第46卷第4期 机械工程学报 Vol.46 No.4 2010年2月 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Feb.2010 D0I:10.3901/JME.2010.04.150 研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 明志茂1张云安1陶俊勇12陈循1 (1.国防科技大学机电工程与自动化学院长沙410073； 2.马里兰大学可靠性与风险性研究中心马里兰州20742美国) 摘要：基于新Dirichlet先验分布，建立一种适合小子样复杂系统异总体可靠性增长分析的Bayesian模型。充分利用先验信 息和阶段试验信息，结合产品研制的试验数据，利用最优化方法研究新的Dirichlet先验分布容易定址和衡址先验参数确定的 方法，解决了超参数物理意义不明确难以确定问题。通过变量薛换的G6bs抽样简化了后验推断，合理估算出当前阶段和后 续试验阶段产品可靠性的Bayesian点估计和置信下限：结合试验数据，利用该模型实现了未来阶段可靠性的侦测，扩展了 模型应用范闱。实例表明该模型参数含义清晰明确，简单易行，利于工程应用。 关键词：可靠性增长模型Bayesian新Dirichlet分布与尔科夫蒙特卡罗模拟Gibbs抽样 中图分类号：TB114.3 Bayesian Reliability Assessment and Prediction During Product Development MING Zhimao ZHANG Yunan'TAO Junyong"2 CHEN Xun! (1.College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology,Changsha 410073; 2.Center for Risk and Reliability,University of Maryland,MD 20742,USA) Abstract:A Bayesian reliability growth model of diverse populations based on the new Dirichlet prior distribution is studied. Aiming at some history and expert information during the development of a weapon,a Bayesian reliability growth model is presented based on the new Dirichlet distribution.Bayesian point assessment and confidence lower limit on product reliability at current stage are inputted by comprehensively making use of prior information and field test information at every stage.The method for determining prior distribution parameters is given by using the method,it is easy to confirm the parameters of prior distribution,it solves the problem of how to verify the hyper parameters of the new Dirichlet prior distribution in view of unclear physical meaning of these parameters.It solves the problem that the interference on parameters of Bayesian poster higher dimensions cannot be calculated indirectly.Then,the Gibbs sampling algorithm is used to compute the posterior inference.The Bayesian estimators and Bayesian lower bound are gained for the reliability of every stage.Furthermore,based on the test data,the model can be used to predict the product reliability,which extends the application range of the model.The analysis result of practical cases shows that the parameters of the Bayesian model have clear and definite meaning and are convenient to use for engineering applications. Key words:Reliability growth model Bayesian analysis New Dirichlet distribution Markov chain Monte Carlo(MCMC)simulation Gibbs sampling 性能H趋先进，结构精密复杂，具有“小了样、高 前言 0 可靠性”的特点。其研制和生产都是分阶段、分批 次进行的，问时每一阶段或批次的试验次数又很少， 随着科学技术发展，现代武器装备的战术技术 并且每一阶段的试验信息并非服从同一总体。如何 充分利用不同阶段试验信息对产品的最终性能作出 国家部委顺研(51319030302)和1W家部委预研基金(9140A19030506 科学客观的评价就是异总体统计问题。 KG0166)愤助项日.20090319收到制稿，20090902收缘政稿 万方数据
第46卷第4期 20l 0年2月 机械工程学报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING V01．46 NO．4 Feb． 20lO DoI：10．3901／JME．2010．04．150 研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测芈 明志茂1 张云安1 陶俊勇1，2 陈 循1 (1．国防科技大学机电工程与自动化学院长沙410073； 2．马里兰大学可靠性与风险性研究中心马里兰州20742美国) 摘要：基于新Dirichlet先验分布，建立一种适合小子样复杂系统异总体可靠性增长分析的Bayesian模型。充分利用先验信 息和阶段试验信息，结合产品研制的试验数据，利用最优化方法研究新的Dirichlet先验分布容易定量和衡量先验参数确定的 方法，解决了超参数物理意义不明确难以确定问题。通过变量替换的Gibbs抽样简化了后验推断，合理估算出：’前阶段和后 续试验阶段，扣品可靠性的Bayesian点估计和置信下限；结合试验数据，利用该模型实现了未来阶段可靠性的预测，扩展了 模型应用范围。实例表明该模型参数含义清晰H月确，简单易{r，利于工程应用。 关键词；可靠性增长模型Bayesian新Dirichlet分布 屿尔科夫蒙特卡罗模拟Gibbs抽样 中图分类号：TBl 14．3 Bayesian Reliability Assessment and Prediction During Product Development MING Zhima01 ZHANG Yunanl TAO Junyon91·2 CHEN Xunl (1．College of Mechatronics Engineering and Automation， National University ofDefense Technology,Changsha 410073； 2．Center for Risk and Reliability,University of Maryland，MD 20742，USA) Abstract：A Bayesian reliability growth model of diverse populations based on the new Dirichlet prior distribution is studied． Aiming at some history and expert information during the development ofa weapon，a Bayesian reliability growth model is presented based 011 the new Dirichlet distribution．Bayesian point assessment and confidence lower limit on product reliability at current stage are inputted by comprehensively making use of prior information and field test information at every stage．The method for determining prior distribution parameters is given by using the method，it is easy to confirm the parameters of prior distribution，it solves the problem of howto veriry the hyper parameters of the new Dirichlet prior distribution in view of unclear physical meaning of these parameters．It solves the problem that the interference on parameters of Bayesian poster higher dimensions cannot be calculated indirectly．Then，the Gibbs sampling algorithm is used to compute the posterior inference．The Bayesian estimators and Bayesian lower bound are gained for the reliability of every stage．Furthermore，based on the test data,the model can be used to predict the product reliability,which extends the application range ofthe model．The analysis result of practical Cases shows that the parameters ofthe Bayesian model have clear and definite meaning and are convenient to use for engineering applications． Key words：Reliability growth model Bayesian analysis New Dirichlet distribution‘ Markov chain Monte Carlo(MCMC)simulation Gibbs sampling 0前言 随着科学技术发展，现代武器装备的战术技术 ’国家部蚕颅司f(51319030302)glIl4家部委预研基金(9140A19030506- KG0166)资助项目。20090319收到考U稿，20090902收纠修改稿 性能H趋先进，结构精密复杂，具有“小了样、高 可靠性”的特点。其研制和生产都是分阶段、分批 次进行的，同时每一阶段或批次的试验次数又很少， 并且每一阶段的试验信息并非服从同一总体。如何 充分利用不同阶段试验信息对产品的最终性能作出 科学客观的评价就是异总体统计问题。 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 151 对于小子样异总体统计问题的处理]一般采用 增长。前者称为非序贯可靠性增长。0 构造特定的模型（线性模型、非线性模型和统计模型 (2)每一试验阶段后，随着试验进行，失效不 等)来反映总体之间的差异，例如可靠性增长模型。 断暴露，修正出现的故障模式，产品可靠性不断提 现有Bayesian可靠性增长模型主要有Smith模型)、 高。设第k检测区间内可靠性为R,存在以下序化 Barlow-Scheuer模型)、Logistic模型4、折合因子 关系 法等。这些模型一般采用无信息先验或试验信息 0≤R≤R2≤…≤Rm≤RmH≤1 (1) 折合，仅能给出当前阶段试验产品的可靠性点估计， 基于以上假设，研究的目的是根据产品研制阶 无法预测最终产品可靠性。因此，选择什么样的先 段试验信息和序化约束模型(1)，结合类似产品的信 验分布能对异总体试验数据做出合理的描述，是应 息和专家经验，运用Bayesian方法客观合理地评估 用Bayesian方法进行可靠性增长分析的重要问题。 与预测产品的可靠性。从数学统计上看，这属于变 近年来，利用不同环境、不同总体条件下性能分布 动母体统计推断问题。 参数的序化关系模型对各阶段的试验信息进行融合 1,2基于新Dirichlet先验分布的可靠性增长模型 的方法69克服了上述缺点，适用面较广。在此基础 由模型假设可知，在第k检测区间内进行定时 上，LI等o指出文献[6]提出的次序Dirichlet分布 截尾试验得到的成败型数据，可靠度R服从参数为 存在缺陷，并建立了新的Dirichlet先验分布的 (n,4)的二项分布，似然函数 Bayesian可靠性增长模型，使得每个可靠性增长阶 段都可用两个参数描述阶段可靠性估计值和对估计 L(R;nk,5)= R(1-R)- (2) 值的确信程度。但是，新先验分布类中参数 %,心，，am的物理意义变得不明显，难以由专家经 当进行序贯可靠性增长时，似然函数 验直接给出，实际应用操作困难。而对于新研产品 L'(Ring,5t)=RR(1-R) (3) 所关心的可靠性增长预测问题，即新Dirichlet先验 则根据式(3)和式(4)则可预测任一阶段序贯可 分布能否实现预测未来阶段的可靠性问题，有待进 靠性增长试验时达到产品可靠性要求所需产品数。 一步深入研究 LI等io从各个检测区间内的一般Beta分布出 针对上述问题，推广了新Dirichlet先验分布的 发，以条件分布的形式构造适合可靠性增长模型的 应用。在研究先验分布参数确定方法的基础上，应 新的Dirichlet先验分布类。对第k个检测区间，构 用新Dirichlet先验分布，建立了产品研制阶段 造(R-,l)上的截尾Beta分布作为该检测区间内产 Bayesian可靠性增长模型，分析研究表明该模型可 品可靠度的分布，即 提供当前阶段的可靠性评估，又可预测未来研制阶 g(R IR-1)=gk(RIR-1ia,b)= 段产品可靠性。后验分布计算采用Gibbs抽样的 Markov chain Monte Carlo(MCMC)算法，解决了参 Ba,A)&-RP--R)nhan)④ 1-R-）tt · 数后验高维数值积分计算问题。通过实例证明了该 模型在可靠性应用中的直观性与有效性，给出了当 式(4)中第k个试验阶段的先验参数a:>0,b>0, 前阶段和后续试验阶段产品可靠性的后验均值和方 B(ak,b)为Beta函数，R=0,Rm+2=l。 差，分析了各阶段试验结果对最终产品可靠性估计 式(4)表示的条件分布是(R-,)上截尾Beta分 的影响。 布，性质与(0，)上的标准Beta分布性质类似2。 则R=(风，R2,,R,R)联合先验密度函数 1 贝叶斯可靠性增长评估与预测模型 π(Ra,)=g(RR) (5) 1.1模型假设 工程实践中，对一些大型复杂系统（顶级）的可 由式(2)和式(5)，利用Bayesian定理获得R的 靠性分析经常采用二项模型山。 后验分布密度的核 g(R|a,b)o (1)假设某型武器的研制经历了m个试验阶 段。每个试验阶段选取个产品进行试验，有s4个 1R(R-R严-I-Rh- (6) 成功(0≤5：≤)，得到产品的成败型试验数据。其 中，当每个阶段试验只有出现一个失败数据就停止 13 新先验分布类的可靠性评估与预测分析 试验，进行及时修复再进行试验，称为序贯可靠性 在可靠性增长分析中，通常关心的是当前阶段 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 15l 对于小子样异总体统计问题的处理【l】一般采用 构造特定的模型(线性模型、非线性模型和统计模型 等)来反映总体之间的差异，例如可靠性增长模型。 现有Bayesian可靠性增长模型主要有Smith模型【2J、 Barlow．Scheuer模型【3】、Logistic模型【引、折合因子 法【5】等。这些模型一般采用无信息先验或试验信息 折合，仅能给出当前阶段试验产品的町靠性点估计， 无法预测最终产品可靠性。因此，选择什么样的先 验分布能对异总体试验数据做出合理的描述，是应 用Bayesian方法进行可靠性增长分析的重要问题。 近年来，利用不同环境、不同总体条件下性能分布 参数的序化关系模型对各阶段的试验信息进行融合 的方法睁9J克服了上述缺点，适用面较广。在此基础 上，LI等【l o】指出文献[6]提出的次序Dirichlet分布 存在缺陷，并建立了新的Dirichlet先验分布的 Bayesian可靠性增长模型，使得每个可靠性增长阶 段都可用两个参数描述阶段可靠性估计值和对估计 值的确信程度。但是，新先验分布类中参数 ％，％，…，am的物理意义变得不明显，难以由专家经 验直接给出，实际应用操作困难。而对于新研产品 所关心的可靠性增长预测问题，即新Dirichlet先验 分布能否实现预测未来阶段的可靠性问题，有待进 一步深入研究。 针对上述问题，推广了新Dirichlet先验分布的 应用。在研究先验分布参数确定方法的基础上，应 用新Dirichlet先验分布，建立了产品研制阶段 Bayesian町靠性增长模型，分析研究表明该模型可 提供当前阶段的可靠性评估，又可预测未来研制阶 段产品町靠性。后验分布计算采用Gibbs抽样的 Markov chain Monte Carlo(MCMC)算法，解决了参 数后验高维数值积分计算问题。通过实例证明了该 模型在可靠性应用中的直观性与有效性，给出了当 前阶段和后续试验阶段产品可靠性的后验均值和方 差，分析了各阶段试验结果对最终产品町靠性估计 的影响。 1 贝叶斯可靠性增长评估与预测模型 1．1模型假设 工程实践中，对一些大型复杂系统(项级)的可 靠性分析经常采用二项模型【111。 (1)假设某型武器的研制经历了m个试验阶 段。每个试验阶段选取％个产品进行试验，有以个 成功(0≤Sk≤n。)，得到产品的成败型试验数据。其 中，当每个阶段试验只有出现一个失败数据就停止 试验，进行及时修复再进行试验，称为序贯可靠性 增长。前者称为非序贯可靠性增长。【10】 (2)每一试验阶段后，随着试验进行，失效不 断暴露，修正出现的故障模式，产品可靠性彳i断提 高。设第k检测区间内可靠性为冠，存在以下序化 关系 0≤RI≤恐≤…≤如≤如+l≤l (1) 基于以上假设，研究的目的是根据产品研制阶 段试验信息和序化约束模型(1)，结合类似产品的信 息和专家经验，运用Bayesian方法客观合理地评估 与预测产品的可靠性。从数学统计上看，这属于变 动母体统计推断问题。 1．2基于新Dirichlet先验分布的可靠性增长模型 由模型假设可知，在第k检测区间内进行定时 截尾试验得到的成败型数据，可靠度R服从参数为 (仇，％)的二项分布，似然函数 L(Rk；nk，＆)=r I砧(1一R)”％ (2) ＼‰／ 当进行序贯可靠性增长时，似然函数 三’(R；‰，&)=砧叫(1一心) (3) 则根据式(3)和式(4)则町预测任一阶段序贯可 靠性增长试验时达到产品可靠性要求所需产品数。 LI等㈣从各个检测区间内的一般Beta分布出 发，以条件分布的形式构造适合可靠性增长模型的 新的Dirichlet先验分布类。对第k个检测区间，构 造(RI”1)上的截尾Beta分布作为该检测区间内产 品可靠度的分布，即 ＆(墨IRk一1)=gk(Rk IR—l；咏，瓯)= 筹(匙一Rk一。)咏一(1一心)峨_I(o,0(母)(4) 式(4)中第k个试验阶段的先验参数ak>0，反>0， B(aI，瓯)为Beta函数，民=o，如+2=l。 式(4)表示的条件分布是(最-1'1)上截尾Beta分 布，性质与(o，1)上的标准Beta分布性质类似121。 则R=(R1，恐，…，如小如)联合先验密度函数 ～一～ m—+—l 万(RIa，历=Ilgt(R I墨一1) (5) 由式(2)和式(5)，利用Bayesian定理获得尺的 后验分布密度的核 g(R Ia，6)OC 兀砰(也一B—1)靠。1(1一R)％+矗一哪+t-％+一 (6) 1．3新先验分布类的可靠性评估与预测分析 在可靠性增长分析中，通常关心的是当前阶段 万方数据
152 机械工程学报 第46卷第4期 和后续试验阶段的产品可靠性。图1是基于新 Dirichlet先验分布类的Bayesian可靠性评估与预测 4-+bB=a,60-R (a4+b)2(ak+b+1) (7 ax +by 过程。在试验过程中，基于新的Dirichlet先验分布 由以上的数学特征可知，新Dirichlet先验分布 类的后验分布密度，每得到一组试验数据，融合先 类的先验参数的物理意义不是十分明显。因此，要 验信息能实现对上一阶段修正后的产品可靠性的评 将新的先验分布应用于可靠性增长Bayesian评估和 定。例如，第k+1阶段有试验数据和先验信息，则 预测，必须解决如何根据先验信息确定先验参数 可按照式(6)推断出可靠性估计值凡1· 问题。 可靠度的先验信息通常以连续区间的形式给 R:边缘分布 试验数据 R:后验分布 出。例如，根据类似产品信息或专家经验，可给出 Bayesian 第k个检测区间内产品可靠度R∈(RL,R.)。本 更新 文首先以均匀分布描述产品的先验信息，然后以先 0 Rt-IRE 0-1R 验参数为变量，将均值作为约束，方差作为目标， 利用最优化方法求出与该均匀分布最为接近的Bta R+I边缘分布 无试验数据 预测 分布，作为产品的先验分布如图2所示。 Bayesian R+1 更新 后验 …Rk1评估 等效Beta分布 分布 0 R&RH 试验数据 均匀分布 图I基于新Dirichlet先验分布类的Bayesian评估与预测 4 同时，借助先验分布能估算出未来阶段的可靠 以 性，这是新Dirichlet先验分布类独特的特点决定： ①新Dirichlet先验分布类是将R-,作为边缘分布 的约束前提，即先验分布由a,b和R-共同构建， A1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 其它Bayesian模型一般没有将前一阶段可靠性作为 可靠度R 条件分布：②先验分布(4)式中g(RIR)与 图2均匀分布与一般Bcta分布等效图 R,,R-2无关，因为第k-1阶段产品的质量已经 本文采用均匀分布U(RL,Rn)描述产品第k个 包含前k-2个阶段的质量和改进措施的全部信息， 检测区间内产品可靠度R∈(RL,R,H)的先验信息， 充分体现了构造(R,l)上的截尾Bta分布作为该 则均匀分布的均值和方差为 检测区间内产品可靠度的分布的特性。 RiL+Ri. 如果第k+1阶段缺少试验数据，则利用验前信 ER= (8) 2 息ak1,b和新Dirichlet先验分布类的(R,)上的 VR=(Riu-R) (9) 截尾Beta分布作为边缘分布，对k+1阶段进行可 12 靠性估计得到R,此时充分利用了新Dirichlet先 一般确定先验参数的方法是将式(T)表示Beta 验分布类上述两个特点，即利用验前信息ak,b1 分布的均值、方差与式(8)、（⑨）表示的均匀分布 确定边缘分布的形状，又利用(R,l)上截尾Beta分 U(RL,R.a)的均值和方差等价，通过解方程式(8) 布确定边缘分布的端点，从而利用边缘分布得到下 和(9)得到。但在实际中解方程有时是负解，不满足 一阶段的估计1。当第k+1阶段有试验数据时， 先验参数非负要求。通过研究，结合式(T)和式（⑧）、 (9),采用式(10)的最优化模型求解第k个试验阶段 按照式(6)推断的结果则会修正下一阶段可靠性。因 先验参数 此，根据第k+1阶段边缘分布则可实现对可靠性增 min(v:-VR )2 长预测，从而判断产品是否达到可靠性目标。 s.t.u=ERg a >0 b>0 (10) 2新Dirichlet先验分布参数确定方法 其中式()中R1由第k-1个阶段的条件均值41 代替。 给定R,R2,R1,由式(4)可求得R的条件均 如果有多个关于第k个检测区间内产品可靠度 值和条件方差 R的先验信息，例如一共给出个连续区间 万方数据
152 机械工程学报 第46卷第4期 和后续试验阶段的产品可靠性。图1是基于新 Dirichlet先验分布类的Bayesian可靠性评估与预测 过程。在试验过程中，基于新的Diriehlet先验分布 类的后验分布密度，每得到一组试验数据，融合先 验信息能实现对上一阶段修正后的产品可靠性的评 定。例如，第k+1阶段有试验数据和先验信息，则 可按照式(6)推断出可靠性估计值墨“。 钆 瑙 韶 静 鞋 钆 毯 龆 锝 醛 ，“+1、 L一 也j 夤01 预测 R后k+验l…／：fk+l评估 后验… 评估 分布 图1 基于新Diriehlet先验分布类的Bayesian评估与预测 同时，借助先验分布能估算出未来阶段的可靠 性，这是新Diriehlet先验分布类独特的特点决定： ①新Diriehlet先验分布类是将凰～．作为边缘分布 的约束前提，即先验分布由％，瓯和＆一。共同构建， 其它Bayesian模型一般没有将前一阶段可靠性作为 条件分布：②先验分布(4)式中gk(Rt lR—1)与 蜀，…，风一：无关，因为第k—l阶段产品的质量已经 包含前k一2个阶段的质量和改进措施的全部信息， 充分体现了构造(R小1)上的截尾Beta分布作为该 检测区间内产品可靠度的分布的特性。 如果第k+1阶段缺少试验数据，则利用验前信 息％+l'kl和新Dirichlet先验分布类的(心，1)上的 截尾Beta分布作为边缘分布，对k+1阶段进行可 靠性估计得到定+t，此时充分利用了新Dirichlet先 验分布类上述两个特点，即利用验前信息ak+l,bk卅 确定边缘分布的形状，又利用(Rk，1)上截尾Beta分 布确定边缘分布的端点，从而利用边缘分布得到下 一阶段的估计扁“。当第k+l阶段有试验数据时， 按照式(6)推断的结果则会修正下一阶段可靠性。因 此，根据第k+1阶段边缘分布则可实现对可靠性增 长预测，从而判断产品是否达到可靠性目标。 2新Dirichlet先验分布参数确定方法 给定曷，岛，…，＆_l，由式(4)可求得R的条件均 值和条件方差 正=筹警虻=芒(ak糕(ak ∽ 口七+％ +％J‘ +％+lJ 由以上的数学特征可知，新Diriehlet先验分布 类的先验参数的物理意义不是十分明显。因此，要 将新的先验分布应用于可靠性增长Bayesian评估和 预测，必须解决如何根据先验信息确定先验参数 问题。 可靠度的先验信息通常以连续区间的形式给 出。例如，根据类似产品信息或专家经验，可给出 第k个检测区间内产品可靠度Rk∈(RkD皿．何)。本 文首先以均匀分布描述产品的先验信息，然后以先 验参数为变量，将均值作为约束，方差作为目标， 利用最优化方法求出与该均匀分布最为接近的Beta 分布，作为产品的先验分布如图2所示。 O O．I o．2 O．3 o．4 o．5 o．6 o．7 o．8 o．9 i．O 可靠度R 图2均匀分布与一般Beta分布等效图 本文采用均匀分布u(R∥R。Ⅳ)描述产品第七个 检测区间内产品可靠度R∈(RkDR。Ⅳ)的先验信息， 则均匀分布的均值和方差为 ERk：垒：墨±墨：丝 (8) 2 吼：坠学进 (9) 一般确定先验参数的方法是将式(7)表示Beta 分布的均值、方差与式(8)、(9)表示的均匀分布 u(墨DR。何)的均值和方差等价，通过解方程式(8) 和(9)得到。但在实际中解方程有时是负解，不满足 先验参数非负要求。通过研究，结合式(7)和式(8)、 (9)，采用式(10)的最优化模型求解第k个试验阶段 先验参数 miIl(虻一VRk)2 s．t．砖=ERk ak>o bk>o 00) 其中式(7)中心q由第七一1个阶段的条件均值正一。 代替。 如果有多个关于第k个检测区间内产品可靠度 R的先验信息，例如一共给出h个连续区间 布 ＼一 ||心一 布llJ丑， 一由 啪上札 分 ＼一 砬一 7 6 5 4 3 2 l 钆谢稍碍馨 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 153 (R,RH),j=1,2,,h,则其均值和方差为 依次进行n次迭代后，得到R=(风，， 2 R),则R,吃，，R+1就是Gibbs.序列，即Markov (11) 2 链的实现值。此时R依分布收敛于平稳分布 VR (Riu-Rii)Rin+ g(RIR-iak,b)。 h 12 将需要计算的后验估计写成某函数f(R)关于 后验分布gx(风R-ia,b)的期望 2 (12) ELU(R)】=f(风)g(RxIR-iak,b)dR (13) 通过式(10)的最优化模型即可求出第k个试验 则后验分布式(6)的满条件分布如下。 阶段产品可靠度的先验参数。 8(R|R-)cR(R-R-)-× 3可靠性后验推断计算方法 (R1一R)+-0-R)+i--t (14) Gibbs抽样算法计算的关键在于如何从各个满 基于联合后验分布式(6)，若要得到后验积分和 条件分布抽样。实际应用中满条件分布往往不是标 后验估计需要计算复杂的高维微积分，难以直接求 准分布函数，对其抽样存在一定困难，目前抽样的 解。例如，若要得到R,的Bayesian估计，需要对联 方法策略有标准取舍抽样)、非标准分布抽样的 合后验分布进行m-1重数值积分，计算复杂代价太 MH(MetropolisHastings)31算法等。式(14)表示的是 大。本文采用Gibbs抽样算法进行后验积分和后验 (R-i,l)的Beta分布，不易于抽样。为了对满条件 估计的计算。 分布式(14)进行取舍抽样，令 Gibbs抽样是一种MCMC算法I,基本思想是： f(R)心R(-R-)× 首先将多元随机变量进行分块得到若干子矢量，然 (RtH1-R)4+1-R)+i--41 (15) 后轮换地从每一子矢量的条件分布中抽取随机数， 此条件分布是在其他子矢量都给定时该子矢量的条 g(R)=(R-R-)-(R1-R)11 (16) 件分布。当多元随机变量的随机样本不易产生，而 本文对非标准分布式(13)采用变量替换的方法 其子矢量的条件随机样本相对比较容易产生时，使 转化为标准Beta分布，从而可以直接抽样。 用Gibbs抽样将是方便的。 由于式(4)表示的是(R-,l)的Beta分布，为了 对于联合后验分布式(6)，若给定R-1,则gk 使抽样更准确，现将其写成(R-,R)的截尾Beta (R|R-ak,b)仅为R的函数，此时称 分布，通过变量替换 8k(R|R-a,b)为参数R的满条件分布。用 Gibbs抽样方法从联合后验分布p(Ra,)中产生 名 (17) 随机样本的步骤如下。 X:~Beta(d;,b) (18) 选取Ro=(R,R,R9)为初始值：假定 式中Beta(,)为(0，)上标准Beta分布，直接抽样得 第t次迭代开始时的估计值为R-,迭代逐一从下 到X,由式(15)反推得到R抽样值 述满条件分布抽样。 步骤1：从满条件分布g(RR-,R)中抽 R=(Rk+1-R-)X:+Rk-1 (19) 取R。 通过以上变量替换即可简便地从满条件分布中 步骤2：从满条件分布g(RR,R-, 抽样，利用R的抽样值对R的后验估计和后验区间 R)中抽取。 估计进行推断。 为了检验模型的收敛性，在Gibbs抽样中可以 对有关参数进行多条链的迭代分析，即同时输入多 步骤：从满条件分布g(RR,R,,R)中抽 组初始值经过MCMC模拟形成多条Markov迭代 取R。 链，抽样一段时间后，假如参数模型收敛（即符合 步骤m+1:从满条件分布g(Rn+R,R,,P%) MCMC方法稳定条件时)则迭代图形的结果趋于重 中抽取R1· 合，则认为Gibbs抽样收敛。 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 153 (毗，R—j。Ⅳ)，jf=1，2，…，而，．则其?值和方差为 甄=去骞学 Ⅲ， 吼=去封％竽+掣]_ 舷华]2 ∞， 通过式(10)的最优化模型即可求出第k个试验 阶段产品可靠度的先验参数。 可靠性后验推断计算方法 基于联合后验分布式(6)，若要得到后验积分和 后验估计需要计算复杂的高维微积分，难以直接求 解。例如，若要得到趣的Bayesian估计，需要对联 合后验分布进行玎卜1重数值积分，计算复杂代价太 大。本文采用Gibbs抽样算法进行后验积分和后验 估计的计算。 Gibbs抽样是一种MCMC算法【ll】，基本思想是： 首先将多元随机变量进行分块得到若干子矢量，然 后轮换地从每一子矢量的条件分布中抽取随机数， 此条件分布是在其他子矢量都给定时该子矢量的条 件分布。当多元随机变量的随机样本不易产生，而 其子矢量的条件随机样本相对比较容易产生时，使 用Gibbs抽样将是方便的。 对于联合后验分布式(6)，若给定R一，，则鲰 (墨I墨d；％，6七)仅为墨的函数， 此时称 gk(Rk IR一，；依，壤)为参数R的满条件分布。用 Gibbs抽样方法从联合后验分布p(Bl口，夕)中产生 随机样本的步骤如下。 选,IRR‘o)=(碍∞，砂’，…，础1)为初始值；假定 第t次迭代开始时的估计值为尺(卜n，迭代逐一从下 述满条件分布抽样。 步骤1：从满条件分布g(焉I硝-1’，…，．oⅥ(t-lI’)中抽 取碍。 步骤2：从满条件分布g(恐l碍，砖卜n，…， 删’)中抽取避。 步骤f：从满条件分布g(墨I碍，砭，…，e奄t-i’)中抽 取碍。 步骤m+l：从满条件分布g(如+。I碍，避，…，《) 中抽取疋+，。 依次进行甩次迭代后，得到R‘=(群，趟，·．．' 《+1)，则科，避，…，如+l就是Gibbs序列，即Markov 链的实现值。此时F依分布收敛于平稳分布 ＆(R I墨一l；％，玩)。 将需要计算的后验估计写成某函数．厂(R)关于 后验分布＆(R R一，；ak，％)的期望 研，(足)】=I／@)＆限I墨一。；％，＆)岷 (13) 则后验分布式(6)的满条件分布如下。 &(R R一。)∞砰(最一R一。)q_1× (R+l—R)ak+1-1(1一R)％+^一吸+。一％+‘ (14) Gibbs抽样算法计算的关键在于如何从各个满 条件分布抽样。实际应用中满条件分布往往不是标 准分布函数，对其抽样存在一定困难，目前抽样的 方法策略有标准取舍抽样【12】、非标准分布抽样的 MH(MetropolisHastings)113]算法等。式(14)表示的是 (R-l'1)的Beta分布，不易于抽样。为了对满条件 分布式(14)进行取舍抽样，令 厂(R)∞雒(R—R一。)％叫× (磁+l—R七)ak+1-1(1-Rk)％+^一靠“一％+1 (15) g(母)=(R—R—1)ak-1(母+1一心)吼’-1 (16) 本文对非标准分布式(13)采用变量替换的方法 转化为标准Beta分布，从而可以直接抽样。 由于式(4)表示的是(母小1)的Beta分布，为了 使抽样更准确，现将其写成(R小匙+。)的截尾Beta 分布，通过变量替换五：搏 ‘ (17) R+l—R一1 、’ 墨～Beta(ak，玩) (18) 式中Beta(·，·)为(0，1)上标准Beta分布，直接抽样得 到鼍，由式(15)反推得到R抽样值 ＆=(Rk+1一心一1)xI+R七一l (19) 通过以上变量替换即可简便地从满条件分布中 抽样，利用R的抽样值对皿的后验估计和后验区间 估计进行推断。 为了检验模型的收敛性，在Gibbs抽样中可以 对有关参数进行多条链的迭代分析，即同时输入多 组初始值经过MCMC模拟形成多条Markov迭代 链，抽样一段时间后，假如参数模型收敛(即符合 MCMC方法稳定条件时1则迭代图形的结果趋于重 合，则认为Gibbs抽样收敛。 万方数据
154 机械工程学报 第46卷第4期 25 一第1阶段 ,实例 一第2阶段 一第3阶段 根据类似产品经验，某型装备可靠性要达到可 第4阶段 -第5阶段 靠度0.93的顶期目标需要5个可靠性增长阶段，专 家给出了各阶段产品可靠性的先验估计如表1中第 0 四列表示R=(0.55,0.75,0.85,0.90,0.93)。如果目前 做了四个阶段的增长试验，各阶段试验结果(，) 为(5,2)，(7,5)，(9,8)，12,11)，如表1第2、3 列所示。现在要对前四个阶段可靠性增长进行评估， 02 0.4 0.6 同时对下一个阶段可靠性增长进行预测。 可靠度R 表1RGT数据和验前估计 图3各试验阶段的均匀分布与其等价的Beta分布 RGT试验信总 验前信总 在得到上述先验参数后，将各试验数据和先验 阶段 R (RRM) 参数代入式(14)，利用Gibbs抽样计算可靠度值， 2 0.55 (0.4,0.7) 在Gibbs抽样中取10000次抽样迭代。 2 5 0.75 (0.65,0.85) 首先，确定Gibbs抽样是否收敛，采用二个不 8 0.85 (0.78.0.92) 同的初始值同时产生3条Markov链，通过观测发 12 11 0.90 (0.85.0.95) 现在1000次迭代内，这几条链缠绕在一起且趋于 0.93 (0.90,0.96) 稳定，则认为Gibbs抽样算法收敛。图4给出了这 几条Markov链的抽样值。 实际上，根据专家组和历史信息可以给出各试 验阶段可靠度的区间估计，并且区间估计比点估计 能更精确地描述验前信息。假设根据专家经验给出 各试验阶段区间估计(RL,RH),如表1第五行所示。 其中第1阶段没有产品的试验和改进措施的信息， 0.8 对产品的可靠度到底有多高把握不大，专家给出的 区间估计的长度较大：在进行过试验和采取相应的 改进措施之后，专家给出的区间估计变得更为准确， 250 500 750 1000 区间长度逐渐减小。 选代次数H 利用式(10)表示的最优化模型可以得到各试验 图4R的3条Markov链的抽样值 阶段与均匀分布U(R,R.H)等价的一般Beta分布 为了消除过渡过程的影响，需选用“bum-in” 的先验参数a,和b,如表2所示。均匀分布和相应的 数据，以1001~10000次抽样数据作为可靠性估计 等价Beta分布均值ERt和方差V,也列在表2中。 的Gibbs抽样，得到各阶段可靠性的后验估计结果 如表3所示。其中，10%和90%两个分位数构成了 表2均匀分布与其等价的一般Bεta分布的特征参数 参数的80%置信区间。 均匀分布 等效Beta分布 阶段 表3各试验阶段可靠度的后验估计（预测） ER ER g y 均值 标准差 10.0% 中位点 90.0% 10.550.0075000.55 0.00749917.6000 14.4000 1) 0.5338 0.07704 0.4335 0.5346 0.6329 20.75 0.0033310.75 0.003333 6.2223 7.7778 21 0.7444 0.06388 0.6600 0.7480 0.8238 30.850.0016330.85 0.001633 32735 4.9103 31 0.8535 0.04936 0.7876 0.8579 0.9135 40.900.0008330.900.0008311.66673.3335 4 0.9036 0.04074 0.8491 0.9086 0.9520 50.930.0003000.930.0003001.80024.2004 0.9325 0.03378 0.8868 0.9377 0.9713 图3描述了各试验阶段由专家经验得到的均匀 由表3可见，根据专家经验信息和前四个阶段 分布与其等价的一般Beta分布的图形。由图3可知， 的试验数据，在没有进行第5个可靠性增长试验阶 根据式(10)表示的最优化模型，求解得到先验分布 段的情况下，利用本文建立的Bayesian可靠性增长 能较好的拟合先验信息。 推断模型能够进行后续阶段的可靠性增长预测，表 万方数据
机械工程学报 第46卷第4期 4 实例 根据类似产品经验，某型装备可靠性要达到可 靠度0．93的预期目标需要5个可靠性增长阶段，专 家给出了各阶段产品可靠性的先验估计如表1中第 四列表示R=(0．55，0．75，0．85，0．90，0．93)。如果目前 做了四个阶段的增长试验，各阶段试验结果(，l，，岛) 为(5，2)，(7，5)，(9，8)，(12，11)，如表l第2、3 列所示。现在要对前四个阶段可靠性增长进行评估， 同时对下一个阶段可靠性增长进行预测。 表1 RGT数据和验前估计 实际上，根据专家组和历史信息可以给出各试 验阶段可靠度的区间估计，并且区间估计比点估计 能更精确地描述验前信息。假设根据专家经验给出 各试验阶段区间估计僻正，R砌，如表1第五行所示。 其中第l阶段没有产品的试验和改进措施的信息， 对产品的可靠度到底有多高把握不大，专家给出的 区间估计的长度较大；在进行过试验和采取相应的 改进措施之后，专家给出的区间估计变得更为准确， 区间长度逐渐减小。 利用式(10)表示的最优化模型可以得到各试验 阶段与均匀分布U(R：，R H)等价的一般Beta分布 的先验参数at和bt如表2所示。均匀分布和相应的 等价Beta分布均值ER々和方差圪也列在表2中。 表2均匀分布与其等价的一般Beta分布的特征参数 图3描述了各试验阶段由专家经验得到的均匀 分布与其等价的一般Beta分布的图形。由图3可知， 根据式(10)表示的最优化模型，求解得到先验分布 能较好的拟合先验信息。 图3各试验阶段的均匀分布与其等价的Beta分布 在得到上述先验参数后，将各试验数据和先验 参数代入式(14)，利用Gibbs抽样汁算町靠度值， 在Gibbs抽样中取10 000次抽样迭代。 首先，确定Gibbs抽样是否收敛，采用i个不 同的初始值同时产生3条Markov链，通过观测发 现在1 000次迭代内，这几条链缠绕在一起且趋于 稳定，则认为Gibbs抽样算法收敛。图4给出了这 几条Markov链的抽样值。 j粤 棼 霉 图4 Rs的3条Markov链的抽样值 为了消除过渡过程的影响，需选用“bum．in” 数据，以1 001～10 000次抽样数据作为可靠性估计 的Gibbs抽样，得到各阶段口丁靠性的后验估计结果 如表3所示。其中，10％和90％两个分位数构成了 参数的80％置信区间。 表3各试验阶段可靠度的后验估计(预测) 由表3可见，根据专家经验信息和前四个阶段 的试验数据，在没有进行第5个叮靠性增长试验阶 段的情况下，利用本文建立的Bayesian_口j．靠性增长 推断模型能够进行后续阶段的町靠性增长预测，表 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 155 明这种方法可以用于可靠性增长过程中的可靠性跟 Press of National University of Defense Technology,2004. 踪和监控。 [2]SMITH A F M.A bayesian notes on reliability growth 假设第5阶段的试验结果为(7,7)，采用与前面 during a development testing program[J]. IEEE 完全相同的过程，利用本文的方法可以得到每阶 Transations on Reliability,1977,26(5):346-347. 段产品可靠性的Bayesian点估计和区间估计如表4 [3]BARLOW R E,SCHEUER E M.Reliability growth 所示。 during a development testing program []Technometrics, 表4各试验阶段可靠度的后验估计（评估） 1966(8):53-60. [4]SOHN S Y.Baysian dynamic forecasting for attribute 均值 标准差 10.0% 中位点 90.0% reliability[J].Computer Ind.Engng.,1997,33(3): f1] 0.5367 0.07714 0.4365 0.5375 0.6355 741-744. 2) 0.7498 0.06388 0.6651 0.7539 0.8292 []田国梁.二项分布的可靠性增长模型[).宇航学报， 3] 0.8604 0.04795 0.79%3 0.8650 0.9184 1992(1):55-61 的 0.9117 0.03789 0.8606 0.9165 0.9567 TIAN Guoliang.Reliability growth models for binomial 5] 0.9404 0.03015 0.8994 0.9451 0.9748 distribution[J].Journal of Astronautics,1992(1):55-61. 对比表3、4中各阶段可靠度估计的方差可看 [6]MAZZUCHI T A,SOYER R.A Bayes attribute 出，如果有第五阶段的可靠性试验数据，各阶段估 reliability growth model[C]//Proceedings Annual Relia- 计值的标准差比没有试验数据时的标准差要小，这 bility and Maintainability Symposium,1991:322-325. 主要是由于采用Gibbs方法对满条件分布式(14)进 [刀张士锋，李荣.基于Dirichlet验前的Baycs可靠性分析 行抽样过程中，加入第5个阶段的试验数据后，各 [仍.电子产品可靠性与环境试验，1999(6)：12-15. 阶段抽样条件发生变化，经过n次反复迭代抽样得 ZHANG Shifeng,LI Rong.Bayesian reliability analysis 到的最终结果将与只有4个阶段试验数据的抽样结 based on Dirichlet priors [J].Electronic Product 果不一致。这表明试验数据修正了对未来阶段可靠 Reliability and Environmental Testing,1999(6):12-15. 性认识，进一步加深了对R预测值的确信程度。 [图)】喻天翔，宋笔锋，冯蕴文.基于Dirichlet先验分布的 从以上分析可知，利用新的Dirichlet先验分布 Bayes二项可靠性增长方法[)，系统工程理论与实践， 建立的Bayesian可靠性增长模型能充分利用历史信 2006(1):131-135. 息、专家信息以及各阶段试验信息，适用于产品小 YU Tianxiang,SONG Bifeng,FENG Yunwen.Bayesian 子样复杂系统研制阶段的靠性增长评估与预测。 method for binomial reliability growth based on the dirichlet prior distribution[J].System Engineering Theory 5结论 and Practice,2006(1):131-135. [9)刘飞，窦毅芳，张为华.基于狄氏先验分布的固体火箭 (I)利用最优化方法将专家信息表示为Beta分 发动机可靠性增长Bayes分析[仍.固体火箭技术， 布的确定超参数的方法，建立新的Dirichlet先验的 2006,29(4):239-242. Bayesian可靠性增长推断模型，容易定量和衡量先 LIU Fei,DOU Yifang,ZHANG Weihua.Reliability 验参数，解决了超参数物理意义不明确、难以确定 growth Bayesian analysis for solid rocketmotor based on 的问题。 Dirichlet prior distribution [J].Joumal of Solid Rocket (2)基于当前试验数据，研究利用新的Dirichlet Technology,2006,294:239-242. 先验分布的Bayesian可靠性增长模型可以预测异总 [10]LI Guoying,WU Qiguang,ZHAO Yonghui.On Bayesian 体未来研制阶段的可靠性，扩展了模型应用范围。 analysis of binomal reliability growth[J].Japan Statist., (3)针对后验高维分布数值积分计算问题，对 Soc.,2002,32(1):1-14. 非标准分布采用变量替换的方法转化为标准分布，采 [1I]张金愧.Bayes方法M.长沙：国防科技大学出版社， 用Gibbs抽样解决参数的后验推断问题，简单易行。 1993. 参考文献 ZHANG Jinhuai.Bayes method [M].Changsha:Press of National University of Defense Technology,1993 [I]蔡洪，张士峰，张金槐.Bayes试验分析与评估方法M). [12]茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计[M.北京： 长沙：国防科技大学出版杜，2004. 高等教育出版社，施普林格出版杜，1998. CAI Hong,ZHANG Shifeng,ZHANG Jinhuai.Bayes MAO Shisong,WANG Jinglong,PU Xiaolong.Advanced testing analysis assessment method[M].Changsha: mathematical statistics[M].Beijing China High 万方数据
2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 155 明这种方法可以用于可靠性增长过程中的可靠性跟 踪和监控。 假设第5阶段的试验结果为(7，7)，采用与前面 完全相同的过程，利用本文的方法可以得到每阶 段产品可靠性的Bayesian点估计和区间估计如表4 所示。 表4各试验阶段可靠度的后验估计(评估) 对比表3、4中各阶段可靠度估计的方差可看 出，如果有第五阶段的可靠性试验数据，各阶段估 计值的标准差比没有试验数据时的标准差要小，这 主要是由于采用Gibbs方法对满条件分布式(14)进 行抽样过程中，加入第5个阶段的试验数据后，各 阶段抽样条件发生变化，经过n次反复迭代抽样得 到的最终结果将与只有4个阶段试验数据的抽样结 果不一致。这表明试验数据修正了对未来阶段可靠 性认识，进一步加深了对R预测值的确信程度。 从以上分析町知，利用新的Dirichlet先验分布 建立的Bayesian町靠性增长模型能充分利用历史信 息、专家信息以及各阶段试验信息，适用于产品小 子样复杂系统研制阶段的町靠性增长评估与预测。 5 结论 (1)利用最优化方法将专家信息表示为Beta分 布的确定超参数的方法，建立新的Didchlet先验的 Bayesian可靠性增长推断模型，容易定量和衡量先 验参数，解决了超参数物理意义不明确、难以确定 的问题。 (2)基于当前试验数据，研究利用新的Dirichlet 先验分布的Bayesian可靠性增长模型可以预测异总 体未来研制阶段的叮靠性，扩展了模型应用范围。 (3)针对后验高维分布数值积分计算问题，对 非标准分布采用变量替换的方法转化为标准分布，采 用Gibbs抽样解决参数的后验推断问题，简单易行。 参考文献 【l】蔡洪，张士峰，张金槐．Bayes试验分析与评估方法【M】． 长沙：国防科技大学出版社，2004． CAI Hong，ZHANG Shifeng，ZHANG Jinhuai．Bayes testing analysis&assessment method[M]．Changsha： Press ofNational University ofDefense Technology,2004． 【2】SMITH A F M．A bayesian notes on reliability growth during a development testing program[J]． IEEE Transations on Reliability,1977，26(5)：346-347． 【3】BARLOW R E，SCHEUER E M．Reliability growth during a development testing program[J】．Technometrics， 1966(8)：53-60． 【4】SOHN S Y．Baysian dynamic forecasting for attribute reliability【J】．Computer Ind．Engng．，1997，33(3)： 741—744． 【5】田国梁．二项分布的可靠性增长模型阴．宇航学报， 1992(1)：55·61． TIAN Guoliang．Reliability growth models for binomial distribution[J]．Journal ofAstronautics，1992(1)：55—61． 【6】MAZZUCHI T A，SOYER R．A Bayes attribute reliability growth model[C】／／Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium,1 99 1：322-325． 【7】张士锋，李荣．基于Dirichlet验前的Bayes町靠性分析 叨．电子产品町靠性与环境试验，1999(6)：12·15． ZHANG Shifcng，LI Rong．Bayesian reliability analysis based On Dirichlet priors阴．Electronic Product Reliability and Environmental Testing，1999(6)：12—15． 【8】喻天翔，宋笔锋，冯蕴文．基于Dirichlet先验分布的 Bayes二项可靠性增长方法【J】．系统工程理论与实践， 2006(1)：131-135． YU Tianxiang，SONG Bifeng，FENG Yunwen．Bayesian method for binomial reliability growth based on the dirichlet prior distribution[J]．System Engineering Theory and Practice，2006(1)：131-135． [9】刘飞，窦毅芳，张为华．基于狄氏先验分布的固体火箭 发动机可靠性增长Bayes分析【J】．固体火箭技术， 2006，29(4)：239-242． LIU Fei，DOU Yifang，ZHANG Weihua．Reliability growth Bayesian analysis for solid roeketmotor based on Dirichlet prior distribution【J】．Journal of Solid Rocket Technology,2006，29(4)：239-242． 【lO】LI Guoying，WU Qiguang，ZHAO Yonghui．On Bayesian analysis of binomal reliability growth[J]．Japan Statist．， Soe．，2002，32(1)：1-14． 【11】张金槐．Bayes方法【M】．长沙：国防科技大学出版社， 1993． ZHANGJinhuai．Bayes method【M】．Changsha：Press of National University ofDefense Technology,1993． 【12】茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计【M】．北京： 高等教育出版社，施普林格出版社，1998． MAO Shisong，WANG Jinglong，PU Xiaolong．Advanced mathematical statistics[M]． Beijing： China Hiigh 万方数据
156 机械工程学报 第46卷第4期 Education Press,Springer Press,1998. 究方向为小子样复杂系统可靠性试验与评估， [13]唐年胜，韦博成.非线性再生散度模型M.北京：科 E-mail:mzmnudt2008@126.com 学出版杜，2007. 张云安，男。主要研究方向为小子样复杂系统可靠性试验与怀估： TANG Niansheng,WEI Bocheng.Nonlinear reproductive 陶俊勇，男，博士，副教授。马里兰大学机城工程系访问学者。主要研 dispersion models[M].Beijing:Science Press,2007. 究方向为可靠性试验理论与技术，动态系统可靠性与风险性评估， 陈循，男，博士研究生导师，教授。主要研究方向为可靠性试验理论与 作者简介：明志（通信作者），男，1977年出生，博士研究生。主要研 技术。 《机械工程学报》被EI收录论文目次(2009年第6期) 纳米压印光刻模具制作技术研究进展及其发展趋势： …兰红波丁五成刘红忠等(1) 基于AFM的机器人化纳米操作系统综述… …田孝军王越超董再励等(14) 机械加工误差对主动磁悬浮轴承性能的影响 …崔东辉徐龙祥(24) 含环路布局和运动副轴线方位特征的运动链拓扑结构描述” …李树军王德伦戴建生(34) 基于Kne方法的仿鱼机器人波状游动的动力学建模… …夏丹陈维山刘军考等(41) 多层导电结构电涡流检测探头阻抗解析模型及数值计算 4444444444444444400 …范孟豹黄平捷叶波等(50) 压电驱动自耦合射流激发器影响因素… …谭晓茗张埔周(55) 板材成形无网格再生核质子法模拟中的接触处理 …邢忠文刘红生 杨五英(60) 水压伺服阀液压桥路的正交设计与分析… 聂松林孔祥纯 贾国海(67) 三次多项式型微段高速自适成前瞻插补方法…冷洪滨郭义杰潘晚弘(73) 基于全局优化算法的超塑性本构模型参数的识别… …曲 杰金泉林徐秉业(80) 包含电极尺寸及位置信息的电磁流量计干标定模型… ·胡亮邮俊谢海波等(88) 利用双卡尔曼滤被算法佔计电动汽车用锂离子动力电池的内部状态· …戴海峰孙泽昌巍学哲(95) 混合动力城市客车串联式制动能量回馈技术… 张俊智薛俊亮陆欣等(102) 新型管式气囊的防护性能分析及结构优化… 黄晶钟志华 胡 林等(107) 基于局域波分解的电火花加工放电状态预测方法· 费振元高升晖 刘 先等(113) 微热管的灌注抽真空制造技术 …陆龙生汤勇 冬等(122) 电动助力转向与主动悬架集成系统动态性能智能控制 陈龙聂佳梅 汪若尘等(128) 混流式水轮机的非定常流动分析 廖伟丽姬晋廷速鹏等(134) 机床位姿误差的敏感性分析… …黄强张根保张新玉(141) 一种新的Couette流变仪的精度校核… …郭关柱范毓润杨华勇(147) 三维封闭三角网格模型的缺失实体孔祠修复算法 姚远刘援媛杨红飞等(154) 基于测厚仪监控的厚控系统动态建模及其鲁棒H控制器设计 ,孙建亮彭艳刘宏民等(160) 电动助力转向的转向感觉客观综合评价…… …张斯施国标林遗(171) 径扭复合模式盘形压电超声换能器 …刘世清桃晔 林书玉(176) 基于转向轻便性及回正性能设计的EPS应用 赵林峰陈无畏秦明辉等(181) 燃料电池中巴车电电混合动力控制系统 ……谢长君 杜传进全书海(188) 板材轧制过程中快速有限元在线算法… 李长生宋叔尼梅瑞城等(193) 液压电机泵内置孔板离心泵的流场解析与优化· …奖宏 丁大力王峥嵘等(199) 导电性光固化树脂结合剂锯片的研制… …高海清主(206) 板料樹体颗粒介质成形新工艺及其数值模拟… 赵长财李晚升董国楼等(211) 变模温注塑热响应模拟与模具结构优化… 王桂龙赵国群 李辉平等(216) 叶片数对喷水推进器性能影响的计算流体动力学分析 杨琼方王永生张志宏等(222) 基于成形吃力极限的管材液木成形缺陷预测… …裤克敏周林李萍(229) 差厚拼焊板盒形件成形影响因素及焊缝移动规律， 王梦寒周杰何春妃等(234) 基于小波变换技术的发动机异响故障诊断 减玉萍张德江王维正(239) 车用磁流变液流变特性分析及试验… +…费永瓶周孔元(246) 激光切割中的超声速喷嘴辅助气体流场分析与结构改进· 胡俊郭绍刚邱明勇等(251) 三测头法误差分离技术的理论与试验 …张镭赵莹张玉(256) 车用空气弹簧有限元分折方法 袁春元周孔亢吴琳琪等(262) 大孔径管道4自由度内部检测机器人系统 )孜张旭黄进等(267) 基于区域Voronoi图的复杂形体的三维重建算法 贾超 王蓓蓓孔凡树等(274) 电子控制空气悬架高度调节过程非线性模型 黄俊明周孔元徐兴等(278) 高速离心压缩机旋转失速的全流场数值模拟…… ,郭强竺晓程杜朝辉等(284) 小口径气动元件流量特性测量及介成方法 王海 彭光正香川利春(290) 基于三圆弧的旋叶式压缩机新型线叶片设计” 宋立权赵孝峰刁锦瑞等(298) 结构仿真高精度有限元网格划分方法 …李海左正兴廖日东(304) 一种基于图像分析的润滑油含气率测量方法 艹王建文刘俊安琦(309) 万方数据
156 机械工程学报 第46卷第4期 Education Press，Springer Press，1 998． 【13】唐年胜，韦博成．非线性再生散度模型[M】．北京：科 学出版社，2007． TANG Nianshcng，WEI Bocheng．Nonlinear reproductive dispersion models[M]．Beijing：Science Press，2007． 究方向为小子样复杂系统可靠性试验与评估。 E-mail：mzmnudt2008@126．P,om 张云安。男。主要研究方向为小子样复杂系统可靠性试验与评估。 陶俊勇，男，博士，副教授。马里兰大学机械工程系访问学者。主要研 究方向为可靠性试验理论与技术，动态系统可靠性与风险性评估。 陈循，男，博士研究生导师，教授。主要研究方向为可靠性试验理论与 作者简介：明志茂(通信作者)，男，1977年出生，博士研究生。主要研 技术。 嘞嘞岛嘞≮嘞％嘞匈嘞嘞嘞劫嘞向嘞劫向勃勃劫勃嘞鳓％‰嘞岛劫岛物嘞嘞嘞嘞嘞嘞％嘞勘嘞勃‰嘞≮嘞嘞懒 《机械工程学报》被EI收录论文目次(2009年第6期) 纳米压印光刻模具制作技术研究进展及其发展趋势…………………………………………兰红渡丁玉成刘红忠等(1) 基于AFM的机器人化纳米操作系统综述……………………………………………………田孝军 王越超董再励等(14) 机械加T误差对手动磁悬浮轴承性能的影响……………………………………………………………一崔东辉徐龙祥(24) 含环路布局和运动副轴线方位特征的运动链拓扑结构描述…………………………………”李树军王德伦戴建生(34) 基于Kane方法的仿鱼机器人波状游动的动力学建模………………………………………夏丹陈维山 刘军考等(41) 多层导电结构电涡流柃测探头阻抗解析模型及数值计算…………………………………“范孟豹黄平捷叶波等(50) 压电驱动自耦合射流激发器影响因素……………………………………………………………………·谭晓茗 张靖周(55) 板材成形无网格再生核质子法模拟中的接触处理……………………………………………“邢忠丈刘红生杨玉英(60) 水压伺服阀液压桥路的正交设计与分析………………………………………………………·聂松林孔祥纯 贾国涛(67) 三次多项式型微段高速自适应前瞻捅补方法…………………………………………………·冷洪滨邬义杰潘晓弘(73) 基于全局优化算法的超塑性本构模型参数的识别……………………………………………”曲 杰金泉林徐秉业(80) 包含电极，t寸及位置信息的电磁流量计干标定模型………………………………………一胡 亮邹俊谢海泼等(88) 利用双卡尔曼滤波算法估计电动汽车用锂离予动力电池的内部状态………………………一戴海峰孙泽昌魏学哲(95) 混合动力城市客车串联式制动能量回馈技术………………………………………………张俊智 薛俊亮陆欣等(102) 新型管式气囊的防护性能分析及结构优化…………………………………………………黄 晶钟志华胡 林等(107) 基于局域波分解的电火花加工放电状态预测方法…………………………………………贾振元高升晖刘巍等(113) 微热管的灌注抽真空制造技术………………………………………………………………陆龙生 汤 勇 袁冬等(122) 电动助力转向与主动悬架集成系统动态性能智能控制……………………………………陈龙聂佳梅汪若尘等(128) 混流式水轮机的非定常流动分析……………………………………………………………廖伟丽姬晋廷逯鹏等(134) 机床位姿误差的敏感性分析……………………………………………………………………黄强 张根保张新玉(141) 一种新的CoueRe流变仪的精度校核…………………………………………………………·郭关柱范毓润杨华勇(147) 三维封闭三角网格模型的缺失实体孔洞修复算法…………………………………………姚远刘媛媛杨红飞等(154) 基于测厚仪监控的厚控系统动态建模及其鲁棒H。控制器设计…………………………一孙建亮 彭艳刘宏民等(160) 电动助力转向的转向感觉客观综合评价………………………………………………………张昕施国标林逸(171) 径扭复合模式盘形压电超声换能器……………………………………………………………刘世清姚晔林书玉(176) 基于转向轻便性及回正性能设计的EPS应用………………………………………………赵林峰陈无畏秦明辉等(181) 燃料电池中巴车电电混合动力控制系统……………………………………………………·谢长君 陛传型全书海(188) 板材轧制过程中快速有限元在线算法………………………………………………………李长生 宋叔尼梅瑞斌等(193) 液压电机泵内置孔板离心泵的流场解析与优化……………………………………………冀宏丁大力王峥嵘等(199) 导电性光固化树脂结合剂锯片的研制……………………………………………………………………高涛潘立(206) 板料固体颗粒介质成形新工艺及其数值模拟………………………………………………赵长财李晓丹董国疆等(211) 变模温注颦热响应模拟与模具结构优化……………………………………………………王桂龙赵国群李辉平等(216) 叶片数对喷水推进器性能影响的计算流体动力学分析……………………………………杨琼方王永生张志宏等(222) 基于成形J邂力极限的管材液胜成形缺陷预测…………………………………………………薛克敏周 林李萍(229) 差厚拼焊板盒形件成形影响因素及焊缝移动规律…………………………………………王梦寒周 杰何春妃等(234) 基于小波变换技术的发动机异响故障诊断……………………………………………………臧玉萍张德江王维正(239) 车用磁流变液流变特性分析及试验………………………………………………………………………贾永枢周孔亢(246) 激光切割中的超声速喷嘴辅助气体流场分析与结构改进…………………………………胡俊郭绍刚邱明勇等(251) 三测头法误筹分离技术的理论与试验…………………………………………………………张镭赵莹 张玉(256) 车用空气弹簧有限元分析方法………………………………………………………………袁春元周孔亢吴琳琪等(262) 大孔径管道4自由度内部检测机器人系统…………………………………………………马孜张旭黄进等(267) 基于区域Voronoi图的复杂形体的二维重建算法…………………………………………贾超王蓓蓓孔凡树等(274) 电子控制空气悬架高度调节过程非线性模型………………………………………………黄俊明周孔亢徐兴等(278) 高速离心压缩机旋转失速的全流场数值模拟………………………………………………郭强 竺晓程杜朝辉等(284) 小u径气动元件流量特性测量及合成方法…………………………………………………王涛彭光正香川利春(290) 基于三圆弧的旋叶式雎缩机新型线叶片设计………………………………………………宋立权赵孝峰刁锦瑞等(298) 结构仿真高精度有限元网格划分方法…………………………………………………………李涛左正兴廖日东(304) 一种基于图像分析的润滑油含气率测量方法…………………………………………………王建文刘俊安琦(309) 万方数据
