上浒文通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 积分变换 第七章 Fourier变换 1.Fourier积分 大 溷 2.Fourier?变换 Ww 奥 3.广义Fourier?变换 4.Fourier变换的性质 SHAN ERS
积分变换 第七章 Fourier 变换 1. Fourier积分 2. Fourier变换 3. 广义Fourier变换 4. Fourier变换的性质
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY Fourier口▣ ● 176800口▣▣ ● 18070▣▣“000▣ 0▣000000口0 0口00 99 ● 1822☐▣▣“ 0000 66 00000000 99
Fourier生 平 • 1768年 生 于法国 • 1807年提出 “ 任何周期 信号都可用正弦函数的 级数表示 ” • 1822年发表 “ 热的分析 理论 ” ，首次提出 “ 任 何非周期信号都可用正 弦函数的积分表示
上海气通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §1 Fourier积分 1.1 Fourier级数 具有性质f(什T=f(),其中T称作周期 t 最常用的一种周期函数是三角函数 f)=Asin(ot+),其中0F2dT Asin(wi+j)=asinwi+bcoswt. 3
3 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期. 1.1 Fourier 级数 §1 Fourier积分 t 最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(ωt+j), 其中ω=2π/T. Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
上降充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 基本所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列 的三角函数的线性组合来逼近 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
基本所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列 的三角函数的线性组合来逼近. 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSKY 设)以T为周期，称在[-T12,T12]内满足 Dirichlet条件： (1)ft)连续或只有有限个第一类间断点； (2)()至多只有有限个极值点。 第一类间断点
（1）f(t)连续或只有有限个第一类间断点； （2）f(t)至多只有有限个极值点。 Dirichlet条件： 设f(t)以T为周期，称在[-T/2,T/2] 内满足 第一类间断点
上海第，一类间断点和第二类间断点的区别： SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY rw 第二类间断点 第一类间断点 6
6 第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点 第一类间断点
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY Fourier)展开定理： 满足D-条件的周期函数f7(t)可表示为Fourier级数： F((d cosnot+b,sinnot)2/7. 2 n=l 由周期为T的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 Fourier?系数 ()cosnordr (..2.. )sin nord ( 收敛结果 当t是连续点时，级数收敛于 fD); 当t是间断点时，级数收敛于[f(t+0)+∫(t-0)]/2
Fourier展开定理： 满足D-条件的周期函数 可表示为Fourier级数: 0 1 ( ) ( cos sin ) , 2 / . 2 T nn n a f t a nt b nt T ω ωω π +∞ = =+ + = ∑ Fourier系数 f (t) T ( )sin d ( 1,2, ). 2 ( ) cos d ( 0,1,2, ) 2 2 2 2 2 = = = = ∫ ∫ − − f t n t t n T b f t n t t n T a T T T T n T n T ω ω 收敛结果 当t是连续点时，级数收敛于 当t是间断点时，级数收敛于 f (t); T [ f (t + 0) + f (t − 0)]/ 2. T T 由周期为T的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数
上游充通大 基本函数族 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY •组成：1， cos nox. sin nox,n∈Z ·性质：任意两个在一个周期T上的积分等于0， 称为正交性； cos matd1=0,J值sin notdi=0,n,m∈Z,m≠0 0, n≠nm T-27 2 os not cos mot dt n=m 0, n≠n sin not sin mot dt 2 n=m T cosnωt sin mot dt=0,Vn,m∈Z,o=2πT, 2
• 组成： • 性质：任意两个在一个周期T上的积分等于0， 称为正交性； 1, cos , sin , nx nx n ω ω ∈ Ζ 基本函数族 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos d 0, sin d 0, , , 0 0 cos cos , 2 0 sin sin , 2 cos sin 0, , , 2 /T, T T T T T T T T T T m t t n t t nm Z m n m n t m t dt T n m n m n t m t dt T n m n t m t dt n m Z ω ω ω ω ω ω ω ω ω π − − − − − = = ∈≠ ≠ = = ≠ = = =∀ ∈ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ，
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY sin a cosB=sin(a+B)+sin(a-B)] cosasin B=[sin(a+B)-sin(a)] cosa cos=cos(a+B)+cos(a-) sina sin =cos)-cos(a
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY Fourier级数推广 ·问题1：把定义在[-L,L]上的函数f)展开 -方法：先把它延拓为周期函数（即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按上面方法展开； -注意：所得到的级数仅在原定义范围中与)一致。 -延拓前 一延拓后
• 问题 1：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开 – 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按上面方法展开； –注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 –延拓前 – – 延拓后 Fourier级数推广
