第16卷第9期 管理科学学报 Vol.16 No.9 2013年9月 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA Sep.2013 基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用” 郑挺国，左浩苗2 (1.厦门大学王亚南经济研究院，厦门361005；2.中国人寿资产管理有限公司，北京100033) 摘要：关于金融波动率的建模，大量文献都是基于将收益率作为波动率代理变量，而基于极差 这一更有效的代理变量研究波动率的则相对较少.考虑到随机波动率模型的优势，将区制转移 引入到基于极差的随机波动率模型中，从而刻画金融市场中波动率水平可能存在的结构变化， 随后给出此波动率模型的MCMC估计，并利用模拟证明了该方法的有效性.基于以上模型，对 上证综指、深圳成指和沪深300指数的极差波动率进行了实证研究，并利用已实现波动率作为 基准、以稳健的损失函数作为判断准则的比较方法，与文献中常用的GARCH类模型和SV类 模型进行比较，进一步论证了提出模型的优势 关键词：极差；随机波动；区制转移；MCMC 中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：1007-9807(2013)09-0082-13 0 引言 的已实现方差是真实波动率的一致估计量.非参 数方法中的另一类是无模型隐含波动率方法9)， 波动率建模是金融计量经济学的核心问题之 可以在不依赖于特定的期权定价模型的前提下预 一.它的建模可以分为参数方法和非参数方法两 期风险中性条件下的波动率. 大类，在参数方法中，比较常用的是Engle和 在上述方法中，除了无模型隐含波动率方法 Bollerslev2]提出的GARCH类模型，以及Taylor3) 是利用期权数据得到风险中性测度下波动率的估 提出的随机波动率模型(stochastic volatility mod- 计外，其他方法均利用资产价格历史数据得到现 l,简称SV模型)等.GARCH类模型一般可将条 实测度下波动率的估计.传统的GARCH类模型 件方差表达为残差的自回归形式，通过对滞后的 和SV模型均是基于收益率数据的，即利用收益 历史信息赋予不同的权重得到对波动率的估计， 率的绝对值或者平方作为波动率的代理变量，进 能够刻画波动聚类的特征.与之不同，SV模型将 而得到真实波动率的估计.但是，收益率数据仅仅 波动率视为不可观测的过程，在对条件方差的刻 是利用了某一交易时段的最后的收盘价的信息， 画中也引入随机误差项.由于随机波动率模型可 而忽视了时段内价格变动的信息.例如，在市场剧 视为连续时间的布朗运动或跳跃扩散过程的离散 烈波动和比较平稳的情况下，价格过程均可能具 对应，在资产定价和衍生品定价中得到了广泛的 有相同的收盘价进而得到相同的收益率，但是在 应用4-6].在非参数方法中，随着高频数据的出 这两种情况下市场的波动状况是完全不同的.作 现，已实现波动率(realized volatility,简称RV)方 为更为理想的替代方案，极差（定义为某一时间 法得到了广泛的应用.Andersen等，8]证明在一 段内最高价与最低价之差)也可以作为波动率的 定条件下，通过对日内高频收益率平方求和得到 代理变量.Parkinsono最早对极差作为波动率代 ①收稿日期：2011-11-30；修订日期：2012-05-03. 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71001087)；国家留学基金委公派资助项目(201208350111)；教育部人文社会科学研究规划基金 资助项目(11YJA790095):福建省自然科学基金资助项目(2010J01361):厦门大学优秀博士培养计划资助项目. 作者简介：郑挺国(1979一)，男，浙江温岭人，博士，副教授.Email:zhengtg(@gmail.com 万方数据
第16卷第9期 2013年9月 管理科学学报 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA V01．16 No．9 Sep．2013 基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用① 郑挺国1，左浩苗2 (1．厦门大学王亚南经济研究院，厦门361005；2．中国人寿资产管理有限公司，北京100033) 摘要：关于金融波动率的建模，大量文献都是基于将收益率作为波动率代理变量，而基于极差 这一更有效的代理变量研究波动率的则相对较少．考虑到随机波动率模型的优势，将区制转移 引入到基于极差的随机波动率模型中，从而刻画金融市场中波动率水平可能存在的结构变化． 随后给出此波动率模型的MCMC估计，并利用模拟证明了该方法的有效性．基于以上模型，对 上证综指、深圳成指和沪深300指数的极差波动率进行了实证研究，并利用已实现波动率作为 基准、以稳健的损失函数作为判断准则的比较方法，与文献中常用的GARCH类模型和SV类 模型进行比较，进一步论证了提出模型的优势． 关键词：极差；随机波动；区制转移；MCMC 中图分类号：F830．9 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2013)09—0082—13 0 引 言 波动率建模是金融计量经济学的核心问题之 一．它的建模可以分为参数方法和非参数方法两 大类．在参数方法中，比较常用的是Engle¨o和 Bollerslev【2 o提出的GARCH类模型，以及Taylor一1 提出的随机波动率模型(stochastic volatility mode1，简称sV模型)等．GARCH类模型一般可将条 件方差表达为残差的自回归形式，通过对滞后的 历史信息赋予不同的权重得到对波动率的估计， 能够刻画波动聚类的特征．与之不同，SV模型将 波动率视为不可观测的过程，在对条件方差的刻 画中也引入随机误差项．由于随机波动率模型可 视为连续时间的布朗运动或跳跃扩散过程的离散 对应，在资产定价和衍生品定价中得到了广泛的 应用M“J．在非参数方法中，随着高频数据的出 现，已实现波动率(realized volatility，简称RV)方 法得到了广泛的应用．Andersen等¨一。证明在一 定条件下，通过对日内高频收益率平方求和得到 的已实现方差是真实波动率的一致估计量．非参 数方法中的另一类是无模型隐含波动率方法一j， 可以在不依赖于特定的期权定价模型的前提下预 期风险中性条件下的波动率． 在上述方法中，除了无模型隐含波动率方法 是利用期权数据得到风险中性测度下波动率的估 计外，其他方法均利用资产价格历史数据得到现 实测度下波动率的估计．传统的GARCH类模型 和SV模型均是基于收益率数据的，即利用收益 率的绝对值或者平方作为波动率的代理变量，进 而得到真实波动率的估计．但是，收益率数据仅仅 是利用了某一交易时段的最后的收盘价的信息， 而忽视了时段内价格变动的信息．例如，在市场剧 烈波动和比较平稳的情况下，价格过程均可能具 有相同的收盘价进而得到相同的收益率，但是在 这两种情况下市场的波动状况是完全不同的．作 为更为理想的替代方案，极差(定义为某一时间 段内最高价与最低价之差)也可以作为波动率的 代理变量．Parkinsonl lol最早对极差作为波动率代 ①收稿13期：2011—11—30；修订13期：2012—05—03． 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71001087)；国家留学基金委公派资助项目(201208350111)；教育部人文社会科学研究规划基金 资助项目(11YJA790095)；福建省自然科学基金资助项目(2010J01361)；厦门大学优秀博士培养计划资助项目． 作者简介：郑挺国(1979一)，男，浙江温岭人，博士，副教授．Email：zhengtg@gmail．com 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 -83- 理变量的性质进行了研究，认为极差利用了时间 和Susmel]及郑挺国35]等将马尔科夫区制转移 段内价格的变动区间信息而不仅仅是收盘时点的 引人到基于收益率的SV模型中.上述研究均表明在 信息，可以明显提高估计波动率的效率.随后Gar- 对金融时间序列研究过程中，波动率存在区制转移 man和Klass、Rogers和Satchell),以及Yang 是普遍现象，同时，上述文献[32-35]均证实，考虑 和Zhang1]等对极差估计量进行了修正和扩展. 波动均值的区制转移特征会得到更优的波动持续性 Parkinson]以及唐勇和张世英[4]证明基于极差 估计和动态拟合效果.鉴于此，本文在Alizadeh等] 的波动率估计量效率要高于基于收益率的波动率 的SV模型基础上提出了基于极差的马尔科夫区 估计量，前者的方差大概是后者的1/5，具有更窄 制转移随机波动率模型(range based Markov switc- 的置信区间.除了估计量精度的优势外，Alizadeh hing stochastic volatility model,简称RMSSV)模型，该 等)还指出，对数极差是近似正态的，避免了收 模型既具有极差波动率方法估计效率高的特点，也 益率尖峰厚尾分布造成的估计困难，也对微观市 同时刻画了金融市场周期性变化的特征 场结构噪音比较稳健.此外，由于金融市场报价信 本文的其他工作还包括：首先，结合RMSSV 息中长期以来通常都包含了日内交易的最高价和 模型设定的特征，给出了基于Gibs抽样的马尔 最低价，具有较长的样本区间，这使得基于极差的 科夫链蒙特卡罗模拟(Markov chain Monte Carlo, 波动率建模方法更具有广泛的适用性. 简称MCMC)估计方法，并通过模拟论证了估计 与基于收益率的波动率建模的诸多方法相 方法的有效性；其次，利用RMSSV模型对大陆市 比，基于极差的波动率建模方法相对较少.Aliza- 场3个代表性指数（上证综指、深圳成指和沪深 deh等[s1以及Brandt和Diebold[i6提出了基于极 300指数)的日度极差数据进行拟合，并进行了不 差的SV模型（range based stochastic volatility 同波动率估计方法的样本内拟合比较.Patton36) model,简称RSV模型)，Chou),Li和Hong8、 在Hansen和Lunde)的基础上提出了以已实现 周杰和刘三阳)、李红权和汪寿阳20]等对基于 波动率作为基准和稳健的损失函数作为准则的比 极差的GARCH类模型进行了研究，蒋祥林等[2] 较方法，解决了传统的波动率估计方法依赖于存 探讨了基于日内价格幅度和收益率的随机波动率 在噪音的波动率代理指标和可能存在偏误的损失 模型，均证明了基于极差的波动率方法的有效性. 函数作为准则的问题，但在实证中仅比较了滚动估 由于随机波动率模型在连续时间金融以及资产定 计和RiskMetrics两种简单的波动率估计方法，而本 价中的广泛应用，本文对Alizadeh等1s1的方法进 文则进一步将其扩展应用到多种常见的波动率估计 行拓展.本文的主要工作是在Alizadeh等15]提出 模型中，更为充分地验证了RMSSV模型的优势 的RSV模型的基础上，引入具有波动均值区制转 移特征的马尔科夫动态过程，从而刻画波动率的 1 模型设定及估计方法 结构变化.大量文献证实了波动率可能具有结构 变化或区制转移的特征.在对波动率长记忆性的 研究中，Lamoureux和Lastrapes2就曾指出，可能 1.1基于收益率的SV模型 存在的结构突变会导致对波动持续性的高估， 根据Taylor]等的研究，基本SV模型设定为 Diebold和noue2s)也指出长记忆现象可能是因 r:06:exp(h/2) (1) 为波动率过程中存在结构突变，Granger和 h=u+p(h-1-u）+0nn (2) Hyung24进一步证实了上述观点，指出结构突变 hy-N( (3) 对长记忆性具有重要的解释效力.鉴于此，一些研 究将Hamilton2s]提出的马尔科夫区制转移方法 其中r:=log(S,/S,-1)表示股票价格S,的对数收益 引入到波动率过程中，从而可以捕捉波动率存在 率；h,≡logσ：表示对数方差，8，和7：是独立的正态 的内生变化过程，如Hamilton和Susmelt2、 分布的随机扰动项；σ是常量，在本文中标准化为1； Cai1、Gary2]、蒋祥林等91、孙金丽和张世 P是对数波动率持续性的度量，其绝对值小于1；参 英30]、赵华和蔡建文[31]等考虑了区制转移的 数u和σ，分别表示对数波动率的均值和波动率 GARCH类模型，而So等32]、Smith[)、Kalimipalli 对式(1)进行对数平方变换，可以得到 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 理变量的性质进行了研究，认为极差利用了时间 段内价格的变动区间信息而不仅仅是收盘时点的 信息，可以明显提高估计波动率的效率．随后Gar． man和Klass¨“、Rogers和Satchell¨“，以及Yang 和Zhang¨纠等对极差估计量进行了修正和扩展． Parkinson¨钊以及唐勇和张世英¨41证明基于极差 的波动率估计量效率要高于基于收益率的波动率 估计量，前者的方差大概是后者的1／5，具有更窄 的置信区间．除了估计量精度的优势外，Alizadeh 等¨纠还指出，对数极差是近似正态的，避免了收 益率尖峰厚尾分布造成的估计困难，也对微观市 场结构噪音比较稳健．此外，由于金融市场报价信 息中长期以来通常都包含了日内交易的最高价和 最低价，具有较长的样本区间，这使得基于极差的 波动率建模方法更具有广泛的适用性． 与基于收益率的波动率建模的诸多方法相 比，基于极差的波动率建模方法相对较少．Aliza． deh等¨纠以及Brandt和Diebold-l钊提出了基于极 差的SV模型(range based stochastic volatility model，简称RSV模型)，Choum J、Li和Hong¨8|、 周杰和刘三阳¨9|、李红权和汪寿阳Ⅲ1等对基于 极差的GARCH类模型进行了研究，蒋祥林等旧¨ 探讨了基于日内价格幅度和收益率的随机波动率 模型，均证明了基于极差的波动率方法的有效性． 由于随机波动率模型在连续时间金融以及资产定 价中的广泛应用，本文对Alizadeh等¨副的方法进 行拓展．本文的主要工作是在Alizadeh等¨纠提出 的RSV模型的基础上，引入具有波动均值区制转 移特征的马尔科夫动态过程，从而刻画波动率的 结构变化．大量文献证实了波动率可能具有结构 变化或区制转移的特征．在对波动率长记忆性的 研究中，Lamoureux和Lastrapes旧21就曾指出，可能 存在的结构突变会导致对波动持续性的高估， Diebold和Inoue嵋引也指出长记忆现象可能是因 为波动率过程中存在结构突变，Granger和 HyungⅢ1进一步证实了上述观点，指出结构突变 对长记忆性具有重要的解释效力．鉴于此，一些研 究将HamihonⅢ1提出的马尔科夫区制转移方法 引入到波动率过程中，从而可以捕捉波动率存在 的内生变化过程，如Hamilton和Susmelmo、 Cai[27『、Gary[28『、蒋祥林等‘29f、孙金丽和张世 英∞0|、赵华和蔡建文旧u等考虑了区制转移的 GARCH类模型，而so等∞引、Smith旧3。、Kalimipalli 和SusmelⅢ1及郑挺国∞纠等将马尔科夫区制转移 引入到基于收益率的SV模型中．上述研究均表明在 对金融时间序列研究过程中，波动率存在区制转移 是普遍现象，同时，上述文献[32—35]均证实，考虑 波动均值的区制转移特征会得到更优的波动持续性 估计和动态拟合效果．鉴于此，本文在Alizadeh等¨5J 的RSV模型基础上提出了基于极差的马尔科夫区 制转移随机波动率模型(range based Markov switching stochastic volatility model，简称RMSSV)模型，该 模型既具有极差波动率方法估计效率高的特点，也 同时刻画了金融市场周期性变化的特征． 本文的其他工作还包括：首先，结合RMSSV 模型设定的特征，给出了基于Gibbs抽样的马尔 科夫链蒙特卡罗模拟(Markov chain Monte Carlo， 简称MCMC)估计方法，并通过模拟论证了估计 方法的有效性；其次，利用RMSSV模型对大陆市 场3个代表性指数(上证综指、深圳成指和沪深 300指数)的日度极差数据进行拟合，并进行了不 同波动率估计方法的样本内拟合比较．Patton旧钊 在Hansen和Lunde日刊的基础上提出了以已实现 波动率作为基准和稳健的损失函数作为准则的比 较方法，解决了传统的波动率估计方法依赖于存 在噪音的波动率代理指标和可能存在偏误的损失 函数作为准则的问题，但在实证中仅比较了滚动估 计和RiskMetrics两种简单的波动率估计方法，而本 文则进一步将其扩展应用到多种常见的波动率估计 模型中，更为充分地验证了RMSSV模型的优势． 模型设定及估计方法 1．1基于收益率的SV模型 根据Taylor㈨等的研究，基本SV模型设定为 r。=盯s。exp(ht／2) (1) h。=p+妒(^，1一肛)+盯。叼。 (2) h，。Ⅳ(p，#、) (3) 1一(p 其中‘=log(S。／S川)表示股票价格Is。的对数收益 率；危。兰log吼2表示对数方差，B和％是独立的正态 分布的随机扰动项；盯是常量，在本文中标准化为1； p是对数波动率持续性的度量，其绝对值小于1；参 数p和％分别表示对数波动率的均值和波动率 对式(1)进行对数平方变换，可以得到 万方数据
-84 管理科学学报 2013年9月 logr子=h,+点 (4) 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变.特别 其中：=1ge.式(2)和式(4)构成了状态空间 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程.在 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 假设6，服从标准正态分布的前提下，5：服从自由 况交替出现的情形.特别地，在市场处于剧烈波动 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 度、峰度分别为1.11、-1.53、6.93，与正态分布 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 的差别是比较大的.在正态假设下，Harvey等] 动率的水平可能存在结构变化.剧烈波动和相对 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等9]指出 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 态分布组成的混合分布对：的分布进行逼近的 突变刻画方法.本文引人马尔科夫区制转移的方法 MCMC方法，随后Chib等[o]以及Omori等[41)提 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 出了其他的MCMC算法. h,=s,（1-p)+ph-l+0nn (7) 1.2基于极差的随机波动率模型 令".=3，(1-p),式(7)可以表示为 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， h:=vs +phi-1 +onn (8) :的分布的非正态性给模型的估计造成困难.当 其中，状态变量S,有M个不同的取值，代表波动 采用极差作为波动率代理变量时，Feller'2】证明 率的长期水平处在不同的状态.假设S,服从一阶 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 马氏过程，转移概率矩阵如下 极差的标准差、偏度和峰度分别为0.29,0.17和 [P1 P12 PIM 2.80,与标准正态是较为接近的. P=[Py] p21p22 P2M (9 利用这一性质，Alizadeh等s]提出了基于极 差的随机波动率模型 PMM y,=h,+e, (5) 其中p:=Pr[S,=j引S1=]表示从状态S-1= h:=u+(h1-u)+om (6) 其中y,=log(1ogH-logL)表示对数极差；h,= :转移到3，=)的概率，并满足之，=L这祥， logo:表示对数波动率；H,和L,代表某一时段内 4s,=S:+…+uwSM,其中S.为哑变量，表示当 的最高价和最低价.此外，令v=(1-p)μ，式(6) 且仅当S,=j时S。=1.与Sun)等类似，本文中 可以等价地写为h=v+ph-1+on其中，由于 进一步假定M=2,则S.=1和，=2分别表示 &,是近似正态的，Alizadeh等1s)利用拟极大似然 市场处于高波动状态和低波动状态.此时，转移概 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 率矩阵简化为 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 P=P 1-P1 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 (10) 1-g9 代理变量的随机波动率方法.同时，他们的模拟研 其中p和q分别表示波动率保持在高或低水平的 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 概率.这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 率的估计也更为准确.该模型充分利用了极差的 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化.在 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 SV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 So等[2]和Sun]的工作，而本文将这种做法延 进了对参数的估计和波动率的提取 伸到了基于极差的随机波动率模型中.这样，本文 1.3基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 模型 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 万方数据
．--——84．--—— 管理科学学报 2013年9月 log r；=h。+亭。 (4) 其中￡=log B2．式(2)和式(4)构成了状态空间 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程．在 假设8。服从标准正态分布的前提下，￡服从自由 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 度、峰度分别为1．11、一1．53、6．93，与正态分布 的差别是比较大的．在正态假设下，Harvey等[38] 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等∞引指出 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 态分布组成的混合分布对孝。的分布进行逼近的 MCMC方法，随后Chib等㈤1以及Omori等H¨提 出了其他的MCMC算法． 1．2 基于极差的随机波动率模型 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， ￡的分布的非正态性给模型的估计造成困难．当 采用极差作为波动率代理变量时，FellerM21证明 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 极差的标准差、偏度和峰度分别为0．29，0．17和 2．80，与标准正态是较为接近的． 利用这一性质，Alizadeh等¨纠提出了基于极 差的随机波动率模型 Y。=h；+占。 (5) h。=／．t+妒(h，l一肛)+or。叼。 (6) 其中Y。=log(109H,一logL。)表示对数极差；^。= log盯。表示对数波动率；皿和￡。代表某一时段内 的最高价和最低价．此外，令秽=(1一妒)肛，式(6) 可以等价地写为h。=秽+础¨+盯。7／。．其中，由于 s。是近似正态的，Alizadeh等u副利用拟极大似然 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 代理变量的随机波动率方法．同时，他们的模拟研 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 率的估计也更为准确．该模型充分利用了极差的 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 进了对参数的估计和波动率的提取． 1．3 基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 模型 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变．特别 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 况交替出现的情形．特别地，在市场处于剧烈波动 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 动率的水平可能存在结构变化．剧烈波动和相对 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 突变刻画方法本文引入马尔科夫区制转移的方法 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 h。=／xs。(1一妒)十妒^卜1+盯田叼。 (7) 令秽。．=p。．(1—9)，式(7)可以表示为 h‘=秽s；+9^t一1+盯叼叼l (8) 其中，状态变量|s。有M个不同的取值，代表波动 率的长期水平处在不同的状态。假设s。服从一阶 马氏过程，转移概率矩阵如下 P=[P“]= P11 P12 p21 p22 pMt pm (9) 其中p。=Pr[S。=_『l S¨=i]表示从状态SH= 村 i转移到S。=歹的概率，并满足∑P#=1．这样， ps=肛1S1。+…+肛_】lf．s胁，其中JsA为哑变量，表示当 且仅当S。=J时．s。=1．与Sun【4纠等类似，本文中 进一步假定M=2，则S。=1和S，=2分别表示 市场处于高波动状态和低波动状态．此时，转移概 率矩阵简化为 P：『 p 1一p1 (10) o 1一q q 1 其中P和g分别表示波动率保持在高或低水平的 概率．这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化．在 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 sV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 So等旧2 o和SunM列的工作，而本文将这种做法延 伸到了基于极差的随机波动率模型中．这样，本文 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 村 村 胁胁；‰咐 ● ● ● ● 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一 85- 前提下确定波动的不同区制和持续时间. 3)从f八P,9S+)中抽取p8+),gg+) 1.4估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 4)运用多步移动的方法，从f(,|y,S+), 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 p,4,,o0,o）中抽取的w Nelson']提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计.吉布 5)从fo,4|$w,”,p,o)中抽 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 取+，+. 布的抽样方法，最早由文献[45]提出.吉布斯抽 6)从f代p|4+,2,39*),的+”，o) 样实际是对Metropolis抽样方法[6]的改进，并在 中抽取p+) 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等4)、Carter和Kohn],而Jacquier等9] 7）从fo,0,|+,41,3+),), 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上. p+)中抽取σ+》，og+. 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 上述抽样过程共进行M+W次，其中M次为 中将状态变量h,S,均视为待估的参数.记= 预烧(burn in sample),确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的N次抽样计算得到. (y1,…y)',=(h,…,h)',S=(S1,…, S)',0=(p,9,P山1山，0。，0n)'为模型原有参数 2 模拟结果 这样，新的参数空间变为w=(,S,)'.根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， f(h,S,01y) 进行了如下的模拟.由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 f(yl h,S,0)f(hI s,0)f(SI 0)f(0) 朗运动来生成日内的价格序列 (11) 5,ia=5,(-1)a+06uV△ (14) 其中 logo,=(1-p),+plog(o-1）+Bee√历 (15) 0,l,3,0)=fGli,0)=Πxlh,) 其中T表示天数；N表示日内价格观测数，tW< i≤(t+1)W,t=1,…,T:H=1/257是年度化时间区 2a2 间；A=H/N是日内价格变动的时间区间；8和e (12) 是标准正态的扰动项.在模拟中，假设中=0.9， 山1=-12=-1.5，对应波动率的高状态和低状 fir|3r,0)=Πxlh,S,0) 态同时，p=0.99,9=0.97,N=1000,B=0.75, h-,-ph)2 T=1000.根据上述设定，可以计算得到o,= 22 0.0468,0。=0.29.根据对数极差的分布，其均值为 0.43+0.5logH+logg,因此为与log,对应，极差 (13) 应减去0.43+0.5logH得到调整后极差.本文均进 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到 1)给出初始值.？={h9}I1和0的初始值 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 0P=(po,g,p,40,o0,0)',其中 次模拟，得到每个参数的分布.为了近似反映多次 S,的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 2)运用多步移动的方法，从f(Sn|,p，, 验均值求均值，标准差及95%的区间.从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 q0,p,,,σ)中成块抽取S+). 实值非常接近，均值的标准差普遍较小.同时，真 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一85一 前提下确定波动的不同区制和持续时间． 1．4 估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 Nelson惮1提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计．吉布 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 布的抽样方法，最早由文献[45]提出．吉布斯抽 样实际是对Metropolis抽样方法Ⅲ1的改进，并在 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等‘471、Carter和Kohn‘删，而Jacquier等‘491 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上． 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 中将状态变量h。，S。均视为待估的参数．记觅= (Y1’．．．，Y。)’，I。t,=(h，，…，h。)’，墨=(S1，．一， S。)7，秒II-(P,q，qo,it，牝，盯。，盯。)7为模型原有参数 这样，新的参数空间变为∞=(群，霹，口，’．根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 以薪，薪，p I薪)oc 以薪I薪，霹，p状薪I霹，p状薪I口狄p) (11) 其中 八薪I薪，薪，p)钒薪I薪，口)=I-If(y,I h。，口) =鱼瓦1t =l^／Zffi'O"唧(一譬) 、 坷． ， (12) r 以薪I薪，口)=Hf(y。I h。，S。，口) I=1 =珥T去唧(_ 2盯： (13) 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 1)给出初始值．群={h?}乙。和口的初始值 oo=(P‘0’，q∞’，妒∞’，pf们，正∞，盯：们，盯?’)’，其中 薪的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0． 2)运用多步移动的方法，从以薪I砰’，P咕’， q‘引，妒‘引，肛：引，p{引，盯，’)中成块抽取鼯“’． 3)从以p，q l鼢+1’)中抽取p‘纠’，q‘州’． 4)运用多步移动的方法，从火薪I薪，砰“’， 9‘引，肛}引，肛i引，盯≯’，盯≯’)中抽取砰“’． 5)从f(vo，tJ，I鼯“’，砰“’，9瞻’，盯≯’)中抽 取肛}g+l’，p{g+1’． 6)从以9 p：s“’，从s+2’，砰“’，砰+1’，盯≯’) 中抽取妒‘8“’． 7)从八盯。，or。l肛：s“’，肛i8“’，鼯“’，砰“’， 妒幢“’)中抽取盯≯+1’，盯≯“’． 上述抽样过程共进行M+Ⅳ次，其中肘次为 预烧(burn in sample)，确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的Ⅳ次抽样计算得到． 2 模拟结果 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， 进行了如下的模拟．由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 朗运动来生成日内的价格序列 s叫A=sI，(H)△+盯l占“仫 (14) log吼=(1-‘o)its．+自olog(tr。一1)恤。√日(15) 其中r表示天数；Ⅳ表示日内价格观测数，tN< i≤(t+1)Ⅳ，t=1，…，T；H=1／257是年度化时间区 间；△=H／N是日内价格变动的时间区间；8。和气 是标准正态的扰动项．在模拟中，假设9=0．9， p，=一1，心=一1．5，对应波动率的高状态和低状 态同时，P=0．99，q=0．97，N=1 000，卢=0．75， T=1 00．根据上述设定，可以计算得到％= 0．046 8，盯。=0．29．根据对数极差的分布，其均值为 0．43+0．5 log日+logO"t，因此为与log吼对应，极差 应减去o．43+0．5 log H得到调整后极差．本文均进 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到． 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 次模拟，得到每个参数的分布．为了近似反映多次 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 验均值求均值，标准差及95％的区间．从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 实值非常接近，均值的标准差普遍较小．同时，真 万方数据
—86 管理科学学报 2013年9月 实值也落在95%的均值分布区间中，同时与区间 拟研究表明，至少对于长度为1000的样本而言， 的端，点也比较接近，这表明500次模拟和估计得 上述估计方法能够得到参数的准确估计，而由于 到的后验均值均较为接近真实值.上述模拟表明， 极差估计量的效率优势，与同等长度的收益率数 采用的MCMC方法能够得到参数的有效估计.模 据而言对参数的估计精度更高. 表1500次模拟结果 Table 1 Result of 500 times of simulation 参数 真实值 均值 标准差 95%区间 p 0.9900 0.9833 0.0071 [0.9674,0.9933] 9 0.9700 0.9611 0.0101 [0.9457,0.9814] 0.9000 0.8821 0.0482 [0.7680,0.9487] On 0.0468 0.0471 0.0112 [0.0292,0.0715] O& 0.2900 0.2945 0.0073 [0.2795,0.3100] -1.0000 -1.0344 0.0607 [-1.1668,-0.9266] 2 -1.5000 -1.5389 0.0281 [-1.6021,-1.4885】 注：表中均值、标准差和95%区间表示对500次模拟得到的后验均值计算得到， Zhou's1]的做法，删除了隔夜收益率.先验分布的 3实证结果 设定中，借鉴Kim等9，S0等]的做法，设定p, g的先验分布为贝塔分布，fp)cp(1-p)-, 3.1模型估计结果 0<p<1,其中a。=10,a1=1;p,41,h2的先验 这里分别估计上证综合指数、深证成分指数 分布为正态分布N(0.95,1),W(-3,1), 和沪深300指数的波动状况.由于本文采用作为 N(1,1);o,o,的先验分布为逆伽马分布 比较基准的已实现波动率需要利用日内高频数 1G(0.5o,0.56),=2,6=0.02vo.在估计过 据，考虑到数据可得性，上证综指和深圳成指的样 程中，预烧抽样次数为50000，总抽样次数为 本区间为2003-01-02~2011-09-26，共 100000.经尝试更多的抽样次数，结果基本不变. 2121个观测，沪深300指数的样本区间从该指数 表2报告了参数的均值及其后验分布的90% 的发布日起，为2005-04-08~2011-09-26， 区间，从中可以注意到，主要参数的后验区间均比 共1576个观测.上述样本均超过了模拟的样本程 较窄，表明估计效率较高.对3个市场而言，其中 度，对于实证分析而言样本长度是充分的.数据来 高、低波动区制的概率均达到较高水平，这表明高 源为CSMAR数据库.已实现波动率计算方法与 波动或者低波动区制均具有很强的持续性.而且， Andersen等7，si和Patton36]的一致，为日内5min 高、低波动均值在90%置信区间都明显不相交， 收益率平方求和计算得到，并根据Tauchen和 这说明模型可以捕捉显著的高低波动水平变化 表2 RMSSV模型估计结果 Table 2 Estimation results of RMSSV models 上证综指 深证成指 沪深300 参数 均值 90%区间 均值 90%区间 均值 90%区间 0.9952 [0.9858,0.9993] 0.9955 [0.9870,0.9993] 0.9961 [0.9905,0.9994] 9 0.9976 「0.9937,0.9996 0.9976 [0.9943,0.9996] 0.9968 [0.9920,0.9995] 华 -4.0181 [-4.1332,-3.8911] -3.9151 [-4.0045,-3.8103] -3.9914 [-4.0915,-3.8883] % -4.6318 [-4.7212,-4.5566] -4.5266 [-4.5983,-4.46501 -4.5358 [-4.6153,-4.44781 p 0.9311 [0.9014,0.9537] 0.9195 [0.8872,0.9480] 0.9286 [0.8972.0.9576] 0看 0.0977 [0.0841,0.1163] 0.1089 [0.0935,0.1251] 0.1036 [0.0875,0.1229] 0.3646 [0.3530.0.3757] 0.3606 [0.3493,0.3718 0.3658 [0.3534,0.3783] 万方数据
一86～ 管理科学学报 2013年9月 实值也落在95％的均值分布区间中，同时与区间 的端点也比较接近，这表明500次模拟和估计得 到的后验均值均较为接近真实值．上述模拟表明， 拟研究表明，至少对于长度为1 000的样本而言， 上述估计方法能够得到参数的准确估计，而由于 极差估计量的效率优势，与同等长度的收益率数 采用的MCMC方法能够得到参数的有效估计．模 据而言对参数的估计精度更高． 表1 500次模拟结果 Table l Result of 500 times of simulation 参数 真实值 均值 标准差 95％区间 p 0．990 0 0．983 3 O．007 1 [0．967 4，0．993 3] g 0．970 0 0．961 1 0．010 1 [0．945 7，0．981 4] ∞ 0．900 O 0．882 l 0．048 2 [0．768 0，0．948 7] 盯" 0．046 8 0．047 1 0．011 2 [0．029 2，0．071 5] 盯s 0．290 O 0．294 5 O．007 3 [0．279 5，0．310 0] p1 一1．000 0 —1．034 4 0．060 7 [一1．166 8，一0．926 6] № 一1．500 O 一1．538 9 0．028 l [一1．602 1，一1．488 5] 注：表中均值、标准差和95％区间表示对500次模拟得到的后验均值计算得到 3 实证结果 3．1 模型估计结果 这里分别估计上证综合指数、深证成分指数 和沪深300指数的波动状况．由于本文采用作为 比较基准的已实现波动率需要利用日内高频数 据，考虑到数据可得性，上证综指和深圳成指的样 本区间为2003—01—02—2011—09—26，共 2 121个观测，沪深300指数的样本区间从该指数 的发布日起，为2005—04—08～2011—09—26， 共1 576个观测．上述样本均超过了模拟的样本程 度，对于实证分析而言样本长度是充分的．数据来 源为CSMAR数据库．已实现波动率计算方法与 Zhou∞川的做法，删除了隔夜收益率．先验分布的 设定中，借鉴Kim等口9|、so等口23的做法，设定P， q的先验分布为贝塔分布以P)OC P咖(1一P)1-aI， 0<P<1，其中ao=10，O／1=1；妒，肛l，肛2的先验 分布为正态分布N(0．95，1)，N(一3，1)， N(1，1)；盯：，盯i的先验分布为逆伽马分布 IG(O．5v。，0．5氏)，秽。=2，氏=0．02vo．在估计过 程中，预烧抽样次数为50 000，总抽样次数为 100 000．经尝试更多的抽样次数，结果基本不变． 表2报告了参数的均值及其后验分布的90％ 区间．从中可以注意到，主要参数的后验区间均比 较窄，表明估计效率较高．对3个市场而言，其中 高、低波动区制的概率均达到较高水平，这表明高 波动或者低波动区制均具有很强的持续性．而且， Andersen等‘7’81 Patton‘36 3的一致，为Et内5 min 高、低波动均值在90％置信区间都明显不相交， 收益率平方求和计算得到，并根据Tauchen和 这说明模型可以捕捉显著的高低波动水平变化． 表2 RMSSV模型估计结果 Table 2 Estimation results of RMSSV models 上证综指 深证成指 沪深300 参数 均值 90％区间 均值 90％区间 均值 90％区间 p 0．995 2 [0．985 8，0．999 3] 0．995 5 [0．987 0，0．999 3] 0．996 1 [0．990 5，0．999 4] g 0．997 6 [0．993 7，0．999 6] 0．997 6 [0．994 3，0．999 6] 0．996 8 [0．992 0，0．999 5] “1 —4．018 1 [一4．133 2，一3．891 1] 一3．915 l [一4．004 5，一3．810 3] 一3．991 4 [一4．091 5，一3．888 3] P-2 —4．63l 8 [一4．721 2，一4．556 6] 一4．526 6 [一4．598 3，一4．465 0] 一4．535 8 [一4．615 3，一4．447 8] ∞ O．93l 1 [0．901 4，0．953 7] 0．919 5 [0．887 2，0．948 0] 0．928 6 [0．897 2，0．957 6] 盯" 0．097 7 [0．084 1，0．116 3] 0．108 9 [0．093 5，0．125 1] O．103 6 [0．087 5，0．122 9] 矿￡ 0．364 6 [0．353 0，0．375 7] 0．360 6 [0．349 3，0．371 8] 0．365 8 [0．353 4，0．378 3] 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 87— 从图1来看，沪深股市表现出了类似的波动 y_shhsh 趋势.从区制转移特征来看，两个市场均在2006 年下半年开始进入高波动的区制.这主要是由于 2005年4月30日股权分置改革全面启动以来，市 场交易活跃，从2005年底开始股市进入牛市，指 200320042005200620072008200920102011 年份 数一路上扬，市场整体波动也处在较高水平.2007 1.00p 年下半年开始随着国内外经济形势变动的影响， 0.75 特别是2008年下半年美国次贷危机扩大化，市场 0.50 开始持续下跌，继续导致我国股票市场持续波动， 0.25 并延续到2010年初.进入2010年以来，由于股指 200320042005200620072008200920102011 处于低位调整阶段，国际金融形势虽然出现波动， 年份 但并没有造成持续影响，股指回复低波动区制.沪 深300股指期货在2010年4月推出，并没有观察 到对现货市场的波动区制有明显影响.此外，沪深 300指数的波动也印证了上述的区制特征.由于 wA 沪深300指数发布较晚，样本期相对较短，但图1 2004 2006 2008 2010 的结果表明所采用的估计方法对不同的样本区间 年份 均能准确识别波动区制.此外，由于我国市场是新 1.00 兴市场，与欧美成熟市场相比时间跨度较短，在选 0.75 取的样本中仅观察到一次较为明显的波动区制转 0.50 移，随着数据的延长，预期会有更多的区制变化 0.25 但是，值得注意的是，即使对于例如沪深300指数 200320042005200620072008200920102011 5年多的样本而言，股市就表现出了1次区制变 年份 动，这说明作为新兴市场波动转移仍属频繁，而不 —hhs 考虑这一情况的波动率模型估计很有可能导致模 型误设问题.此外，波动区制转移分析对于监管部 门深人认识股市内在规律和投资者合理把握市场 2004 2006 2008 2010 2012 时机进行资产配置均具有现实意义， 年份 3.2波动率模型比较 1.0 phs 本节将采用Patton36]提出以已实现波动率 05 作为比较基准的方法.在波动率估计和预测的比 较中，由于波动率是不可观测的，通常采用的收益 2004 2006 2008 2010 2012 率的平方作为基准，会带来较大的误差，同时比较 年份 基准的选择也会带来偏误.因此在Diebold和 图1 上证综指、深圳成指和沪深300指数调整后极差(yh, Marianos2]、West[5),特别是Hansen和Lunde'] y5z,yhs)、对数波动率估计值(hh,h这，hhs) 研究的基础上，Patton6]提出了以已实现波动率 及高波动区制概率(p-h,P,P_hs) Fig.1 Adjusted log range,estimated log volatility and probabilities of 作为比较的基准.同时，Patton36]提出了对于条 high volatility regime for Shanghai Composite Index,Shenzhen 件无偏的波动率代理变量稳健的损失函数族，一 Component Index and China Securities Index 300 般来讲，该函数族表达式如下 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一87一 从图1来看，沪深股市表现出了类似的波动 趋势．从区制转移特征来看，两个市场均在2006 年下半年开始进入高波动的区制．这主要是由于 2005年4月30日股权分置改革全面启动以来，市 场交易活跃，从2005年底开始股市进入牛市，指 数一路上扬，市场整体波动也处在较高水平．2007 年下半年开始随着国内外经济形势变动的影响， 特别是2008年下半年美国次贷危机扩大化，市场 开始持续下跌，继续导致我国股票市场持续波动， 并延续到2010年初．进人2010年以来，由于股指 处于低位调整阶段，国际金融形势虽然出现波动， 但并没有造成持续影响，股指回复低波动区制．沪 深300股指期货在2010年4月推出，并没有观察 到对现货市场的波动区制有明显影响．此外，沪深 300指数的波动也印证了上述的区制特征．由于 沪深300指数发布较晚，样本期相对较短，但图1 的结果表明所采用的估计方法对不同的样本区间 均能准确识别波动区制．此外，由于我国市场是新 兴市场，与欧美成熟市场相比时间跨度较短，在选 取的样本中仅观察到一次较为明显的波动区制转 移，随着数据的延长，预期会有更多的区制变化． 但是，值得注意的是，即使对于例如沪深300指数 5年多的样本而言，股市就表现出了1次区制变 动，这说明作为新兴市场波动转移仍属频繁，而不 考虑这一情况的波动率模型估计很有可能导致模 型误设问题．此外，波动区制转移分析对于监管部 门深入认识股市内在规律和投资者合理把握市场 时机进行资产配置均具有现实意义． 3．2 波动率模型比较 本节将采用Patton【3钊提出以已实现波动率 作为比较基准的方法．在波动率估计和预测的比 较中，由于波动率是不可观测的，通常采用的收益 率的平方作为基准，会带来较大的误差，同时比较 基准的选择也会带来偏误．因此在Diebold和 Mariano[52]、West[53】，特别是Hansen和Lunde E37】 研究的基础上，Patton∞刮提出了以已实现波动率 作为比较的基准．同时，Patton[3酬提出了对于条 件无偏的波动率代理变量稳健的损失函数族．一 般来讲，该函数族表达式如下 2003 2004 2()05 2006 2007 2008 2009 2010 2011 年份 2003 20()4 2()05 2006 2007 2008 2()09 2010 2011 年份 年份 2003 2004 2005 2006 2()07 2008 2009 2010 2011 年份 图1 上证综指、深圳成指和沪深300指数调整后极差(y_sh。 y_sz。y_hs)、对数波动率估计值(h_sh，h_sz。h_hs) 及高波动区制概率(p_sh，p_．sz。p_hs) Fig．1 Adjusted log range，estimated log volatility and probabilities of high volatility regime for Shanghai Composite Index-Shenzhen Component Index and China Securities Index 300 万方数据
一88- 管理科学学报 2013年9月 (G254-h2)- 参数.此外，还有基于极差的随机波动率模型 (b+1)(b+2) (RSV模型)等.上述模型的具体设定及估计可参 h(-h),be{-1,-2 见文献[2,15,26,32,39,54-56]等的研究，限于 b L(a2,h;b)= (16) 篇幅，具体估计结果从略. -a+1og号b=- 作为整体拟合效果的衡量，表3首先参考 Meddahi]报告了Mincer-Zarnowitz回归的结果. -1ogg-1,b=-2 在回归设定中：=B。+B,h。+ea,其中，G代表 已实现波动率，而h.代表其他波动率模型得到的 其中。代表已实现波动率；h代表其他波动率模型 结果.调整后的可以作为波动率估计结果与已 得到的结果；b为参数作为比较模型，考虑了 实现波动率接近程度的度量.对于上证综指、深圳 GARCH(1,1)、EGARCH(1,1)、FIGARCH(1,d,1)、 成指和沪深300指数的研究结果均表明RMSSV APGARCH(1,1)、SWARCH(2,4)、SV模型以及马 模型得到了最佳的拟合效果.同时，Mincer-Zarnowitz 尔科夫转移随机波动率模型(Markov switching 检验的原假设是B=0且B1=1.在此较严格的约束 stochastic volatility model,MSSV模型)，为考虑收 条件下X统计量均拒绝了原假设，表明波动率估 益率的厚尾特征，上述基于收益率的GARCH类 计与已实现波动率均存在一定差距，这与Patton 模型的残差均为学生：分布，其自由度也是待估 的结果类似 表3 Mincer--Zarnowitz回归结果 Table 3 Result of Mincer-Zarowitz regression GARCH EGARCH FIGARCH APGARCH SV MSSV SWARCH RSV RMSSV 上证综指 B -0.0702 -0.1590 0.1775 -0.0791-0.2945 -0.2073 -0.3067 -0.5126 -0.5224 (8.e.) 0.1179 0.1133 0.1094 0.1141 0.1366 0.1132 0.1204 0.1260 0.1270 B 0.7120 0.7440 0.6214 0.7175 0.8267 0.8404 0.7742 1.5096 1.5033 (s.e.) 0.0527 0.0509 0.0455 0.0511 0.0633 0.0565 0.0552 0.0954 0.0942 行 173.59 178.97 155.08 167.16 238.03 282.55 286.54 47.44 47.88 p 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 调整R2 0.3533 0.3638 0.3048 0.35830.4373 0.4925 0.3462 0.5584 0.5802 深证成指 -0.2325 -0.2511-0.1463 -0.1823 -0.4753 -0.3192 -0.2804 -0.5539-0.5762 (s.e.) 0.1630 0.1606 0.1525 0.1586 0.1783 0.1535 0.1708 0.1860 0.1844 B 0.7686 0.7765 0.7466 0.7587 0.8851 0.8686 0.7758 1.4524 1.4504 (s.e.) 0.0589 0.0581 0.0549 0.0574 0.0678 0.0615 0.0608 0.1057 0.1029 行 174.27 169.23 157.14 155.27 232.50 266.28 204.34 47.89 47.81 力 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 调整R2 0.3508 0.3536 0.3303 0.3488 0.4299 0.4624 0.3260 0.5557 0.5820 沪深300 B 0.0850 0.0964 0.2647 0.1107 -0.2749 -0.4217 -0.2542 -0.4581 -0.5315 (s.e.) 0.1657 0.1641 0.1607 0.1637 0.1856 0.1777 0.1872 0.1734 0.1775 B 0.6538 0.6569 0.5894 0.6502 0.7969 0.9093 0.7323 1.4373 1.4655 (s.e.) 0.0523 0.0508 0.0464 0.0514 0.0662 0.0678 0.0616 0.1026 0.1032 行 122.38 114.65 150.36 118.13 152.73 156.25 190.53 44.27 44.68 p 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 调整 0.3040 0.3033 0.2790 0.3027 0.3976 0.4747 0.3163 0.5331 0.5516 万方数据
一88一 管理科学学报 2013年9月 L(孑，^；6)= 万T岛丙(≯“一h6+2)一 万面面万L盯一，一 了1矿+1(孑一^)，b圣{一1'_2} D ．． (16) h一孑+孑l。g ior，b=一1 or^一l。g百or一1，6=一2 其中扩代表已实现波动率；危代表其他波动率模型 得到的结果；6为参数作为比较模型，考虑了 GARCH(1，1)、EGARCH(1，1)、FIGARCH(1，d，1)、 APGARCH(1，1)、SWARCH(2，4)、SV模型以及马 尔科夫转移随机波动率模型(Markov switching stochastic volatility model，MSSV模型)，为考虑收 益率的厚尾特征，上述基于收益率的GARCH类 参数．此外，还有基于极差的随机波动率模型 (RSV模型)等．上述模型的具体设定及估计可参 见文献[2，15，26，32，39，54—56]等的研究，限于 篇幅，具体估计结果从略． 作为整体拟合效果的衡量，表3首先参考 MeddahiM刊报告了Mincer-Zarnowitz回归的结果． 在回归设定中矿；=30+』8。h。+e。，其中，盯；代表 已实现波动率，而h。代表其他波动率模型得到的 结果．调整后的JR2可以作为波动率估计结果与已 实现波动率接近程度的度量．对于上证综指、深圳 成指和沪深300指数的研究结果均表明RMSSV 模型得到了最佳的拟合效果．同时，Mincer-Zamowitz 检验的原假设是风=O K筋=1．在此较严格的约束 条件下罚i统计量均拒绝了原假设，表明波动率估 计与已实现波动率均存在一定差距，这与Patton 模型的残差均为学生t分布，其自由度也是待估 的结果类似． 裹3 Mincer-Zarnowitz回归结果 Table 3 Result of Mincer·Zarnowitz regression GARCH EGARCH FIGARCH APGARCH SV MSSV SWARCH RSV RMSSV 上证综指 ^ 风 一0．070 2 —0．159 0 0．177 5 —0．079 1 —0．294 5 一O．207 3 —0．306 7 —0．512 6 —0．522 4 (S．e．) O．117 9 0．113 3 0．109 4 0．114 l 0．136 6 O．113 2 0．120 4 O．126 O 0．127 0 ^ 口l 0．712 0 0．744 O 0．621 4 0．717 5 0．826 7 O．8404 0．774 2 1．509 6 1．503 3 (S．e．) 0．052 7 0．050 9 0．045 5 O．05l l 0．063 3 0．056 5 0．055 2 O．095 4 0．094 2 磊 173．59 178．97 155．08 167．16 238．03 282．55 286．54 47．44 47．88 p 0．000 O 0．ooO 0 0．000 O 0．000 0 O．000 0 O．000 O 0．Ooo O O．000 0 0．000 O 调整尺2 0．353 3 0．363 8 O．304 8 0．358 3 0．437 3 0．492 5 O．346 2 0．558 4 0．580 2 深证成指 ^ 口n 一0．232 5 —0．25l 1 —0．146 3 —0．182 3 —0．475 3 一O．319 2 —0．280 4 —0．553 9 —0．576 2 (S．e．) 0．163 0 0．160 6 0．152 5 0．158 6 0．178 3 0．153 5 0．170 8 O．186 O 0．184 4 ^ 口1 0．768 6 0．776 5 0．746 6 0．758 7 0．885 l 0．868 6 0．775 8 1．452 4 1．450 4 (S．e．) 0．058 9 0．058 1 0．054 9 0．057 4 O．067 8 0．06l 5 O．0I∞8 0．105 7 0．102 9 蠢 174．27 169．23 157．14 155．27 232．50 266．28 204．34 47．89 47．8l P O．o000 0．ooO 0 O．000 0 O．000 O O．000 O 0．000 0 O．000 O 0．000 O O．000 O 调整R2 0．350 8 0．353 6 0．330 3 0．348 8 O．429 9 0．462 4 0．326 0 0．555 7 0．582 0 沪深300 ^ 口n 0．085 0 0．096 4 O．264 7 O．110 7 —0．274 9 —0．421 7 一O．254 2 —0．458 l —O．531 5 (S．e．) 0．165 7 0．164 1 O．160 7 0．163 7 0．185 6 0．177 7 O．187 2 0．173 4 0．177 5 ^ 口l 0．653 8 0．656 9 0．589 4 0．650 2 0．796 9 0．9019 3 0．732 3 1．437 3 1．465 5 (S．e．) 0．052 3 0．050 8 0．046 4 O．05l 4 O．066 2 O．067 8 0．061 6 0．102 6 0．103 2 蠢 122．38 114．65 150．36 118．13 152．73 156．25 190．53 44．27 44．68 p 0．Ooo O O．000 0 0．Ooo O O．000 0 0．000 O O．ooO O O．ooO O 0．000 0 O．000 0 调整R2 O．304 0 0．303 3 0．279 0 0．302 7 O．397 6 0．474 7 O．316 3 0．533 1 0．551 6 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 89- 表4进一步报告了Diebold-.Mariano-West DMW检验的原假设为E[u1,t-山2：]=0.在表4 (DMW)检验结果.利用式(16)的损失函数，对 中，备选模型均与RMSSV模型进行比较，负值表 于给定的真实波动率代理变量G以及两个比较 明RMSSV模型优于备选模型，如果显著为负（临 模型得到的估计结果h:和h2,得到 界值为t统计量临界值)，表明RMSSV模型显著 4t=L(0,h1a),h2t=L(G,h2) 优于备选模型。 表4 Diebold-.Mariano-West(DMW)检验结果 Table 4 Result of Diebold-Mariano-West DMW)tests GARCH EGARCH FIGARCH APGARCH SV MSSV SWARCH RSV 上证综指 1 -5.050 -5.216 -5.162 -5.138 -2.699 -1.511 -7.208 -2.574 0 -7.059 -7.394 -7.101 -7.115 -3.946 -2.020 -8.649 -3.235 -12.231 -12.780 -12.440 -12.441 -7.189 -4.156 -12.837 -3.753 -2 -16.464 -16.896 -17.854 -16.970 -12.151 -9.729 -15.310 -3.708 -5 -7.361 -7.534 -7.341 -7.388 -7.666 -7.093 -7.191 2.604 深圳成指 -4.824 -4.808 -4.929 -4.788 -3.415 -2.917 -7.321 -2.665 -7.101 -7.163 -7.179 -6.997 -4.991 -3.581 -9.820 -3.529 -1 -12.718 -12.958 -13.164 -12.719 -8.944 -6.153 -14.650 -4.197 2 -15.696 -16.206 -16.548 -16.372 -12.572 -11.118 -15.909 -4.318 -6.835 -6.871 -6.863 -6.870 -6.631 -6.542 -6.888 2.569 沪深300 -5.562 -5.390 -5.947 -5.487 -3.244 -0.524 -6.907 -2.067 0 -7.177 -7.024 -7.587 -7.079 -4.217 -1.178 -7.876 -2.613 -10.915 -10.793 -11.399 -10.809 -6.566 -2.981 -10.756 -2.883 -2 -14.912 -14.924 -15.875 -14.936 -10.274 -6.817 -12.605 -2.452 -5 -5.219 -5.267 -5.263 -5.229 -5.221 -4.753 -5.160 2.009 综合表3和表4，对于不同的备选模型，特别 型的相对优势，而本文扩展了上述结论，在MCMC 是基于收益率的模型，RMSSV均表现出了明显的 估计这一更有效的估计方法上，发现基于极差的 优势.具体而言，首先，随机波动率类模型的表现 SV模型仍具有显著优势.再次，引入区制转移的 好于GARCH类模型.Andersen等)认为，与 MSSV模型的表现好于SV模型，RMSSV模型好于 GARCH类模型相比，SV模型更好地反映了潜在 RSV模型.这表明对波动率建模引人区制转移的 的市场波动率是不可观测这一特征.这可能是 重要性.最后，与RMSSV模型表现最为接近的是 GARCH模型方法与SV模型方法相对较差的原 RSV模型，其中，对于b的不同取值，比较结果并 因.其次，基于极差的RSV和RMSSV模型的表现 不一致，这与Patton6]引入不同比较准则的动机 好于SV和MSSV模型.例如，对于上证综指而言， 是一致的，在不同的比较准则下可能有不同的结 RSV和RMSSV模型调整R2为0.5584和0.5802，高 果.但是，对于b的绝大部分取值，RMSSV模型的 于SV和MSSV模型的0.4373和0.4925，也高于 表现仍好于RSV模型，特别是与常用的MSE准则 GARCH类模型，而这一结论对其余两个指数也 对应的b=0的情况以及在Patton「6}推荐的与 是成立的.Alizadeh等[s]采用拟极大似然估计法 QLIKE准则对应的b=-2的情况下.这一判断与 比较了基于极差的SV模型与基于收益率的SV模 MZ回归的结果也是一致的，均表明了RMSSV模 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一89一 表4进一步报告了Diebold-Mariano—West (DMW)检验结果．利用式(16)的损失函数，对 于给定的真实波动率代理变量Z以及两个比较 模型得到的估计结果h。。和h：。，得到 “。，。=￡(盯；，^。，。)，M：，。=L(盯；，^：，。) DMW检验的原假设为E[M¨一u：，。]=0．在表4 中，备选模型均与RMSSV模型进行比较，负值表 明RMSSV模型优于备选模型，如果显著为负(临 界值为t统计量临界值)，表明RMSSV模型显著 优于备选模型． 表4 Diebold—Mafiano—West(DMW)检验结果 Table 4 Result of Diebold—Mariano-West(DMW)tests b CARCH EGARCH FIGARCH APGARCH SV MSSV SWARCH RSV 上证综指 l 一5．050 —5．216 —5．162 —5．138 —2．699 —1．511 —7．208 —2．574 0 —7．059 —7．394 —7．101 —7．115 —3．946 —2．020 —8．649 —3．235 —1 —12．231 —12．780 一12．440 一12．44l 一7．189 —4．156 —12．837 —3．753 —2 —16．464 —16．896 —17．854 —16．970 一12．151 —9．729 —15．3lO 一3．708 —5 —7．361 —7．534 —7．341 —7．388 —7．666 —7．093 —7．191 2．604 深圳成指 1 —4．824 —4．808 —4．929 —4．788 —3．415 —2．917 —7．321 —2．665 0 —7．101 —7．163 —7．179 —6．997 —4．991 —3．58l 一9．820 —3．529 —1 —12．718 —12．958 —13．1“ 一12．719 —8．944 —6．153 —14．650 —4．197 —2 —15．696 —16．206 一16．548 一16．372 一12．572 一11．118 —15．909 —4．318 —5 —6．835 —6．871 —6．863 —6．870 —6．631 —6．542 —6．888 2．569 沪深300 1 —5．562 —5．390 一5．947 —5．487 —3．244 一O．524 —6．907 —2．067 0 —7．177 —7．024 —7．587 —7．079 —4．217 —1．178 —7．876 —2．613 —1 —10．915 —10．793 —11．399 —10．809 —6．566 —2．98l 一10．756 —2．883 —2 —14．912 —14．924 —15．875 —14．936 —10．274 —6．817 —12．605 —2．452 —5 —5．219 —5．267 —5．263 —5．229 —5．221 —4．753 —5．160 2．009 综合表3和表4，对于不同的备选模型，特别 是基于收益率的模型，RMSSV均表现出了明显的 优势．具体而言，首先，随机波动率类模型的表现 好于GARCH类模型．Andersen等。刊认为，与 GARCH类模型相比，SV模型更好地反映了潜在 的市场波动率是不可观测这一特征．这可能是 GARCH模型方法与SV模型方法相对较差的原 因．其次，基于极差的RSV和RMSSV模型的表现 好于SV和MSSV模型．例如，对于上证综指而言， RSV和RMSSV模型调整砰为0．5584和0．5802，高 于SV和MSSV模型的0．437 3和0．492 5，也高于 GARCH类模型，而这一结论对其余两个指数也 是成立的．Alizadeh等¨纠采用拟极大似然估计法 比较了基于极差的SV模型与基于收益率的SV模 型的相对优势，而本文扩展了上述结论，在MCMC 估计这一更有效的估计方法上，发现基于极差的 SV模型仍具有显著优势．再次，引入区制转移的 MSSV模型的表现好于SV模型，RMSSV模型好于 RSV模型．这表明对波动率建模引人区制转移的 重要性．最后，与RMSSV模型表现最为接近的是 RSV模型，其中，对于b的不同取值，比较结果并 不一致，这与Patton∞刮引入不同比较准则的动机 是一致的，在不同的比较准则下可能有不同的结 果．但是，对于b的绝大部分取值，RMSSV模型的 表现仍好于RSV模型，特别是与常用的MSE准则 对应的b=0的情况以及在Patton旧刮推荐的与 QUKE准则对应的b=一2的情况下．这一判断与 MZ回归的结果也是一致的，均表明了RMSSV模 万方数据
-90- 管理科学学报 2013年9月 型的比较优势. SV类模型进行了系统比较，论证了RMSSV模型 的优势.而这种优势，可能来源于极差估计量本身的 4结束语 效率，MCMC算法对参数和潜在波动率状态的准确 识别以及引入区制转移对波动率结构变化的刻画。 为考察实证中常见的波动率水平在高、低波 当然，由于篇幅所限，上述比较选取了文献中 动状态之间转换的经验事实，本文将区制转移引 较为有代表性的模型.但由于波动率模型种类非 人到基于极差的SV模型中.随后，给出了基于区 常多，不可能涵盖所有方面，例如，在马尔科夫区 制转移状态空间模型的MCMC算法，并利用模拟 制转移GARCH类模型比较方面，可以参见赵华 证明了上述方法的有效性.在实证部分，选取了中 和蔡建文[3]等的工作，在基于极差的GARCH类 国市场具有代表性的3个指数（上证综指、深圳 模型方面，可以参见Brandt和Jonestso]的工作.而 成指和沪深300指数)的极差数据，对模型进行 将上述模型等在统一框架下进行比较，可以作为 了估计，发现在2007年到2009年间处在高波动率 未来的研究方向.此外，上述比较可以通过样本外 水平区制，这与该期间股市由单边牛市到单边熊 预测、VaR的计算以及在资产组合选择中的应用 市的剧烈转移以及国内外经济金融形势的大幅变 等方式进行，也可以进一步扩展到日内高频数据 动密切相关.最后，采用Patton36]提出的采用已 的研究中，与基于收益率的大量波动率文献相比， 实现波动率作为基准，以稳健损失函数作为判断 基于极差的方法相对较少，也期待有更多的工作 准则的方法，与文献中常用的GARCH类模型和 投入到这一领域中来. 参考文献： [1]Engle R F.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica,1982,50(4):987-1007. [2]Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[].Journal of Econometrics,1986,31(3):307 -327. [3]Taylor S.Modeling Financial Time Series[M].Chichesfer(UK):John Wiley,1986. [4]Heston S L.A closed-form solution for options with stochastic volatility,with applications to bond and currency options[J]. Review of Financial Studies,1993,6(2):327-343. [5]Bates D S.Jumps and stochastic volatility:Exchange rate processes implicit in PHLX Deutschmark options[J].Review of Financial Studies,1996,9(1):69-107. [6]乌画，易传和，杜军，等.基于多元随机波动模型的信用风险衍生定价[J].管理科学学报，2010,13(10)：55 -62. Wu Hua,Yi Chuanhe,Du Jun,et al.Pricing credit risk with multivariate stochastic volatility model[J].Journal of Manage- ment Sciences in China,2010,13(10):55-62.(in Chinese) [7]Andersen T G,Bollerslev T,Diebold FX,et al.The distribution of realized stock return volatility[J].Journal of Financial Economics,.2001,61(1):43-76. [8]Andersen T G,Bollerslev T,Diebold F X,et al.Modeling and forecasting realized volatility[J].Econometrica,2003,71 (2):579-625. [9]Jiang G J,Tian Y S.The model-free implied volatility and its information content[J].Review of Financial Studies,2005, 18(4):1305-1342 [10]Parkinson M.The extreme value method for estimating the variance of the rate of return[J].Journal of Business,1980,53 (1):61-65. 万方数据
一90一 管理科学学报 2013年9月 型的比较优势． 4 结束语 为考察实证中常见的波动率水平在高、低波 动状态之间转换的经验事实，本文将区制转移引 入到基于极差的SV模型中．随后，给出了基于区 制转移状态空间模型的MCMC算法，并利用模拟 证明了上述方法的有效性．在实证部分，选取了中 国市场具有代表性的3个指数(上证综指、深圳 成指和沪深300指数)的极差数据，对模型进行 了估计，发现在2007年到2009年间处在高波动率 水平区制，这与该期间股市由单边牛市到单边熊 市的剧烈转移以及国内外经济金融形势的大幅变 动密切相关．最后，采用Patton旧刮提出的采用已 实现波动率作为基准，以稳健损失函数作为判断 准则的方法，与文献中常用的GARCH类模型和 参考文献： SV类模型进行了系统比较，论证了RMSSV模型 的优势．而这种优势，可能来源于极差估计量本身的 效率，MCMC算法对参数和潜在波动率状态的准确 识别以及引入区制转移对波动率结构变化的刻画． 当然，由于篇幅所限，上述比较选取了文献中 较为有代表性的模型．但由于波动率模型种类非 常多，不可能涵盖所有方面，例如，在马尔科夫区 制转移GARCH类模型比较方面，可以参见赵华 和蔡建文旧川等的工作，在基于极差的GARCH类 模型方面，可以参见Brandt和Jones【5叫的工作．而 将上述模型等在统一框架下进行比较，可以作为 未来的研究方向．此外，上述比较可以通过样本外 预测、VaR的计算以及在资产组合选择中的应用 等方式进行，也可以进一步扩展到日内高频数据 的研究中．与基于收益率的大量波动率文献相比， 基于极差的方法相对较少，也期待有更多的工作 投入到这一领域中来． [1]Engle R F．Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the vaxianee of United Kingdom inflation[J]． Econometriea，1982，50(4)：987—1007． [2]Bollerslev T．Generalized autoregressive conditional hetemskedasticity[J]．Journal of Econometrics，1986，3 1(3)：307 —327． [3]Taylor S．Modeling Financial Time Series[M]．Chiehesfer(UK)：John Wiley，1986． [4]Heston S L．A closed-form solution for options with stochastic volatility，with applications to bond and currency options[J]． Review of Financial Studies，1993，6(2)：327—343． [5]Bates D S．Jumps and stochastic volatility：Exchange rate processes implicit in PHLX Deutschmark options[J]．Review of Financial Studies，1996，9(1)：69—107． [6]乌画，易传和，杜军，等．基于多元随机波动模型的信用风险衍生定价[J]．管理科学学报，2010，13(10)：55 —62． Wu Hua，Yi Chuanhe，Du Jun，et a1．Pricing credit risk with multivariate stochastic volatility model[J]．Joumal of Management Sciences in China，2010，13(10)：55—62．(in Chinese) [7]Andersen T G，Bollerslev T，Diebold F X，et a1．The distribution of realized stock return volatility[J]．Journal of Financial Economics，2001，61(1)：43—76． [8]Andersen T G，Bollerslev T，Diebold F X，et a1．Modeling and forecasting realized volatility[J]．Eeonometriea，2003，71 (2)：579—625． [9]Jiang G J，Tian Y S．The model—free implied volatility and its information content[J]．Review of Financial Studies，2005， 18(4)：1305—1342． [10]Parkinson M．The extreme value method for estimating the variance of the rate of retum[J]．Journal of Business，1980，53 (1)：61—65． 万方数据
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