第2章谓词逻辑 第2章谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.2谓词公式 2.3谓词演算的等价式与蕴含式 2.4前束范式 2.5谓词逻辑的推理理论 返回总目录
第2章 谓词逻辑 第2章 谓词逻辑 2.1 个体、谓词与量词 2.2 谓词公式 2.3 谓词演算的等价式与蕴含式 2.4 前束范式 2.5 谓词逻辑的推理理论 返回总目录
第2章谓饲逻辑 第2章谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.1.1个体 考察下面的三个原子命题： (1)李玲是优秀共产党员。 (2)张华比李红高。 (3)小高坐在小王和小刘的中间。 上述命题中的李玲、张华、李红、小高、小王、小 刘等客体就是个体。所以可以这样说，个体是指所研究 对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是 独立存在的人或物体，也可以是抽象的概念，如“马列 主义”，“资本主义”等。个体常用小写英文字母或小 写英文字母带下标表示，叫做个体标识符
第2章 谓词逻辑 第2章 谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.1.1个体 考察下面的三个原子命题： ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间。 上述命题中的李玲、张华、李红、小高、小王、小 刘等客体就是个体。所以可以这样说，个体是指所研究 对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是 独立存在的人或物体，也可以是抽象的概念，如“马列 主义” ， “资本主义”等。个体常用小写英文字母或小 写英文字母带下标表示，叫做个体标识符
第2章谓祠逻辑 表示具体或特定个体的标识符称作个体常元，一般用 小写英文字母a、b、c、…或这些英文字母带下标表示。例 如：李玲、张华、李红、小高、小王、小刘可如下表示： a: 李玲 b: 张华 c: 李红 d:小高 e: 小王 f 小刘 a,b,c,d,e,f都是个体常元。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变 元，1 常表示为x、y、2、…等或这些英文字母带下标。 个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以 是有穷集合，也可以是无穷集合，包含任意个体域的个体 域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。 在本书中，如无特别说明，所采用的都是全总个体域
第2章 谓词逻辑 表示具体或特定个体的标识符称作个体常元，一般用 小写英文字母a、b、c、…或这些英文字母带下标表示。例 如：李玲、张华、李红、小高、小王、小刘可如下表示： a：李玲 b：张华 c：李红 d：小高 e：小王 f：小刘 a,b,c,d,e,f都是个体常元。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变 元，常表示为x、y、z、…等或这些英文字母带下标。 个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以 是有穷集合，也可以是无穷集合，包含任意个体域的个体 域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。 在本书中，如无特别说明，所采用的都是全总个体域
第2章谓祠逻辑 2.1.2谓词 在上面的三个原子命题中，()可以分解成为个体“李玲” 和“…是优秀共产党员”两部分。”…是优秀共产党员”是用 来描述个体“李玲”的性质的；(2)可以分解成为个体“张华” “李红”和”…比…高”两部分。”…比…高”是用来描述个 体"张华”和“李红”的身高关系的；(3)可以分解成为个体 “小高”、“小王”、”小刘”和”…坐在…和…的中间”两 部分。 ”…坐在…和…的中间”是用来描述个体“小高”、 ”小王”、“小刘”的位置关系的。这些刻划个体性质或几个 个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做 谓词标识符。 例如可以用F,G,H表示上面三个命题中谓词： F:…是优秀共产党员。 G:…比…高。 H:…坐在…和…的中间
第2章 谓词逻辑 2.1.2谓 词 在上面的三个原子命题中，⑴可以分解成为个体“李玲” 和“…是优秀共产党员”两部分。 “…是优秀共产党员”是用 来描述个体“李玲”的性质的；⑵可以分解成为个体“张华” 、 “李红”和“…比…高”两部分。 “…比…高”是用来描述个 体“张华”和“李红”的身高关系的；⑶可以分解成为个体 “小高” 、 “小王” 、 “小刘”和“…坐在…和…的中间”两 部分。 “…坐在…和…的中间”是用来描述个体“小高” 、 “小王” 、 “小刘”的位置关系的。这些刻划个体性质或几个 个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做 谓词标识符。 例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：…是优秀共产党员。 G：…比…高。 H：…坐在…和…的中间
第2章谓祠逻桶 把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。F是一元谓 词；把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。G是二元谓 词；把与三个个体相关联的谓词叫做三元谓词。H是三元谓 词； …。一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做n元谓词。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F()表示个体常元a 具有性质F;设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表 示个体常元a和b具有关系G;… 于是上面三个命题就表示为： F():李玲是优秀共产党员。 G(b,c):张华比李红高。 Hd,e,):小高坐在小王和小刘的中间。 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓 词填式。F(a,G(b,c),H(d,e,)都是谓词填式。谓词填式表 示的是命题
第2章 谓词逻辑 把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。F是一元谓 词；把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。G是二元谓 词；把与三个个体相关联的谓词叫做三元谓词。H是三元谓 词；…。一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做n元谓词。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体常元a 具有性质F；设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表 示个体常元a和b具有关系G；… 于是上面三个命题就表示为： F(a)：李玲是优秀共产党员。 G(b,c)：张华比李红高。 H(d,e,f)：小高坐在小王和小刘的中间。 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓 词填式。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是谓词填式。谓词填式表 示的是命题
第2章谓祠逻桶 类似的，用Fx)表示个体变元x具有性质F;用G(x,y)表 示个体变元x和y具有关系G;…,用P(x1x2,…xm(n21)表示 个体变元x,x2,…x,具有关系P。如果谓词后面有n个个体变 元，则称为n元命题函数。例如Fx)、G(x,y)小P(x1x2,…xn) 分别叫做一元命题函数、二元命题函数、n元命题函数 (n≥1)。因为命题函数中包含个体变元，因此命题函数没有 确定的真值，它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体 变元，就得到了命题。 例如，用H(x,y):+20,显然此命题函数不是命题，因 为它无法判断真假。令 a:5,b:-7 用a,b分别取代x,y,就得到H(a,b),它表示5+(-7)≥0， 这是个假命题，它的真值为假 。 其实，用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到 的表达式就是前面所说的谓词填式。因为它由个体常元取代 命题函数中所有的个体变元而得到，所以也把谓词填式叫做
第2章 谓词逻辑 类似的，用F(x)表示个体变元x具有性质F；用G(x, y)表 示个体变元x和y具有关系G；…，用P(x1 ,x2 ,…,xn )(n≥1)表示 个体变元x1 , x2 , …,xn具有关系P。如果谓词后面有n个个体变 元，则称为n元命题函数。例如F(x)、G(x，y)、P(x1 ,x2 , …,xn ) 分别叫做一元命题函数、二元命题函数、n元命题函数 (n≥1)。因为命题函数中包含个体变元，因此命题函数没有 确定的真值，它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体 变元，就得到了命题。 例如，用H(x,y)：x+y≥0，显然此命题函数不是命题，因 为它无法判断真假。令 a：5, b：－7 用a,b分别取代x,y，就得到H(a,b)，它表示5+(－7)≥0， 这是个假命题，它的真值为假。 其实，用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到 的表达式就是前面所说的谓词填式。因为它由个体常元取代 命题函数中所有的个体变元而得到，所以也把谓词填式叫做
第2章谓祠逻桶 0元命题函数。F(a),G(b,c),H(d,e,)都是0元命题函数，它 们都是命题。于是命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑 中的0元命题函数（谓词填式），命题成为命题函数的特例。 【例2.1】将下列命题符号化，并讨论它们的真值。 (1)2与3都是偶数。 (2)如果5大于3，则2大于6。 解：(I)设F(x):x是偶数。 a:2,b:3 该命题符号化为：F(a)∧F(b) F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧Fb)为假： (2)设G(x,):x大于y 4:5,b:3,c:2,d6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6， 这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假
第2章 谓词逻辑 0元命题函数。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是0元命题函数，它 们都是命题。于是命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑 中的0元命题函数(谓词填式)，命题成为命题函数的特例。 【例2.1】将下列命题符号化，并讨论它们的真值。 ⑴ 2与3都是偶数。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：⑴ 设F(x)：x是偶数。 a：2，b：3 该命题符号化为： F(a)∧F(b) F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假。 ⑵ 设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6， 这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假
第2章谓祠逻辑 2.1.3量词 量词分两种。 (1)全称量词 日常生活和数学中常用的”一切的”， “所有的” “每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词统称为全称 量词，将它们符号化为“”。并用(x),(y)等表示个体域 里的所有个体，而用（付x)Fx)和(y)Gy)等分别表示个体域中 的所有个体都有性质F和都有性质G。 (2)存在量词 “存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等 词统称为存在量词，将它们符号化为"与”。并用（日x),(y) 等表示个体域里有些个体，而用（日x)F(x)和(y)Gy)等分别表 示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。 全称量词与存在量词统称为量词
第2章 谓词逻辑 2.1.3量词 量词分两种。 ⑴ 全称量词 日常生活和数学中常用的“一切的” ， “所有的” ， “每一个” ， “任意的” ， “凡” ， “都”等词统称为全称 量词，将它们符号化为“”。并用(x)，(y)等表示个体域 里的所有个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中 的所有个体都有性质F和都有性质G。 ⑵ 存在量词 “存在” ， “有一个” ， “有些” ， “至少有一个”等 词统称为存在量词，将它们符号化为“” 。并用(x)，(y) 等表示个体域里有些个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表 示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。 全称量词与存在量词统称为量词
第2章谓祠逻桶 【例2.2】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 (1)凡人要死。 (2)有的人是研究生。 解：(I)令F(x):x要死。 命题"凡人要死。”符号化为：（付x)F(x) (2)令G(x):x是研究生。 命题"有的人是研究生。”符号化为：（臼x)G(x) 在命题函数前加上量词(x)和（仔x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.2中得到验证。 虽然对命题函数中所有命题变元进行量化后，该命题 函数就变成了命题，但所得命题的真值与个体域的选定有 关。请看下列例题：
第2章 谓词逻辑 【例2.2】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 ⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。 解：⑴ 令F (x)：x要死。 命题“凡人要死。 ”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。 ”符号化为：(x)G(x) 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.2中得到验证。 虽然对命题函数中所有命题变元进行量化后，该命题 函数就变成了命题，但所得命题的真值与个体域的选定有 关。请看下列例题：
第2章谓祠逻桶 【例2.3】对下列命题符号化，并在①，②，③三个个 体域中考察命题的真值。 命题：(1)所有数小于5。 (2)至少有一个数小于5。 个体域： ①-1,0,1,2,4 ②3，-2,7,8} ③15,20,247 解：设L(x):x小于5。 (1)"所有数小于5。”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，假，假。 (2)"至少有一个数小于5。”符号化为：（日x)L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，真，假。 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其真值又 与个体域的选定有关，这对命题函数的研究带来了一定的困 难，为了统一，我们今后使用全总个体域。而将其它个体域
第2章 谓词逻辑 【例2.3】对下列命题符号化，并在①，②，③三个个 体域中考察命题的真值。 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。 ”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。 ”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，真，假。 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其真值又 与个体域的选定有关，这对命题函数的研究带来了一定的困 难，为了统一，我们今后使用全总个体域。而将其它个体域