第五讲对角化与Jordan标准形
第五讲 对角化与 Jordan 标准形 1
一、正规矩阵 1.实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵：实矩阵A AT=A 厄米矩阵：复矩阵AAH=A 实反对称矩阵：实矩阵AAT=一A 反厄米矩阵：复矩阵AAH=一A 2.正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵A ATA=AAT=I (A1=A) 酉矩阵：复矩阵AAHA=AAH=I (A-1=4H) 3.正交相似变换和酉相似变换 2
一、正规矩阵 1. 实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵：实矩阵 A T A A = 厄米矩阵：复矩阵 A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵 A T A A = − 反厄米矩阵：复矩阵 A H A A = − 2. 正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵 A T T A A AA I = = （ 1 T A A − = ） 酉矩阵：复矩阵 A H H A A AA I = = （ 1 H A A − = ） 3. 正交相似变换和酉相似变换 2
P为正交矩阵，A为实矩阵，PAP为对A的正交相似变换： P为酉矩阵，A为复矩阵，P-AP为对A的酉相似变换。 4.正规矩阵 实矩阵A,若满足ATA=AAT,则A为实正规矩阵： 复矩阵A,若满足AHA=AAH,则A为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵： 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5.相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。 3
P为正交矩阵， A为实矩阵， 1 P AP − 为对 A的正交相似变换； P为酉矩阵， A为复矩阵， 1 P AP − 为对 A的酉相似变换。 4. 正规矩阵 实矩阵 A，若满足 T T A A AA = ，则 A为实正规矩阵； 复矩阵 A，若满足 H H A A AA = ，则 A为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。 3
det(AI-P-AP)=det[P-(AI-A)P] =det(P)det(AI-4)det(P) det(P-)det(P)det(AI-4) =det(λI-A) det(4B)=det(4)det(B)) 二、酉对角化 1.Schur引理：设数2，乙，…，2n是n阶方阵A的特征值，则存在酉矩阵 U,使 4
1 1 1 1 det( ) det[ ( ) ] det( )det( )det( ) det( )det( )det( ) det( ) I P AP P I A P P IA P P P IA I A − − − − −= − = − = − = − λ λ λ λ λ （det( ) det( )det( ) AB A B = ） 二、酉对角化 1. Schur 引理：设数 1 2 ,,, λλ λ n是n阶方阵 A的特征值，则存在酉矩阵 U ，使 4
米 UAU= m 0 m】 [证明]设x是A的属于特征值入的特征向量，即Ax=入x, w=j 并由其扩充为一组标准正交向量4,42，…，m u 0i≠j 令U。=[442…4n],U为酉矩阵
1 1 2 0 n U AU λ λ λ − ∗ = [证明] 设 1 x 是 A的属于特征值λ1的特征向量，即 Ax x 1 11 = λ ， 1 1 1 x u x = ，并由其扩充为一组标准正交向量 1 2 ,,, n uu u H 0 1 i j i j u u i j ≠ = = 令U uu u 0 12 = [ n ]，U0为酉矩阵 5
H H H 1414u2 …un H H H U"U。= [4…n] =In 412…44n 对A进行酉相似变换： 4 UNAU= A[4h2…4n]=(gAu) 6
[ ] 1 11 12 1 2 21 22 2 0 0 1 2 1 2 H HH H n H HH H H n n n H HH H n n n nn u uu uu uu u uu uu uu UU uu u I u uu uu uu = = = 对 A进行酉相似变换： [ ] 1 2 0 0 1 2 ( ) H H H H n i j nn H n u u U AU A u u u u Au u × = = 6
i≠1 第一列：4A叫=4元4=元44=2 i=1 * … .H HAun (4)n-1n-)= A[44…4]= A…A, un 7
第一列： HH H 1 11 1 1 1 0 1 1 ii i i u Au u u u u i ≠ = = = = λ λ λ 0 0 1 ( 1) ( 1) 0 ( ) 0 H n n U AU A λ −× − ∗ = [ ] 2 22 2 3 1 ( 1)( 1) 2 3 2 ( ) H H H H n n n n H H n n n H n u u Au u u u A Au u u u Au u u u − − = = A A 7
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于A,其特征值为入2，…，入n, 与上相同，可得一个酉矩阵U,使得 米 0 URAU= (4a-2n-a 10 依次类推，分别可找到西矩阵U2,U3,…,Un2使 8
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A1，其特征值为 2 , , λ λ n， 与上相同，可得一个酉矩阵U1，使得 2 1 11 2 ( 2) ( 2) 0 ( ) 0 H n n U AU A λ −×− ∗ = 依次类推，分别可找到酉矩阵 23 2 , ,, UU U n− 使 8
米 0 U"AU2 . (4,)n-3m-3 10 : =b60[e] 9
3 2 22 3 ( 3) ( 3) 0 ( ) 0 H n n U AU A λ −×− ∗ = H 1 22 2 0n nn n n U AU − −− − ∗ = λ λ 令 2 2 0 1 2 2 10 0 0 0 0 0n n I I U U U U U − − = 9
U是酉矩阵，UU=I UHAU=? waw-g0ab。] 4-[百 b 63 A 10
U 是酉矩阵， H UU I = H U AU = ? 2 2 0 0 2 2 1 1 0 0 1 0 10 0 0 0 0 H H n n H H n n I I U AU U AU U U U U − − − − = H 1 0 0 1 0 U AU A ∗ = λ 1 1 1 H H 2 1 1 1 1 11 2 * * 1 0 10 0 * 0 00 0 0 0 U A U U AU A ∗ ∗ = = λ λ λ λ 10
