君 上降充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第四章级数 §4.2解析函数的Taylora级数展开 TTWWA SHANG 1日g日
第四章 级数 § 4.2 解析函数的Taylor级数展开
上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 4.2.1 Taylor定理 设函数fz)在圆盘Uz-KR内解析， 那么在U内， f(2)=必+(2-20)+.+0n(z-20)”+ &-2iGg龙=u12 n! C:z-2=p>0,p<R。且展式唯一。 注：此幂级数展式称为z)在2o的Taylor展式
01 0 0 ( ) 0 1 0 0 ( ) ( ) ... ( ) ... 1 () ( ) ,( 0,1, 2,...), 2() ! C| | 0 R n n n n n C fz z z z z f f z d n iz n z z αα α ζ α ζ π ζ ρ ρ + = + − ++ − + = = = − − = > ∀< ∫ ， ： ， 。且展式唯一。 设函数 f(z) 在圆盘 内解析， 那么在U内， U :| z − z0 |< R 注：此幂级数展式称为f(z)在 的Taylor展式。 4.2.1 Taylor定理 0 z
明，由Cauchy积分公式 ad,1-Ng水R z-20 → =9<1,5∈C. 20 1 1 → -Z 5-20-(2-20) 1 二 1 Zo 1、 2-20 怎器 5-20
证明：由Cauchy积分公式 0 0 1 () ( ) , ,| || | , 2 C f f z d z U z z z R i z ζ ζ ζ π ζ = ∀∈ − < − < − ∫ 1, . 0 0 q C z z z = < ∈ − − ⇒ ζ ζ ∑ +∞ = + − − = − − − ⋅ − = − − − = − ⇒ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 n n n z z z z z z z z z z z ζ ζ ζ ζ ζ
上游充通大学 的级数收敛。把展式代入积分，利用解析 函数的高阶导公式， e-空aiG} =00+0C(z-20)+.+0n(z-20)”+.… 2alegc n! 由于z是U内任意一点，则在U内展式成立。 证唯一性用反证法，利用解析函数的高 阶导唯一，可证展式的系数唯一。#
1 0 0 01 0 0 1 () ( ) , 2() ( ) ... ( ) ... n C n n n f f z d i z zz zz ζ ζ π ζ αα α +∞ + = = − = + − ++ − + ∑ ∫ ( ) 0 1 0 1 () ( ). 2() ! n n n C f f z d iz n ζ α ζ π ζ + = = − ∫ 由于z是U内任意一点，则在U内展式成立。 上式的级数收敛。把展式代入积分，利用解析 函数的高阶导公式, 证唯一性用反证法，利用解析函数的高 阶导唯一，可证展式的系数唯一。#
上浒充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIYERSITY 综合幂级数的性质（和函数在收敛圆内 解析)，可得一个函数解析的另一个刻画： 推论1：函数f孔z)在一点z解析的充要条件： 它在z的某邻域内可展为z-z,的幂级数。 推论2：幂级数的和函数z)在其收敛圆周 z-2=”上至少有一个奇点. f(z)在z的Taylor展式（级数）的收敛半径 =离z最近的奇点与z之间的距离
推论1： 函数f(z)在一点z0解析的充要条件： 它在z0的某邻域内可展为 的幂级数。 综合幂级数的性质（和函数在收敛圆内 解析），可得一个函数解析的另一个刻画： | z − z |= r 0 0 z − z 推论2：幂级数的和函数f(z)在其收敛圆周 上至少有一个奇点. . ( ) Taylor 0 0 0 离 最近的奇点与 之间的距离 在 的 展式（级数）的收敛半径 z z f z z =
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 解析的等价条件 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析 →(1)f(z)在区域D内可导： 一(2)u,V在区域D内可微，并满足C-R条件； 一(3)u,V在区域D内存在连续一阶偏导，并满足C-R条件； 一(4)在区域D内v是u的共轭调和函数； →(5)f(z)在区域D内可Taylor展开. 台(6)f(z)在区域D内连续且积分与路径无关， 这里D是单连通的。一一Morera定理
( ) u(x, y) iv(x, y) D 1 () D 2 u,v D C R 3 u,v D C R 4 Dvu 5 ( ) D Taylor f z f z f z = + ⇔ ⇔ − ⇔ − ⇔ ⇔ 函数 在区域 内解析 （ ） 在区域 内可导； （ ） 在区域 内可微，并满足 条件； （ ） 在区域 内存在连续一阶偏导，并满足 条件； （ ）在区域 内 是 的共轭调和函数； （ ） 在区域 内可 展开. 解析的等价条件 More 6 () D D ra ⇔（ ）f z 在区域 内连续且积分与路径无关， 这里 是单连通的。—— 定理
上4鱼.2函数展为Taylor级数的方法 SHANGHAI JIAO TONG UNVERSH f(z)=>x(z-20)” 直接法：由Taylor定理直接计算 a, f” n! 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的 运算与性质。主要有： (1)利用几何级数、已知级数作代换或四则侧运算； (2)逐项求导、逐项积分； (3)幂级数相乘
4.2.2 函数展为Taylor级数的方法 . ! ( )0 ( ) n f z n 直接法：由Taylor定理直接计算 α n = 间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的 运算与性质。主要有： (1) 利用几何级数、已知级数作代换或四则运算； (2) 逐项求导、逐项积分； (3) 幂级数相乘. 0 () ( )n n fz z z = − ∑ α
上游充通大学 一些基本展式 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1 ∑z”,1zk1. n=0 1+z =∑(-10z,zk1. n=0 1 e2=1+z+ 2！ n! sinz= e-- 2n+1 2n 1 +4+(- (2n)1 十… 2
一些基本展式 ( 1) , | | 1. 1 1 , | | 1. 1 1 0 0 = − < + = < − ∑ ∑ ∞ = ∞ = z z z z z z n n n n n 1 1 2 1 ... ...| z | . 2! ! z n e zz z n = + + + + + < +∞ 2 1 0 2 4 2 1 ( 1) sin ( ) . 2 (2 1)! cos 1 ( 1) . 2! 4! (2 )! n iz iz n n n n z ee z i n zz z z n ∞ − + = − = −= + = − + − +− + ∑
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：求e在z=0的Taylor展式。 解：用直接展开法，由于 (e)'=e 所以 (e)ml-0=1 因此 1 e =1+z+ 22+.+ 十… 2 n! 因为e2在复平面内处处解析，上式在复 平面内处处成立，收敛半径为o
例：求 在z=0的Taylor展式。 z e 解：用直接展开法，由于 z z (e )'= e 所以 ( ) | 1 0 ( ) z= = z n e 因此 ... ! 1 ... 2! 1 1 2 = + + + + + z n z n e z z 因为 在复平面内处处解析, 上式在复 平面内处处成立, 收敛半径为∞. z e
上游充通大 1 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：f(2)=2子-2z+2 在z=0解析， 可展成f(z)=∑cnz”,求cn及收敛半径。 n=0 1 2i 1+i 1- z 1-i 1 1+i 1-i j+,订 2i ++ ""lak
2 0 1 ( ) 0 2 2 () , n n n n f z z z z f z cz c ∞ = = = − + = ∑ 在 解析， 可展成 求 及收敛半径。 例: 0 0 1 1 0 11 1 21 1 1 1 1 11 .|| 2 2 (1 ) (1 ) n n n n n n n n z z ii i i i z z i i i ∞ ∞ = = ∞ + + = =− + ++−− =− + < + − ∑ ∑ ∑ 2 1 11 1 ( ) 2 2 2 (1 ) (1 ) 11 1 1 1 21 1 1 1 1 1 f z z z iz i z i ii i z z i i = = − − + −+ −− =− ⋅ + ⋅ + − − − + − 解：
