第四章 级数 By 付小宁
第四章 级 数 By 付小宁
第一节复数项级数 一、复数列的极限 1.定义设{an}(n=1,2,)为一复数列其中 an=an+bn,又设a=a+ib为一确定的复数 如果任意给定ε>0，相应地都能找到一个数 N(e),使an-aN时成立， 复数列收敛等同于极限存在 那末a称为复数列{an}当n→oo时的极限 记作lima=a. 也称复数列{必n}收敛于a. n→co
一、复数列的极限 1.定义 如果任意给定 0,相应地都能找到一个正数 N( ), 使 在 n N 时成立, n − 那末 称为复数列{ }当n → 时的极限, n 记作 lim = . → n n 也称复数列{ n }收敛于. 设{ } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n = a + ib 又设 = a + ib为一确定的复数, 第一节 复数项级数 复 数 列 收 敛 等 同 于 极 限 存 在
2.复数列收敛的条件 复数列{an}(n=1,2,)收敛于x的充要条件是 lima,a, limb =b. n→oo n->co 证 如果iman=a,那末对于任意给定的&>0 n->oo 就能找到一个正数N当n>N时， (an +ibn)-(a+ib)<E
2.复数列收敛的条件 复数列{ }(n = 1,2, )收敛于 的充要条件是 n lima a, limb b . n n n n = = → → lim = , → n n 如果 那末对于任意给定的 0 就能找到一个正数N, 当n N 时, (a + ib ) − (a + ib) , n n 证
从而有an-4≤(an-a)+i(bn-b)co 反之，如果四a=a,imb。=6, 那末当m>N时，a。-a<6,一<
a − a (a − a) + i(b − b) , 从而有 n n n lima a. n n = → 所以 limb b. n n = → 同理 . 2 , 2 an − a bn − b 反之, 如果 lima a, limb b, n n n n = = → → 那末当n N 时
从而有&m-a=(an+bn)-(a+b) =(an -a)+i(b,-b) ≤an-a+bn-b<8, 所以iman=ax. [证毕] 1→0∞ 定理一说明：可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性
从而有 (a ib ) (a ib) n − = n + n − + (a a) i(b b) = n − + n − 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim =. → n n 所以 [证毕] a − a + b − b , n n
二、级数的概念 1.定义设2}={a,+,}n=l,2为复数列， 表达式 ∑an=a1+a2++an+… n=I 称为复数项无穷级数. 部分和其最前面n项的和 Sn=必1+2+…+Cn称为级数的部分和
二、级数的概念 1.定义 { } { } ( 1, 2, ) , n n n 设 = + = a ib n 为一复数列 = + ++ + = n n n 1 2 1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s =1 + 2 ++ 称为级数的部分和. 部分和
收敛与发散 如果部分和数列s,}收敛，那末级数∑收敛， n=1 并且极限imsn=s称为级数的和 1>o∞ 如果部分和数列{5}不收敛 那末级数∑a心n发散 n=1 说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是：利用极限lim s=s. n→co
收敛与发散 如果部分和数列{ }收敛, n s , 1 那末级数 收敛 n= n 并且极限lim s s 称为级数的和. n n = → 说明: lim s s. n n = → 利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列{ }不收敛, n s . 1 那末级数 发散 n= n
例如，级数∑z”: n=0 5。=1+z+z2++z1=1-z (?≠1)， 1-z 1-z" 1 由于当z<1时，lim s=lim n→o0 n-→oo 1-z1-z’ 所以当z<1时级数收敛
, : 0 n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z 1时, ( 1), 1 1 − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z 1时级数收敛
2.复数项级数收敛的条件 定理二级数 ∑an=∑(an+ib)收敛的充要条件 n=1 =1 ∑4，和∑.都收敛 证 因为Sn=&1+C2+…+Cm =(a1+a2+…+4n)+i(b1+b2+…+bn) =On+itn
2.复数项级数收敛的条件 证 因为 n n s =1 + 2 ++ ( ) ( ) 1 2 n b1 b2 bn = a + a ++ a + i + ++ , n n = + i ( ) 1 1 级 数 收敛的充要条件 = = = + n n n n n a ib. 1 1 和 都收敛 = = n n n an b 定理二
根据{S}极限存在的充要条件： {on}和{zn}的极限存在 复数项级数的审敛问题 于是级数∑n和∑bn都收敛. (定理二) n=1 n=1 实数项级数的审敛问题 判断级数 ∑(1+是否收敛？ 因为24，=21发散6，=公收敛. n=1 所以原级数发散
. 1 1 = = n n n 于是级数 an 和 b 都收敛 根据{ }极限存在的充要条件: n s { }和{ }的极限存在, n n 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理二) (1 ) 1 1 级数 是否收敛？ = + n n i n ; 1 1 1 因为 发散 = = = n n n n a . 1 1 2 1 收敛 = = = n n n n b 所以原级数发散. 判断