随机模拟方法读书报告 周逸芃 F12211015122119007 随机模拟方法与应用期末读书报告 2014年7月24日 音乐类型的数学统计 "Instrumentational complexity of music genres and why simplicity sells" 读书报告，原文来自维也纳大学 摘要 原文对音乐的认识主要基于一个明显的观点：音乐是由多样性和一致性构 成的。由于这两个特点的对立性，一首音乐作品一般只追求其中的一个方面 带给人的听觉享受。组成近年唱片数据库的统计分析，作者定义了音乐“复 杂度”这一概念，并以此概念为基础建立了一整套音乐作品分类体系。作者 用其建立的分类模型对近年的音乐唱片数据库进行分析，以求探究当代音乐 发展的规律。原文指出，参与创作的人数与作品中所用的乐器数成正相关、 也与作品的复杂度成正相关。但相反地，总体上来说作品随复杂度下降而销 量上升。 一致性，多样性与复杂度 著名作曲家勋伯格指出：音乐的快感主要来自于两个对立的方面：来自乐 段重复的刺激和音乐多样性的刺激。这就引出了一致性和多样性的概念。一 致性较强的作品配器简单，音乐结构也多遵循固定模式，由于市场导向，流 行音乐的创作常具有此倾向，作品易于被大分听众接受。多样性较强的作 品大多配器复杂，音乐作品结构迥异，旋律、和弦不固定，大多数作品风格 小众，具有实验性和创新性。2013年的销量最佳唱片The20/20 Experi- ence与该年的格莱美音乐奖最佳唱片Random Access Memories是这种分 类的典型范例。前一张唱片来自著名流行(pop)乐歌手Justin Timberlake, 作品有固定的个人套路，发行专辑时间固定，在国际有稳定的受众群；而后 一张唱片来自某法国电子(Ele ctronic)乐组合，该组合的这张专辑经过多年打
随机模拟⽅法读书报告 1 周逸芃 F1221101 5122119007 随机模拟方法与应用 期末读书报告 2014年7月24日 音乐类型的数学统计 “Instrumentational complexity of music genres and why simplicity sells” 读书报告，原⽂来⾃维也纳⼤学 摘要 原文对音乐的认识主要基于一个明显的观点：音乐是由多样性和一致性构 成的。由于这两个特点的对立性，一首音乐作品一般只追求其中的一个方面 带给人的听觉享受。组成近年唱片数据库的统计分析，作者定义了音乐“复 杂度”这一概念，并以此概念为基础建立了一整套音乐作品分类体系。作者 用其建立的分类模型对近年的音乐唱片数据库进行分析，以求探究当代音乐 发展的规律。原文指出，参与创作的人数与作品中所用的乐器数成正相关、 也与作品的复杂度成正相关。但相反地，总体上来说作品随复杂度下降而销 量上升。 一致性，多样性与复杂度 著名作曲家勋伯格指出：音乐的快感主要来自于两个对立的方面：来自乐 段重复的刺激和音乐多样性的刺激。这就引出了一致性和多样性的概念。一 致性较强的作品配器简单，音乐结构也多遵循固定模式，由于市场导向，流 行音乐的创作常具有此倾向，作品易于被大部分听众接受。多样性较强的作 品大多配器复杂，音乐作品结构迥异，旋律、和弦不固定，大多数作品风格 小众，具有实验性和创新性。2013年的销量最佳唱片The 20/20 Experience与该年的格莱美音乐奖最佳唱片Random Access Memories是这种分 类的典型范例。前一张唱片来自著名流行(pop)乐歌手Justin Timberlake， 作品有固定的个人套路，发行专辑时间固定，在国际有稳定的受众群；而后 一张唱片来自某法国电子(Electronic)乐组合，该组合的这张专辑经过多年打
随机模拟方法读书报告 2 磨，音乐的组成成分众多，与一般的电子音乐不同，其属于音乐风格上革命 性的专辑。这两张专辑是上述两种特性的典型代表。有趣的是，提出这种概 念思路的19世纪作曲家勋伯格也是一名在追求古典音乐的多样性的先驱，他 不仅写作了一些著名的无调性音乐，作品旋律对位复杂，多不被当时理解。 其继承发展了19世纪浪漫主义音乐风格，开创了20世纪现代主义音乐的先河。 同时在创作之余，他写作了不少音乐理论著作，总结了他的音乐观点。 在上面两个概念的基础上，我们引入音乐形式复杂度的定义。复杂度与这 种风格的音乐所用的技巧多少和所用技巧的专业性有关。所用音乐技巧越多、 越专业，这种风格的复杂度就越高。一个高复杂度的音乐风格所用的技巧是 大多其他音乐形式不常用的。对于音乐技能和音乐家能力很难量化，但其所 用的乐器还是能从一个侧面反映音乐风格的复杂度的。作者通过对音乐数据 库一部分内容的手工分析，验证了上述音乐复杂度与音乐乐器之间的关系。 统计分析结果 1.音乐的风格与乐器的使用有关 作者构造了矩阵M(t)用来表示风格s、乐器i与时间t的关系。若认定在某 年t,某乐器与某风格s无关，则此点的值为0，否则为1（判别标准见第4部分）。 我们考虑的音乐风格基于如下函数N(s,t)>49,此函数表示只统计t年唱片数不 小于50的风格。 图A-C展示了作者分析的几个结果，图A是音乐风格与所用乐器的关系；B 为音乐风格与乐器在坐标系上的表示，若某种音乐风格采用了某种乐器，坐 标系上其标注为一个黑点，否则为白点；C为五种典型风格与其所用乐器之 间的关系。可以看到，某些乐器是为众多风格所共用的常规乐器，而有些乐 器是特定风格特有的乐器。B、C两图中可以看到，常规乐器种类不多但应用 广泛，非常规乐器在其对应的特定风格中运用，虽然不多见但总数巨大。 对于两种风格的相似度，在时间，我们可以通过计数这两种风格所共有的 乐器数。可以生成一个图，这个图中的点是各种风格，各点连线的权值与连 线两端点对应风格共有的乐器数成正比，为保证整个图的整体性，要将共有 乐器数除以两点各用的乐器数的最大值作为边的权值。我们将得到的图生成 最大生成树，就得到各种风格之间的联系关系，可以整体观察各种音乐风格 间的相似程度。一般来说，生成最大生成树后将所有权值看做1，如果图上两 个风格距离较近，则这两个风格的相似度较高，配图在A、B、C图之后
随机模拟⽅法读书报告 2 磨，音乐的组成成分众多，与一般的电子音乐不同，其属于音乐风格上革命 性的专辑。这两张专辑是上述两种特性的典型代表。有趣的是，提出这种概 念思路的19世纪作曲家勋伯格也是一名在追求古典音乐的多样性的先驱，他 不仅写作了一些著名的无调性音乐，作品旋律对位复杂，多不被当时理解。 其继承发展了19世纪浪漫主义音乐风格，开创了20世纪现代主义音乐的先河。 同时在创作之余，他写作了不少音乐理论著作，总结了他的音乐观点。 在上面两个概念的基础上，我们引入音乐形式复杂度的定义。复杂度与这 种风格的音乐所用的技巧多少和所用技巧的专业性有关。所用音乐技巧越多、 越专业，这种风格的复杂度就越高。一个高复杂度的音乐风格所用的技巧是 大多其他音乐形式不常用的。对于音乐技能和音乐家能力很难量化，但其所 用的乐器还是能从一个侧面反映音乐风格的复杂度的。作者通过对音乐数据 库一部分内容的手工分析，验证了上述音乐复杂度与音乐乐器之间的关系。 统计分析结果 1.音乐的风格与乐器的使用有关 作者构造了矩阵 用来表示风格s、乐器i与时间t的关系。若认定在某 年t,某乐器i与某风格s无关，则此点的值为0，否则为1(判别标准见第4部分)。 我们考虑的音乐风格基于如下函数N(s,t)>49, 此函数表示只统计t年唱片数不 小于50的风格。 图A-C展示了作者分析的几个结果，图A是音乐风格与所用乐器的关系；B 为音乐风格与乐器在坐标系上的表示，若某种音乐风格采用了某种乐器，坐 标系上其标注为一个黑点，否则为白点；C为五种典型风格与其所用乐器之 间的关系。可以看到，某些乐器是为众多风格所共用的常规乐器，而有些乐 器是特定风格特有的乐器。B、C两图中可以看到，常规乐器种类不多但应用 广泛，非常规乐器在其对应的特定风格中运用，虽然不多见但总数巨大。 对于两种风格的相似度，在时间t，我们可以通过计数这两种风格所共有的 乐器数。可以生成一个图，这个图中的点是各种风格，各点连线的权值与连 线两端点对应风格共有的乐器数成正比，为保证整个图的整体性，要将共有 乐器数除以两点各用的乐器数的最大值作为边的权值。我们将得到的图生成 最大生成树，就得到各种风格之间的联系关系，可以整体观察各种音乐风格 间的相似程度。一般来说，生成最大生成树后将所有权值看做1，如果图上两 个风格距离较近，则这两个风格的相似度较高，配图在A、B、C图之后。 Msi(t)
随机模拟方法读书报告 3 由数据结构的知识，最大生成树的生成算法与最小生成树完全类似。可采 用类似Prim算法或Kruskal算法的方式解决，只是在取点/取边的方式与最小 生成树相反，取点/边的中间过程均使生成的树的总权值最大即可。由于这两 种算法的思想都是贪心算法的思想，其在生成树权值总和最大时的情况与权 值总和最小的情况完全类似，这两种算法的正确性易于验证。 C Experimental eO Funk 100 200 Hip Hop Black Meta 300 100200300400 instruments Electonic Folk,World And Country Funk/Soul Hip Hop Latin Non-M Pop 0a
随机模拟⽅法读书报告 3 由数据结构的知识，最大生成树的生成算法与最小生成树完全类似。可采 用类似Prim算法或Kruskal算法的方式解决，只是在取点/取边的方式与最小 生成树相反，取点/边的中间过程均使生成的树的总权值最大即可。由于这两 种算法的思想都是贪心算法的思想，其在生成树权值总和最大时的情况与权 值总和最小的情况完全类似，这两种算法的正确性易于验证
随机模拟方法读书报告 4 2.复杂度的精确定义 前面只指出了音乐复杂度与一致性和多样性的大体关系，下面给出复杂度 的精确定义。 对于某种风格s在某时间t,定义此时的多样性为V(st),为在此时刻此类风 格专辑所使用的总乐器数。此时的一致性U($,)为该种风格使用的乐器在所有 音乐风格中出现的平均次数。 V(s,t)=∑M() U(s,t)=i 由这两个定义推导出复杂度的定义： C(s,t) V(s,t) U(s,t) 通过2004-2010年的数据分析清晰地看出多样性与一致性之间的负相关： 250 Model,m=3 2004-2010 250 ◇Data M 米 200 Model M 200 150 100 150 ● Blues 0 100 200 300 Classical V(s,t) ● Electronic ● Folk,World,Country Funk/Soul Hip Hop 100 ● Jazz ●Latin ● Non-Music ●Pop ●Reggae ● Rock Stage Screen 50 50 100 150 200 250 300 350 Variety V(s,t 图中显示实验(Experimental)风格的多样性相对最高，而一般的hip-hop 和电子乐等风格一致性相对较高
随机模拟⽅法读书报告 4 2.复杂度的精确定义 前面只指出了音乐复杂度与一致性和多样性的大体关系，下面给出复杂度 的精确定义。 对于某种风格s在某时间t，定义此时的多样性为V(s,t), 为在此时刻此类风 格专辑所使用的总乐器数。此时的一致性U(s,t)为该种风格使用的乐器在所有 音乐风格中出现的平均次数。 由这两个定义推导出复杂度的定义: 通过2004-2010年的数据分析清晰地看出多样性与一致性之间的负相关： 图中显示实验(Experimental)风格的多样性相对最高，而一般的hip-hop 和电子乐等风格一致性相对较高
随机模拟方法读书报告 5 3.音乐风格的复杂度变化与其生命周期 我们可以观察某种音乐风格的复杂度变化。很多音乐风格的火热程度随时 间变化很大，这里的典型代表是独立摇滚(Indie Rock).这种音乐风潮是随着 摇滚乐的发展而逐步产生的。在70年代之前，摇滚乐刚刚兴起，独立摇滚更 无从谈起，故其多样性接近0。随着音乐制作的成熟，独立音乐刚刚开始发展， 朋克音乐也引起了一波风潮，到了80年代独立摇滚应运而生，其在统计上的 相对多样性（多样性绝对值与最大值的比）数值也达到了最高峰。90年代，电 子合成器等技术发展，合成器音乐逐渐走上高峰，独立摇滚的热度降低，其 统计上的相对多样性也逐渐降低。当然也有某些变化不大的音乐风格，比如 经久不衰的民谣(FOk)风格，其多样性一直保持在一个稳定的水平没有太大波 动。上述统计结果如下图所示。 ◆Indie Rock●New Wave●Disco ●Synth-pop●Folk 200 t=1969-1975 150 1 260 t=1976-1982 150 100 t=1983-1989 150 20 t=1990-1996 150 1 268 t=1997-2003 150 1 209 t=2004-2010 15 00 0.5 V(s,t)/max(V(s,t))
随机模拟⽅法读书报告 5 3.音乐风格的复杂度变化与其生命周期 我们可以观察某种音乐风格的复杂度变化。很多音乐风格的火热程度随时 间变化很大，这里的典型代表是独立摇滚(Indie Rock). 这种音乐风潮是随着 摇滚乐的发展而逐步产生的。在70年代之前，摇滚乐刚刚兴起，独立摇滚更 无从谈起，故其多样性接近0。随着音乐制作的成熟，独立音乐刚刚开始发展， 朋克音乐也引起了一波风潮，到了80年代独立摇滚应运而生，其在统计上的 相对多样性(多样性绝对值与最大值的比)数值也达到了最高峰。90年代，电 子合成器等技术发展，合成器音乐逐渐走上高峰，独立摇滚的热度降低，其 统计上的相对多样性也逐渐降低。当然也有某些变化不大的音乐风格，比如 经久不衰的民谣(Folk)风格，其多样性一直保持在一个稳定的水平没有太大波 动。上述统计结果如下图所示
随机模拟方法读书报告 6 研究统计表明，随着音乐产业的发展，各种类型的专辑总产量会发生相应 地变化，而这种变化与对应的类型的复杂度呈正相关。当一个音乐类型的复 杂度发生上升，制作这种类型唱片的艺术家有增多的趋势，这种类型的专辑 也相应变多。但另一方面，如果一个音乐类型的专辑销量越高，这种类型就 越有降低复杂度迎合市场的倾向。 4000 3000 2000 1000 0 p=0.54 -1000 p=0.014 B 450000 400000 350000 D 300000 250000 p=-0.69 200000 p=0.001 -0.4-0.2 00.20.40.6 △C(s,t) 4.前述模型的一些补充定义 首先定义两个矩阵，风格-艺术家关系矩阵P(t)和艺术家-乐器关系矩阵Q)。 如果某风格s与某艺术家a有关，则Ps如(t)=1,否则为0。如果某艺术家i与某乐 器有关，则Qs(t)=1,否则为0。由此可定义一个音乐作品模型： 1 if∑nPa()Qai(t)≥m M(m,t)= 0 otherwise
随机模拟⽅法读书报告 6 研究统计表明，随着音乐产业的发展，各种类型的专辑总产量会发生相应 地变化，而这种变化与对应的类型的复杂度呈正相关。当一个音乐类型的复 杂度发生上升，制作这种类型唱片的艺术家有增多的趋势，这种类型的专辑 也相应变多。但另一方面，如果一个音乐类型的专辑销量越高，这种类型就 越有降低复杂度迎合市场的倾向。 4.前述模型的一些补充定义 首先定义两个矩阵，风格-艺术家关系矩阵P(t)和艺术家-乐器关系矩阵Q(t)。 如果某风格s与某艺术家a有关，则Psa(t)=1，否则为0。如果某艺术家i与某乐 器有关，则Qsa(t)=1，否则为0。由此可定义一个音乐作品模型：
随机模拟方法读书报告 个 为定义的阈值，为某风格使用某乐器的艺术家数的下限，表明该风格与 该乐器有关联。对于某种乐器，给定通过计算V(S,t)的平均值u和这些多样性 的平均残差平方和R(m)。我们可以知道m取3时R(m)最小，故若同时有三个 艺术家对某种风格使用某种乐器，在统计上可以认为这种风格和这种乐器有 联系，从而定义了前面的Ms(t)。 10, 10 10 ·h≥50 +h≥1500 10 2 3 4 5 6 8 9 10 m 对于M,我们可以将其每行的元素随机重排成一个新的矩阵M`rand。对 于阈值h=50或1500（这个h定义与第1部分相同，表示考虑一种风格的最小专 辑数)。随机重排的结果如下图所示，U和V依旧呈现出明显的逆相关性，可以 看出该模型的随机生成结果与实际数据统计的吻合度与有关。这里的结果 印证了前面的分析，在=3时此模型的吻合度最好。 Data M Model M h≥50 h≥1500 20c m=1 曾 150 0。 10e 、n m=2 150 106 32 国等年。”w的￥子。 (s)n m=3 15 100 50 ('s)n 26 m=5 ('s)n 20 m=10 150 w.t. 150 200 100150290250300 V(s,t) V(s,t)
随机模拟⽅法读书报告 7 m为定义的阈值，为某风格使用某乐器的艺术家数的下限，表明该风格与 该乐器有关联。对于某种乐器i，给定通过计算V(s,t)的平均值ui和这些多样性 的平均残差平方和R(m)。我们可以知道m取3时R(m)最小，故若同时有三个 艺术家对某种风格使用某种乐器，在统计上可以认为这种风格和这种乐器有 联系，从而定义了前面的 。 对于M，我们可以将其每行的元素随机重排成一个新的矩阵M`rand。对 于阈值h=50或1500(这个h定义与第1部分相同，表示考虑一种风格的最小专 辑数)。随机重排的结果如下图所示，u和v依旧呈现出明显的逆相关性，可以 看出该模型的随机生成结果与实际数据统计的吻合度与m有关。这里的结果 印证了前面的分析，在m=3时此模型的吻合度最好。 Msi(t)
随机模拟方法读书报告 心 小结 奥地利作为音乐王国，这个国家的数学家也富有音乐头脑。原作者对纷繁 复杂的音乐定义了复杂度的概念，将各种音乐做了很好的分类工作，并建立 了一个很有效的模型来模拟现实生活中各种音乐风格。作者用统计的方法指 出了现代唱片工业中典型的一个问题：一种音乐风格被更多的人所接受之后， 会发生相应的改变去迎合市场，降低其音乐上的复杂度，音乐也呈现相似性 和公式化，摇滚乐和电子音乐是其典型代表。而高复杂度的音乐风格多种多 样，虽然可能生命周期有限，但能在其活跃期吸引很多艺术家的创作，这些 音乐风格间差异巨大，比如曾经在八九十年代名噪一时的迪斯科音乐和新浪 潮音乐等。值得注意的是，有极少数音乐能保持高复杂度很长时间，比如所 谓的“民谣摇滚”，这些类型的音乐往往有自己的独到之处：可能是因为本 身类型定义就是其他几种类型的复合，这种类型存在的意义就是为了追求音 乐上的高复杂度，也可能有其他一些特别的原因。 通过整个课程的学习和对期末大作业论文的研究，我对随机模拟这种方法 的应用有了一点浅显的了解，并从一些侧面认识到了随机模拟方法的广泛应 用。人类的想象力无穷无尽，数学的应用在当今时代也变得越来越广泛。在 建立随机模拟模型的过程中，我们不仅需要高超的数学技巧，也需要对被模 拟量有自己深刻的认识。原文中，作者不仅善于建模和使用随机模拟方法， 对各种音乐类型之间关系的理解也十分深刻，可见在应用数学的课题中数学 之外的知识也有相当大的重要性。 老师寥寥数节课给我们非数学专业的同学打开了一个没接触过的有用领域 的大门，学生最后感谢老师一个月来的精彩讲授与悉心指导，我在学习的过 程中收获颇丰
随机模拟⽅法读书报告 8 小结 奥地利作为音乐王国，这个国家的数学家也富有音乐头脑。原作者对纷繁 复杂的音乐定义了复杂度的概念，将各种音乐做了很好的分类工作，并建立 了一个很有效的模型来模拟现实生活中各种音乐风格。作者用统计的方法指 出了现代唱片工业中典型的一个问题：一种音乐风格被更多的人所接受之后， 会发生相应的改变去迎合市场，降低其音乐上的复杂度，音乐也呈现相似性 和公式化，摇滚乐和电子音乐是其典型代表。而高复杂度的音乐风格多种多 样，虽然可能生命周期有限，但能在其活跃期吸引很多艺术家的创作，这些 音乐风格间差异巨大，比如曾经在八九十年代名噪一时的迪斯科音乐和新浪 潮音乐等。值得注意的是，有极少数音乐能保持高复杂度很长时间，比如所 谓的“民谣摇滚”，这些类型的音乐往往有自己的独到之处：可能是因为本 身类型定义就是其他几种类型的复合，这种类型存在的意义就是为了追求音 乐上的高复杂度，也可能有其他一些特别的原因。 通过整个课程的学习和对期末大作业论文的研究，我对随机模拟这种方法 的应用有了一点浅显的了解，并从一些侧面认识到了随机模拟方法的广泛应 用。人类的想象力无穷无尽，数学的应用在当今时代也变得越来越广泛。在 建立随机模拟模型的过程中，我们不仅需要高超的数学技巧，也需要对被模 拟量有自己深刻的认识。原文中，作者不仅善于建模和使用随机模拟方法， 对各种音乐类型之间关系的理解也十分深刻，可见在应用数学的课题中数学 之外的知识也有相当大的重要性。 老师寥寥数节课给我们非数学专业的同学打开了一个没接触过的有用领域 的大门，学生最后感谢老师一个月来的精彩讲授与悉心指导，我在学习的过 程中收获颇丰