型参数估计的有效工具4-1。但现有的MCMC方法面对小样本下信用风险强度模型的参数估计显得 无能为力。有鉴于此，本文提出两阶段MCMC参数估计方法，第一阶段采用Lee和Mykland(2007)[i提出 的非参数方法估计信用风险强度模型中跳跃项的参数；第二阶段采用MCMC方法估计扩散项和漂移项的 参数。然后应用蒙特卡罗模拟方法生成仿真数据，分别应用MCMC方法和两阶段MCMC方法对信用风险 强度模型进行参数估计，并分析了参数估计结果的误差率。最后把两阶段MCMC方法应用于我国第一支 个人住房抵押贷款支持证券“建元2005一1”的信用风险强度模型的参数估计。 1信用风险强度模型 信用风险强度模型假定违约事件服从强度为入()的Poi8so过程，等价于违约事件的首次到达时间 服从参数为A()的指数分布，违约事件发生在第：年的概率为 p'(T)=1-E[exp(-[(:)dt) (1) 假定A(t)满足基本仿射过程模型（该模型是Dufe和Kan(1996)II在Cox,Ingersoll和Ross利率模型 的基础上提出) dλ()=k(0-λ(t))dt+oA(t)dW(t)+dJ(t) (2) 信用风险强度模型由三个部分组成：漂移(dif)项k(0-A(t)dt,扩散(diffusion)项g√(t)dW(t）) 和跳跃(jump)项d(t)。其中，W(t)是一个标准布朗运动，dJ()表示纯跳跃过程发生在t的任意一跳， J八：)与W()相互独立，跳跃时刻服从参数为y的Poisson过程，跳跃的幅度服从均值为4方差为8的正 态分布，跳跃时刻与跳跃幅度也相互独立。 2跳辩识理论 这部分将解释如何从任意数据序列中辨识出连续过程的跳跃数据。Lee和Mykland(2007)用非参数 估计方法估计连续时间变化下资产定价模型中的跳跃幅度和跳跃时刻)。他们认为如果一个收益数据 包含跳的部分，那么这个数据就会超常的大，原因在于其波动率，高波动率数据较低波动率数据更易出现 异常值。Lee和Mykland的方法能简便、有效地辨别出给定数据序列中是否包含跳跃数据。更重要的是， 该方法可检测出跳跃幅度和跳跃时刻。 Lee和Mykland的跳辨识法采用统计变量L+a测试在任意小时间段(：+(U-1)△，t+4](为任意正 整数，A>0)内是否出现跳。统计变量L,a定义如下 logX,.a-logx.-D (3) 0:+边 其中 11 ogx..-logx.logo (4) 万方数据
第1期 周颖颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 127 必须充分认识房贷潜在的信用风险，准确度量和控制信用风险。现代信用风险度量模型主要有三种：结构 化模型、简约化模型和强度模型。强度模型是简约化模型与结构化模型的有效整合。该模型放弃了对公 司资产价值的假设，将公司的违约现象视为服从Poisson过程的随机事件，通过Poisson过程的特征参 数——强度刻画违约事件发生的可能性，即公司违约现象的发生取决于信用风险的强度。但我国金融市 场建立时间较短，致使小样本偏差成为信用风险强度模型实证研究的一道障碍。 对于金融实证研究中遇到的小样本问题，一些学者进行了研究。王春峰，李汶华(2001)针对我国商 业银行信用风险评估有效历史数据样本容量小的特点，提出一种小样本情况下的信用风险评估建模技 术¨1。张明玉(1998)考虑到小样本经济变量所具有的特殊性，建立专门适用于小样本因果关系检测的数 学模型"】。Papalia(2008)使用混合交叉熵方法估计解决宏观经济模型的小样本估计问题口1。但信用风 险强度模型小样本参数估计的研究成果却乏善可陈。 信用风险强度模型是典型的仿射跳扩散模型，许多学者的研究成果已证明MCMC方法是仿射跳扩散 模型参数估计的有效工具H“1。但现有的MCMC方法面对小样本下信用风险强度模型的参数估计显得 无能为力。有鉴于此，本文提出两阶段MCMC参数估计方法，第一阶段采用Lee和Mykland(2007)¨1提出 的非参数方法估计信用风险强度模型中跳跃项的参数；第二阶段采用MCMC方法估计扩散项和漂移项的 参数。然后应用蒙特卡罗模拟方法生成仿真数据，分别应用MCMC方法和两阶段MCMC方法对信用风险 强度模型进行参数估计，并分析了参数估计结果的误差率。最后把两阶段MCMC方法应用于我国第一支 个人住房抵押贷款支持证券“建元2005—1”的信用风险强度模型的参数估计。 1 信用风险强度模型 信用风险强度模型假定违约事件服从强度为A(1)的Poisson过程，等价于违约事件的首次到达时间 服从参数为A(t)的指数分布，违约事件发生在第t年的概率为 ，r P’(T)=1一E[exp(一l A(t)dt)] (1) 月 假定A(t)满足基本仿射过程模型(该模型是Duffle和Kan(1996)¨1在Cox，Ingersoll和Ross利率模型 的基础上提出) dA(t)=K(0一A(t))df+or~／A(f)dW(f)+dJ(f) (2) 信用风险强度模型由三个部分组成：漂移(drift)项K(日一A(t))dt，扩散(diffusion)项or~／A(t)dW(t) 和跳跃(jump)项dJ(t)。其中。W(t)是一个标准布朗运动，dJ(t)表示纯跳跃过程发生在t的任意一跳。 ，(t)与W(t)相互独立，跳跃时刻服从参数为y的Poisson过程，跳跃的幅度服从均值为p方差为铲的正 态分布，跳跃时刻与跳跃幅度也相互独立。 2跳辨识理论 这部分将解释如何从任意数据序列中辨识出连续过程的跳跃数据。Lee和Mykland(2007)用非参数 估计方法估计连续时间变化下资产定价模型中的跳跃幅度和跳跃时刻o¨。他们认为如果一个收益数据 包含跳的部分，那么这个数据就会超常的大，原因在于其波动率，高波动率数据较低波动率数据更易出现 异常值。Lee和Mykland的方法能简便、有效地辨别出给定数据序列中是否包含跳跃数据。更重要的是， 该方法可检测出跳跃幅度和跳跃时刻。 Lee和Mykland的跳辨识法采用统计变量￡。诅测试在任意小时间段(t+(．『一1)△，t+必](_『为任意正 整数，△>0)内是否出现跳。统计变量L。融定义如下 其中 k盥=坠学 or^2,,，a---K1------2；。鬟+2Ilogk诅_10找廿m…。线州川。_10氐∽：M (3) (4) 万方数据
128 运筹与管理 2010年第19卷 X,a表示t+4时刻资产价格。统计变量L渐近服从均值为零、波动率为1/c2的正态分布，其中 c=√2/π。视窗长度K是一个折衷选择。如果K值太小，统计变量L+a就无法作为有效的跳估计量；如 果K值过大又会带来沉重的计算负担。因此，K需满足的条件是K=0,(4),其中-10,存在一个有限的常数M,令P(IKI>Me4)8°，则拒绝在检测时间段内不存在 的假设。其中，P(中≤β)=exp(-eA)=0.9999,阙值B·=-l1og(-log(0.9999))=9.21。 3两阶段MCMC方法 MCMC方法是由Jacquier,Polson和Rossi(1994)91提出的一种特殊的蒙特卡罗积分模拟方法，这种积 分法从所需的分布中取样，然后形成近似期望的样本均值。MCMC具有不用求解似然函数和参数先验分 布具有共轭结构的优势，使其近十几年发展迅速。尽管针对不同的问题，学者们提出许多改进的MCMC 参数估计算法，但这些MCMC方法对于小样本下信用风险强度模型的参数估计都无能为力。所以本文融 合Lee和Mykland(2007)的跳辨识方法和MCMC方法，提出适用于小样本下信用风险强度模型参数估计 的两阶段MCMC方法，具体算法如下： 第一阶段，采用Lee和Mykland(2007)提出的非参数估计方法估计信用风险强度模型跳跃项参数。 (1)计算违约强度入的统计量L4 马w-lo3l-ogA-2 (6) 0:+4 其中 1 a=K-2品 _1log入+a-log入-a1llog入-a-log入+-2a↓ (7) (2)选择一个显著水平a,计算阈值B”,中是一个累积分布函数P(中≤B·)=exp(-ea“)=1-a。 (3)如果- -C>日，则拒绝在检测时间段内存在跳的假设，否则接受假设。 S. (4)依据辨识出的跳数据（包括跳跃幅度和跳跃时刻），应用极大似然法估计式(2)跳跃项的参数Y“,δ。 第二阶段，把第一阶段参数估计结果带入MCMC算法，再估计信用风险强度模型的漂移和扩散项参数。 假定均值参数向量C=(K,0,4)',扩散过程的精度。=（σ）-，跳跃幅度的精度h,=(8)。t1= ln(A+/A),R=(1,…,r),跳跃时间I,的先验分布定义为， JIC,h,h,Bernoulli(p) (8) 其中 Pr(J..=11C,h,hs) p..=p(J.IC,h,sh)=Pr(J.=11C,h.,h)+Pr(J..=0IC,h.ha) (9) (1)初始化：在参数空间0二2×，×爱，中给定参数的初始值(C,h8,h8,y°)。 (2)给定t时刻的一组参数(C,h:,h;,y),第m+1次迭代生成服从Bernoulli分布的跳 "=(J'),0 Bernoulli(P)。 (10) 其中 P=(1+0)4 (11) 0= Pr(J=01c",h,h,R") (12) Pr(J=01C",h,hi,R) 万方数据
128 运 筹 与 管 理 2010年第19卷 x。诅表示t+必时刻资产价格。统计变量L渐近服从均值为零、波动率为1／c2的正态分布，其中 c=~／2／仃。视窗长度K是一个折衷选择。如果K值太小，统计变量￡。诅就无法作为有效的跳估计量；如 果K值过大又会带来沉重的计算负担。因此，K需满足的条件是K=0，(△4)，其中一10，存在一个有限的常数肘。，令P(IKI>M占△。)卢’。则拒绝在检测时间段内不存在跳 的假设。其中，P(妒≤卢‘)=exp(一e一4‘)=0．9999，阈值卢’=一log(一log(O．9999))=9．21。 3两阶段MCMC方法 MCMC方法是由Jacquier，Poison和Rossi(1994)一1提出的一种特殊的蒙特卡罗积分模拟方法，这种积 分法从所需的分布中取样，然后形成近似期望的样本均值。MCMC具有不用求解似然函数和参数先验分 布具有共轭结构的优势，使其近十几年发展迅速。尽管针对不同的问题，学者们提出许多改进的MCMC 参数估计算法，但这些MCMC方法对于小样本下信用风险强度模型的参数估计都无能为力。所以本文融 合Lee和Mykland(2007)的跳辨识方法和MCMC方法，提出适用于小样本下信用风险强度模型参数估计 的两阶段MCMC方法，具体算法如下： 第一阶段，采用Lee和Mykland(2007)提出的非参数估计方法估计信用风险强度模型跳跃项参数。 (1)计算违约强度A的统计量￡。让 k盥=坠≤}一 (6) 其中 z+曲z南 ∑ l logA洲一logAI+(1_1)a II logA…f-1)4一logAI+(㈡)d I (7) (2)选择一个显著水平a，计算阈值卢’，妒是一个累积分布函数P(沙-卢‘，则拒绝在检测时间段内存在跳的假设，否则接受假设。 (4)依据辨识出的跳数据(包括跳跃幅度和跳跃时刻)，应用极大似然法估计式(2)跳跃项的参数y，肛，6。 第二阶段，把第一阶段参数估计结果带入MCMC算法，再估计信用风险强度模型的漂移和扩散项参数。 假定均值参数向量C=(K，p，肛)’，扩散过程的精度h，=(盯2)～，跳跃幅度的精度h。=(62)～。r…= In(Ai+l／A；)，R=(r。，…，r7)，跳跃时间t+。的先验分布定义为， ^+I IC，h，，h。13Bernoulli(p…) (8) 其中 p。+。=p(^+。Ic，^，，^。)=iii-了iiI；_i1；；ji；÷ii；：÷；；÷；j：!：嘶 (9) (1)初始化：在参数空间口∈男2×男2+×男+中给定参数的初始值(Co，^：，h：，yo)。 (2)给定t时刻的一组参数(c”，^：，^；，7“)，第m+1次迭代生成服从Bernoulli分布的跳 J“”=(J■1)I。口Bernoulli(P■1)。 其中 et一+一l=(1+D麓1)q ．川Pr(只。=oIc“，h7，"，墨“) 。‘+1 Pr(．，I．=0IC“，^：，^；，R“) (10) (11) (12) 万方数据
第1期 周颗颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 129 (3)按照式(13)生成y41 P(y41C,o,8)c(y4)*ΣN-(1-y4)g-Σ- (13) (4)按照式(14)生成C■(K1,01,4) p(Clo,8,y)xp(RIC,o,8,y)p(C) -a(R'-Xc)(-xc)+(c-cc-c)1 -(cc (14) 其中C,H和H各自表示先验均值，先验精度和先验波动。 (5)按照下面的步骤生成。1 A)给定（J),y4,C+",hg,hi,采用Metropolis-Hasting算法，且建议密度为7。h,Dx后，生成 h。(hg'的一个备选值)。其中”。=T+",。是分子参数(numerator parameter),",是自由度。 B)计算概率的最小值P, P()() (15) p(hIh)q(he,h。Ih) 其中p(h。Ih)和p(hIh)是真实的先验强度函数；q(h。,hlh)和g(h:,h。Ih)是备选转移强度函数。 经过一些代数处理，式(15)化简为 P1=Ⅱ1+ (hc-h:) (16) hiA+h: C)取随机变量'时期服从均匀分布U(0,1)。 a)如果P≥u”,接受h,且令hg'=h。。 b)否则，令h'=h:。 6)按照下面的步骤生成h'。 A)假定(J)I,yA,C",h,hG,应用Metropois-Hasting方法，且建议密度为h,口xX,生成 (h好1的一个备选值)，其中=T+秒。是分子参数，是自由度。 B)计算概率的最小值P2 P(h)() p(hh)q(hs,hih) (17) 其中p(h;Ihg)和p(hgIh")是真实的先验强度函数；q(hg,h:Ih)和q(h:,hgIh)是备 选转移强度函数。经过一些代数处理，式(17)化简为 B=(A%+3n (18) h+h C)取随机变量4"时期服从均匀分布U(0,1)。 a)如果P≥u°，接受h。,且令h"=hg。 b)否则，令h1=h。 7)重复第二阶段第1步到第6步，完成M次迭代，可得到一个样本序列1C,y4,h,h“1。除去 前N个备选值，剩余备选值求均值即为参数估计结果。 4误差分析 依据Kau,Keenan和Smurov(2006)【o,的参数估计结果，结合我国金融市场实际，设置信用风险强度 模型即式(2)的参数真实值为：K=0.9,0=0.07,o=0.05,y=0.2,4=0.1,8=0.07。首先应用蒙特卡罗 模拟方法生成仿真数据。然后针对不同样本量，分别应用MCMC方法和两阶段MCMC方法对信用风险强 度模型进行参数估计，并比较其误差率（估计值与真实值的差除以真实值）和平均误差率（六个参数误差 万方数据
第1期 周颖颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 129 (3)按照式(13)生成铂”1 p(’，△I C，盯，6)％(似)野+∑^’。(1一y△)‘!l+7一∑I』I’-1 (13) (4)按照式(14)生成C”1=(K一1，0～1，矿+1) P(Cl矿，艿，7)ocp(RIC，仃，艿，y)P(c) Ⅸexp{一÷[盯(R’一XC)(R7一xc)+(C—C)’H(C—C)]} oc exp{一÷[(C～C)’H(c—c)]} (14) 其中C，日和日。1各自表示先验均值，先验精度和先验波动。 (5)按照下面的步骤生成∥”1 A)给定(几1)I。，弘”1，c”1，^：，K，采用Metropolis-Hasting算法，且建议密度为甓^，FlX：，生成． ^‘=(h7+1的一个备选值)。其中；，=r+■，亍，是分子参数(numerator parameter)，云，是自由度。 B)计算概率的最小值P。 耻篾P 1 h7等I×黼h7 ㈤) ( 矗；) g( ，^‘：I^；) 、‘．一7 其中P(^‘：I酵)和P(^：I_Il：1)是真实的先验强度函数；g(^‘=，^：l||l；)和g(7I：，^：IK)是备选转移强度函数。 经过一些代数处理，式(15)化简为 Pl=刀 (16) C)取随机变量肛’时期服从均匀分布U(0，1)。 a)如果P≥p’，接受lIl：，且令|II：“=^：。 b)否则，令^：”=^：。 6)按照下面的步骤生成"“。 A)假定(儿1)乙。，佰“1，c一‘，^：，h8，应用Metropolis-Hasting方法，且建议密度为禹k口疋；，生成 (K¨的一个备选值)。其中％=T+％。吼是分子参数，玩是自由度。 B)计算概率的最小值P2 耻筹筹x黼 ∽， 其中P(ha’I^：“)和p(”I^：¨)是真实的先验强度函数；9(^f，Jl；I IIl：+1)和g(K，ha’I^：+1)是备 选转移强度函数。经过一些代数处理，式(17)化简为 弘(等等)屯"“彪 ㈣， c)取随机变量肛’时期服从均匀分布U(0，1)。 a)如果P≥p’，接受Jl‘：，且令K“=^；。 b)否则，令酵”=酵。 7)重复第二阶段第1步到第6步，完成M次迭代，可得到一个样本序列{C“，弘一1，^：，K}：。。。除去 前JI＼，个备选值，剩余备选值求均值即为参数估计结果。 4误差分析 依据Kau，Keenan和Smurov(2006)m川的参数估计结果，结合我国金融市场实际，设置信用风险强度 模型即式(2)的参数真实值为：K=O．9，0=0．07，口：0．05，y=0．2，p=0．1，6：0．07。首先应用蒙特卡罗 模拟方法生成仿真数据。然后针对不同样本量，分别应用MCMC方法和两阶段MCMC方法对信用风险强 度模型进行参数估计，并比较其误差率(估计值与真实值的差除以真实值)和平均误差率(六个参数误差 万方数据
130 运筹与管理 2010年第19卷 率的算术平均值)如表1、表2所示。表1说明了样本数量对MCMC方法估计信用风险强度模型参数精确 度的影响。随着样本数量的诚少信用风险强度模型的MCMC参数估计的误差率逐渐增大。尤其当样本 数小于100时，参数估计效果明显下降。可见当样本数较少时，单纯的MCMC方法不适于估计信用风险 强度模型的参数。比较表2和表1发现，当样本数大于100时，两阶段MCMC方法参数估计误差率略大于 单纯的MCMC方法：但样本参数小于100时，前者的误差率明显小于后者。尤其当样本数为30时，两阶 段MCMC方法参数估计的平均误差率为14.20%，而MCMC方法参数估计的平均误差率则达到30.96%。 因此，对于小样本参数估计，两阶段MCMC方法更加有效。 表1MCMC方法参致估计误差奉与样本量的关系表 样本数 6 2 平均误差率 0.9063 500 估计值误差事 0.0691 0.0516 0.2041 0.1036 0.0071 0.70% 1.88% 1.29% 3.20% 2.50% 3.60% 1.43% 200 0.9342 0.0675 0.0522 0.2113 0.1057 估计值误差事 0.0072 23.80% 4.345% 3.57% 4.40% 5,75% 5.70% 2.85% 0.9620 100 估计值误差率 0.0651 0.0535 0.2217 0.1084 0.0074 7,38% 6.89% 5.44% 7.00% 10.85% 8.40% 5.71% 0 1.0193 估计值误差率 0.0623 0.0561 0.3048 0.1213 0.0081 13.25% 20.98% 11.00% 12.20% 52.40% 21.30% 15.70% 0 1.0961 估计值误差率 0.0609 0.0626 0.3549 0.1241 0.0087 21.78% 13.00% 25.2% 77.45% 24.10% 30.96% 24.20毫 表2 两阶段MCMC方法参数估计误差率与样本量的关系表 样本数 8 平均误差率 500 0.9155 0.0682 0.0514 0.2101 0.1042 估计值误差率 0.0072 1.72% 2.57% 2.80% 5.05% 4.20% 2.85% 3.20% 200 0.9375 0.0677 0.0519 0.2156 0.1051 0.0072 估计值误差事 4.16% 3.29% 3.80% 7.80% 5.10% 2.85% 4.50% 100 估计值误差率 0.9434 0.0678 0.0520 0.2168 0.1077 0.0075 4.82% 3.14% 4.00% 8.40% 7,70% 7.14% 5.87% 50 0.9598 0.0664 0.0535 0.2328 0.1102 0.0077 估计值误差率 9.23% 6.64% 5.146 7.00% 16.40% 10.20% 10.00% 30 0.9846 0.0657 估计值误差率 0.0552 0.2549 0.1621 0.0081 9.40% 6.14% 10.40% 27.45% 16.10% 14.20% 15.7% 5 实证分析 2005年12月15日，由中国建设银行作为发起机构的国内首单个人住房抵押贷款证券化产品一 “建元20051个人住房抵押贷款支持证券”正式进人全国银行间债券市场。其中提前还款是指贷款人没 有按照借款合同约定的时间还款，而是提前偿还部分或全部本金，这种行为将给“建元2005-1”的持有者 造成利息损失，可看成是一种违约行为。因此，可用信用风险度量描述提前还款行为。迄今为止中国债券 信息网已公布了35个月的数据，依据式(1)可以推算出“建元2005-1”的月度提前还款强度，如图1所示。 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 5g00 18900 16752000 1965999005 HT.话/000 1118000 118178000 A65R003 R11169002 图1 “建元2005 一1”的月度提前还款强度数据据 万方数据
130 运 筹 与 管 理 2010年第19卷 率的算术平均值)如表1、表2所示。表1说明了样本数量对MCMC方法估计信用风险强度模型参数精确 度的影响。随着样本数量的减少信用风险强度模型的MCMC参数估计的误差率逐渐增大。尤其当样本 数小于100时，参数估计效果明显下降。可见当样本数较少时，单纯的MCMC方法不适于估计信用风险 强度模型的参数。比较表2和表1发现，当样本数大于100时，两阶段MCMC方法参数估计误差率略大于 单纯的MCMC方法；但样本参数小于100时，前者的误差率明显小于后者。尤其当样本数为30时，两阶 段MCMC方法参数估计的平均误差率为14．20％，而MCMC方法参数估计的平均误差率则达到30．96％。 因此，对于小样本参数估计，两阶段MCMC方法更加有效。 5实证分析 表1 MCMC方法参数估计误差率与样本量的关系表 2005年12月15日，由中国建设银行作为发起机构的国内首单个人住房抵押贷款证券化产品—— “建元2005．1个人住房抵押贷款支持证券”正式进入全国银行间债券市场。其中提前还款是指贷款人没 有按照借款合同约定的时间还款，而是提前偿还部分或全部本金，这种行为将给“建元2005—1”的持有者 造成利息损失。可看成是一种违约行为。因此，可用信用风险度量描述提前还款行为。迄今为止中国债券 信息网已公布了35个月的数据，依据式(I)可以推算出“建元2005一I”的月度提前还款强度，如图1所示。 O．03 0．025 O．02 O．015 0．01 0．005 毯氧《嗣是取 吾菖量 ≮h》∞ooN 工∞寸答oN 甄雏黼糯 墨_I斗f}。。；： 『-rlI蔷品瓤 度 =∞昔g。N 还 ：h斗g。N 前 工尊量N 娥 王n甘g。N 月 ；_【苷窨oN 的 ==斗兽。N _ 吾廿∞。。N 晒 墨斗∞。。i： 砷 鼋日廿∞ooN 瓣鞭慨呖 文_斗兽。N ● 万方数据
第1期 周颖颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 131 设定跳辨识的显著水平为1%。分别采用MCMC方法和两阶段MCMC方法和“建元2005-1”的提前还款 强度数据，对式(2)进行参数估计，结果如表3所示。 表3“建元2005-1“的违约强度和提前还款强度模型参数估计结果 变量名 义 MCMC方法 0.3413 -0.0008277· 0.07948 0.2465 -0.006966 0.9842 两阶段MCMC方法 0.2835 -0.001037 0.1163 0.1976 -0.01214 0.2738 现阶段，我国不仅住房抵押贷款支持证券的历史数据比较稀少，其它金融衍生品的历史数据也不够充 足。例如与信用风险强度模型类似的长寿债券死亡强度模型的人口生存指数数据就较少，实证研究表 明，两阶段MCMC方法也能更准确地估计长寿债券死亡强度模型的参数。因此，两阶段MCMC方法的应 用前景十分广阔。 6结论 针对我国金融市场研究中存在的信用风险强度模型的小样本参数估计问题，融合Lee和Mykland的 跳辨识方法和MCMC方法，提出一种两阶段MCMC方法。通过运用仿真数据进行误差分析，表明当样本 数小于100时两阶段MCMC方法估计误差率明显小于单纯的MCMC方法。当样本数为30时，两阶段 MCMC方法参数估计的平均误差率为14.20%，而MCMC方法参数估计的平均误差率则达到30.96%。 因此，对于信用风险强度模型小样本参数估计，两阶段MCMC方法更加有效。最后，应用我国第一支个人 住房抵押贷款支持证券“建元2005-1”数据，对信用风险强度模型进行了参数估计，结果说明了两阶段 MCMC方法的有效性和研究的实际意义。 信用风险强度模型是典型的仿射跳扩散模型，而两阶段MCMC方法同样适用于其它的仿射跳扩散模 型。仿射跳扩散模型作为金融工程中一个十分重要的模型，广泛应用于资产收益建模、金融衍生品定价和 风险管理等研究领域。所以仿射跳扩散模型小样本参数估计问题的解决扫清了我国金融工程研究的一个 障碍。 参考文献： [1]王春峰，李汶华.小样本数据信用风险评估研究[J].管理科学学报，2001,4(1)：28-32 [2]张明玉.小样本经济变量相关关系检测的数学模型[J].预测，1998(3)：57-60， [3]Papalia R B.A composite generalized cross-entropy formulation in small samples estimation[J].Econometric Reviews,2008, 27(4-6):596-609. [4]Chib S,Nardari F,Shephard N.Markov chain monte carlo methods for stochastic volatility models[].Journal of Economet- rics,2002,108(2):281316. [5]胡素华，张世英，张形.双指数跳跃扩散模型的MCMC估计[J].系统工程学报，2006，(2)：I13-118. [6]Raggi D.Adaptive MCMC methods for inference on affine stochastic volatility models with jumps[J].Econometrics Journal, 2005,8(2):235-250. [7]Lee SS,Mykland P A.Jumps in financial markets:a new nonparametric test and jump[J].Review of Financial Studies,2007. [8]Duffie D,Kan R.A yield model of Interest rates[J].Msthematical Finance,1996,6:379-406. [9]Jacquier E,Polson N,Rossi P.Bayesian analysis of stochastic volatility models[J].Journal of Business Economic Statis- tic9,1994,12:371-417. [10]Kau J B,Keenan,D C,Smurov AA.Reduced form mortgage pricing as an altemative to option-pricing models[J].Journal of Estate Finance Economie,2006,33:183-196. [11]Kau J B,Keenan D C,Smurov AA.Reduced-form mortgage valuation[R].Working Paper,http://www.creditriskre- source.com/papers/paper_89.pdf,2004. [12]尚勒，秦学志，周颖额.死亡强度股从0 mstein-Uhlenbeck跳过程的长寿债券定价模型[J].系统管理学报，2008，(3) 297-302. 万方数据
第1期 周颖颖，等：小样本下两阶段MCMC参数估计方法 131 设定跳辨识的显著水平为1％。分别采用MCMC方法和两阶段MCMC方法和“建元2005·1”的提前还款 强度数据，对式(2)进行参数估计，结果如表3所示。 表3“建元2005—1”的违约强度和提前还款强度模型参数估计结果 现阶段，我国不仅住房抵押贷款支持证券的历史数据比较稀少，其它金融衍生品的历史数据也不够充 足。例如与信用风险强度模型类似的长寿债券死亡强度模型的人121生存指数数据就较少‘屹1，实证研究表 明，两阶段MCMC方法也能更准确地估计长寿债券死亡强度模型的参数。因此，两阶段MCMC方法的应 用前景十分广阔。 6结论 针对我国金融市场研究中存在的信用风险强度模型的小样本参数估计问题，融合Lee和Mykland的 跳辨识方法和MCMC方法，提出一种两阶段MCMC方法。通过运用仿真数据进行误差分析，表明当样本 数小于100时两阶段MCMC方法估计误差率明显小于单纯的MCMC方法。当样本数为30时，两阶段 MCMC方法参数估计的平均误差率为14．20％，而MCMC方法参数估计的平均误差率则达到30．96％。 因此，对于信用风险强度模型小样本参数估计，两阶段MCMC方法更加有效。最后，应用我国第一支个人 住房抵押贷款支持证券“建元2005-1”数据，对信用风险强度模型进行了参数估计，结果说明了两阶段 MCMC方法的有效性和研究的实际意义。 信用风险强度模型是典型的仿射跳扩散模型，而两阶段MCMC方法同样适用于其它的仿射跳扩散模 型。仿射跳扩散模型作为金融工程中一个十分重要的模型，广泛应用于资产收益建模、金融衍生品定价和 风险管理等研究领域。所以仿射跳扩散模型小样本参数估计问题的解决扫清了我国金融工程研究的一个 障碍。 参考文献： [1]王春峰，李汶华．小样本数据信用风险评估研究[J]．管理科学学报，2001，4(1)：28—32． [2]张明玉．小样本经济变量相关关系检测的数学模型[J]．预测，1998(3)：57—60． [3]Papalia R B．A composite generalized cross—entropy formulation in small samples estimation[J]．Econometric Reviews，2008， 27(4-6)：596·609． [4]Chib S，Nardari F，Shephard N．Markov chain monte carlo methods for stochastic volatility models[J]．Journal of Economet— des，2002，108(2)：281—316． [5]胡紊华，张世英，张彤．双指数跳跃扩散模型的MCMC估计[J]．系统工程学报，2006，(2)：113-118． [6]Raggi D．Adaptive MCMC methods for inference on arlene stochastic volatility models with jumps[J]．Econometrics Journal， 2005，8(2)：235—250． [7]Lee S S，Mykland P A．Jumps in financial markets：a new nonparametrie test and jump[J]．Review of Financial Studies，2007． [8]Duffle D，Kan R．A yield model of Interest rates[J]．Mathematical Finance，1996，6：379—406． [9]Jaequier E，Poison N，Rossi P．Bayesian analysis of stochastic volatility models[J]．Journal of Business＆Economic Staffs· tics，1994，12：371—417． [10]Kau J B，Keenan，D C，Svaurov A A．Reduced form mortgage pricing as an alternative to option-pricing models[J]．Journal of Estate Finance Economic，2006。33：183-196． [11]Kau J B，Keenan D C，Smurov A A．Reduced-form mortgage valuation[R]．Working Paper，http：／／www．creditriskre· source．com／papers／paper 89．pdf，2004． [12]尚勤，秦学志，周颖颖．死亡强度服从Ornstein．Uhlcnbeck跳过程的长寿债券定价模型[J]．系统管理学报，2008，(3)： 297．302． 万方数据