上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第十章 分离变量法 §10.1 一维波动方程

上降文通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第十章分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 漏 Wwwm TTTV SHANG 1日

第十章 分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 分离变量法 许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出 现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生 的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的 叠加原理 分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为 驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本 方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发 点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些 简谐振动的叠加)

分离变量法 许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出 现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生 的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的 叠加原理。 分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为 驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本 方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发 点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些 简谐振动的叠加）

上游充更大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 齐次方程 一 维波动方程 非齐次方程 齐次方程 一维热传导方程 非齐次方程 齐次方程 二维Laplace方程 非齐次方程

一维波动方程 齐次方程 非齐次方程 一维热传导方程 二维Laplace方程 齐次方程 非齐次方程 齐次方程 非齐次方程

上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §10.1一维波动方程 1.两端固定的有界弦的自由振动（第一类齐次边界） 4n-a24x=0,t>0,0<x<L 2 (1①) u(0,t)=(L,t)=0, (2) u(x,0)=(x),4,(x,0)=w(x) (3) 其中(x),w(x)为[0，L]上分段可导函数。 首先找到具有变量分离形式的满足方程 (1) 和边界条件(2)的非零特解一得到两个ODE的定 解问题。 函数u(x,)具有变量分离形式，即可表示为 u(x,t)=X(x)T(t) (4)

1.两端固定的有界弦的自由振动(第一类齐次边界) 2 0 (0, ) ( , ) 0 ( ,0) ( ), , 0, 0 (1) , (2) (3) ( ), ( ) [ ( ,0) ( ) 0, ] tt xx t u a u u t t u L t u x x u x x x L x x L                   其中 为 上分段可导函数。 首先找到具有变量分离形式的满足方程 （1） 和边界条件（2）的非零特解—得到两个ODE的定 解问题。 函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即可表示为 u(x,t)  X(x)T(t) (4) (I) §10.1 一维波动方程

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 代入PDE(1)和边界条件(2)得 X(x)T"(t)=a-X"(x)T(t) 即 T"(t) X"(x) a2T(t) (5) X(x) 以及代入边界条件(2)得 X(0)T(t)=X(L)T(t)=0(6) (5)式中，左端是的函数，右端是x的函数，tx不相 关，由此可得只能是常数，记为-九.从而有 X"(x)+兄X(x)=0,00). (8) 定解问题可分离为分别关于X,T的ODE,且边界条件也同样进行分离

代入PDE（1）和边界条件（2）得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( )    即 2 ( ) ( ) (5) ( ) ( ) T t X x a T t X x    以及代入边界条件（2）得 X T t X L T t (0) ( ) ( ) ( ) 0 (6)   (5)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，t, x不相 关，由此可得只能是常数，记为 . 从而有 ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) ) 0 , (7 . X x L X X x x X L             2 T t a T t ( ) ( ) 0    , (t 0). (8)  定解问题可分离为分别关于X, T的ODE,且边界条件也同样进行分离

上游充通大兽 实系数n阶线性ODE求解 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY y(m)+a y1)+...+a-y+an y =0,y=y(x) 由一阶ODE:y'+ay=0→解y=ce4x, 设解都具有这种指数形式y=ce,代入ODE,得到 特征方程：y”+41y”-++an-1y+a,=0 定理：设特征方程共有s个互不相同的根Y2,Y, 重数分别为n,n2,n,n+n2+.+n,=n.则函数组(n个) e,Xe,x2e,,x4eg e,xe,x2e,,x-e;… e xex 是n阶线性ODE的一个基本解组（任意解是这些函数的线性组合）

实系数n阶线性ODE求解 1 ( ) ( 1) ' 1 1 1 1 1 1 y ... 0, ( ). ODE 0 . ODE ... 0 n n n n a x x n n n n a y a y a y y y x y a y a a a                         由一阶 ： 解 y=ce 设解都具有这种指数形式y=ce ，代入 ，得到 特征方程: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 , , ,..., ; , , ,..., ;... , : s ..., , ..., , ... , . ( ) ODE ,. . ( .., s s s s s x x x n x x x x n x x x x n s s x s x x x n n n n n n x x x x n x x                           定理 设特征方程共 e e e 有 个互不相同的根 ， 重数分别为 ， + 则函数组 n个 是n阶线性 的一 e e 个基 e e e e e e 本解组 e 任意解是这些函数的线性组合)

上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 若存在y,=心，+iB为复根，则必共轭成对出现 y,=0-i邛，也为复根，它们重数一样，为n则基本解组中函数 eeai,=e(cos(B,x)+isin(Bx)). eei=e(cos(B,x)-isin(Bx)). 它们控制的基本解组函数为 ecos(Bx).xecos(B x)xecos(B,x).xecos(Bx): e'sin(p,x),xe*sin(B,x),x2esin(Bx),x”-'e*sin(β，x). 是阶线性ODE的一个基本解组（任意解是这些函数的线性组合

j ( +i )x x ( -i )x x x x 2 x = +i = -i . (cos( x) sin( x cos( x), cos( x), )) (cos( x) - s cos( in( x x), )) j j j j j j j j j j j j j j j j j j x j j x j j j j n e e i e e i e xe x e                              若存在 为复根, 则必共轭成对出现 也为复根， 它们重数一样，为 则基本解组中函数 e ， e ， 它们控制的基本解组函数为 1 x x x x 1 x 2 ..., cos( x); sin( x), sin( x), sin( x),..., sin( x) . ODE ( ). j j j j j j j n j n j j j j x e e xe x e x e                 是n阶线性 的一个基本解组 任意解是这些函数的线性组合

上游充更大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (特征)固有问题 X"(x)+九X(x)=0,(0<x<L), (7) X(0)=X(L)=0. 情形(A) λ<0 其通解为X()=Cex+C,e C1+C2=0, 由边界条件，推出 CeFi+Ce i=0 →C =C2=0 只有零解X(x)=0 情形(B) 入=02次积分其通解为 X(x)=C+C2x, 由边界条件，可推出 C1=C2=0 只有零解。 '.u(x,t)=X(x)T(t)≡0

(II) (特征) 固有问题 情形（A） 情形（B）   0   0 其通解为 ( ) , 1 2 x x X x C e C e      由边界条件，推出 0, C1 C2  1  2  0  L   L C e C e   C1  C2  0 只有零解 2次积分其通解为 ( ) , 1 2 X x C C x 由边界条件，可推出 C1  C2  0 只有零解。 X(x)  0    u x t X x T t ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, (0 ), (7) (0) ( ) 0. X x X x x L X X L           

上游充更大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 情形(C) 入>0方程的通解为 X(x)=C cosx+C2 sinx, 由边界条件X(0)=0推出C=0, 再由X(L)=C2sinV元L=0,知道为了使C,≠0， 必须 sin√λL=0. 于是有 √L=kπ，(k=1,2,3,】 (特征)固 入==已 (k=1,2,3,…). 有值 这样就找到了一族非零解 kπ X.(x)=Ck sin (k=1,2,…) (特征)固有函数

情形（C）   0 方程的通解为 ( ) cos sin , 1 2 X x C x C x 由边界条件X(0) = 0推出 0, C1  再由 ( ) sin 0, X L  C2 L  知道为了使 C2  0, 必须 sin L  0. 于是有 这样就找到了一族非零解 (特征)固 有值 (特征)固有函数 2 2 2 , ( 1 2 3 ). k k , , , k L       ( ) sin , ( 1,2, ) k k k X x C x k L      L k   , (k 1,2,3, )

上游充通大 法二：应用L-变换求ODE边值问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY X"(x)+元X(x)=0,0p2F(p)-pX(0)-X'(0)+F(p)=0, 用到（原像）高阶微分性L[f(t)]=F(p): L[fm(]=pF(p)-p-f0)-p-2f'(0)-fa- (0 →X X'(0) p +入

法二：应用L-变换求ODE边值问题   2 : ( ) ( ) , Laplace ( ) (0) '(0) ( ) 0 F p X x p F p pX X F p        像原微分 解 令 L 方程两边取 变换， ， 2 '(0) ( ) X X p p     1 sinh 2 (0) ( ) sinh 2 sinh 2 t t x x t    令       ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) ) 0 , (7 . X x L X X x x X L              ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) n n n n n f t F p f t p F p p f p f f              用到(原像)高阶微分性 L ： L