第六讲Jordon标准形的变换与应用
第六讲 Jordon 标准形的变换与应用 1
一、Jordon标准形变换矩阵的求法 P1AP=J→ AP=PJ 1°将P按J的结构写成列块的形式 P=[BB…P] 个个个 m m2 m, 2
一、 Jordon 标准形变换矩阵的求法 -1 P AP = J → AP PJ = 1° 将 P 按 J 的结构写成列块的形式 [ 1 2 ] 1 2 r r P PP P mm m = ↑↑ ↑ 2
[J →A[BB·P]=[BB…P] J2 J,】 →AP=PJ(i=1,2,r) 2°求解r个矩阵方程AP=PJ,(i=1,2…,r) 3°将r个P合成变换矩阵P=[BP…P,] ★关于方程AP=PJ的求解 P=[PP2·Pm] 3
→ [ ] [ ] 1 2 1 2 r r 1 2 r J J AP P P P P P J = → 1 2 AP PJ ( i , ,r ) i ii = = 2 求解 r 个矩阵方程 1 2 AP PJ ( i , ,r ) i ii = = 3 将 r 个Pi 合成变换矩阵P PP P = [ 1 2 r ] ★ 关于方程 AP PJ i ii = 的求解 1 2 i P PP P i i i im = 3
1 0 A[BnB…P]=[BB…P] 0 AP1=人P →（A-2IP1=0 AP2=P+P2→(A-IP2=P→(A-2IPP2=0 APm=Pm-1+1,Pm→(A-IPm=Pm-1→(A-九I"Pm=0 两种具体做法：（i)按照P,→P2→…→Pm的顺序求解，即先求 出特征向量P,然后由后续方程求出P2、P3、;(ⅱ)先求 4
1 2 1 2 1 0 1 0 i i i i i i im i i im i AP P P P P P λ λ λ = AP P i ii 1 1 = λ → 1 0 i i ( A I )P − = λ AP P P i i ii 21 2 = + λ → ii i 2 1 ( A I )P P − = λ → 2 2 0 i i (A I) P − = λ 1 ii i AP P P im im i im = + − λ → 1 i i i im im ( A I )P P − = λ − → 0 i i m i im (A I) P − = λ 两种具体做法: (ⅰ) 按照PP P i i 1 2 → →→ im的顺序求解，即先求 出特征向量 Pi1 ，然后由后续方程求出 Pi2 、 Pi3 、…；（ⅱ）先求 4
(A-2I)mP=0的解向量P,然后直接得到 Pm-1→Pm-2→…→P1 前一做法由于(A-入I)为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问 题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…， 直至最后一步才能完全确定一些待定系数：而后一做法仅出现一次求 解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶P出现零 向量的问题。 由于P,=(A-I)mPm P2 =(A-A1)2Pm
0 i i m i im (A I) P − = λ 的解向量 i Pim ，然后直接得到 12 1 i i PP P im im − − → →→ i 前一做法由于 i (A I) − λ 为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问 题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…， 直至最后一步才能完全确定一些待定系数；而后一做法仅出现一次求 解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶 i Pim 出现零 向量的问题。 由于 1 1 i i m P (A I) P i i im − = − λ 2 2 i i m P (A I) P i i im − = − λ 5
Pm =(A-A1)Pm 故Pm应满足：(A-元I"Pm=0但A-,Im-Pm≠0 同一特征值可能出现在不同的Jordan块中，对于这种情况，按各 Jordan块阶数高低依次进行处理，高阶先处理，低阶后处理，同阶同时 处理。 (1)最高阶（没有属于同一特征值的Jordan块同阶）可按下述方法求出 Pm,即使(A-I"x=0但(A-I)m-x≠0的x作为Pm。 然后由方程P-y=(A-九，I)P,依次求出Pm,Pm…,直至P (2)对于较低阶的Jordan块，它的P不仅要考虑到满足 (A-2I)%x=0但(A-2Imx≠0， 6
i i 1 P ( A I )P im − = − λi im 故 i Pim 应满足： 0 i i m i im (A I) P − = λ 但 1 0 i i m i im (A I) P− − ≠ λ 同一特征值可能出现在不同的 Jordan 块中，对于这种情况，按各 Jordan 块阶数高低依次进行处理，高阶先处理，低阶后处理，同阶同时 处理。 (1)最高阶（没有属于同一特征值的 Jordan 块同阶）可按下述方法求出 i Pim ，即使 0 mi i (A I) x − = λ 但 1 0 mi i (A I) x − − ≠ λ 的 x作为 i Pim 。 然后由方程P ( A I )P i( j ) −1 = − λi j依次求出 i i 1 2 P ,P , , im im − − 直至Pi1 (2) 对于较低阶的 Jordan 块，它的 i Pim 不仅要考虑到满足 0 mi i (A I) x − = λ 但 1 0 mi i (A I) x − − ≠ λ ， 6
而且还应与前述P,线性无关。 (3)其它属于同一特征值的Jordan块处理时，按照(2)的原则处理即可。 (4)出现多个属于同一特征值的Jordan块同阶时，还应考虑线性无关问 题。 7
而且还应与前述Pij线性无关。 (3)其它属于同一特征值的 Jordan 块处理时，按照（2）的原则处理即可。 (4)出现多个属于同一特征值的 Jordan 块同阶时，还应考虑线性无关问 题。 7
「2 10-1-1 0 1200-1 1 -1 -141 0 1 例：求A= 的Jordan标准形及其变换矩阵。 0 -1 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 1 0 -1 3 [解]：上一讲已求出其Jordan标准形，也可按如下方法求得。 (2I-A)可采用初等变换化为 8
例：求 2 10 1 10 1 200 11 1 14 1 0 1 0 10 3 1 0 0 000 4 0 1 000 13 A − − − − − − = − − 的Jordan标准形及其变换矩阵。 [解]：上一讲已求出其 Jordan 标准形，也可按如下方法求得。 (λI A − )可采用初等变换化为 8
1 0 1 (元-2) 0 (2-2)}2(2-4)3 按此得出Jordon标准形 9
2 3 1 0 1 1 1 2 0 2 4 ( ) ( )( ) − − − λ λ λ 按此得出 Jordon 标准形 9
「2 07 21 2 41 41 4 同时可见dt2I-A)=(九-2)3（九-4）3，即2=2与λ=4均为三重 特征值。 下面求变换矩阵P (1)乙=4的Jordon矩阵仅有一块，m,=3 10
2 0 2 1 2 4 1 4 1 0 4 同时可见 3 3 det( I A) ( ) ( ) λ λλ −=− − 2 4 ,即 λ λ = = 2 4 与 均为三重 特征值。 下面求变换矩阵 P （1） 3 λ = 4的 Jordon 矩阵仅有一块， 3 m = 3 10
