第五章 留数 By 付小宁
第五章 留 数 By 付小宁
第一节孤立奇点 一、孤立奇点的概念 定义如果函数f(?)在，不解析，但f(z)在0 的某一去心邻域0<z一zo<δ内处处解析，则称 zo为f(z)的孤立奇点 例1z=0是函数e,sinz: 的孤立奇点. z=-1是函数 +1 的孤立奇点
一、孤立奇点的概念 定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域 − 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 第一节 孤立奇点
例2指出函数f(?)= 1在点z=0的奇点特性. sin 解函数的奇点为 7=0,7= (k=±1，±2，…) 因为lim =0: k饥 k→ok元 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(?) 的奇点存在，所以？=0不是孤立奇点. 函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点. 函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点
孤立奇点的分类 依据f(?)在其孤立奇点z的去心邻域 0<z-o<δ内的洛朗级数的情况分为三类： 1.可去奇点； 2.极点； 3.本性奇点 1.可去奇点 1)定义如果洛朗级数中不含？一，的负幂项， 那末孤立奇点称为f()的可去奇点
孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域 − 0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那末孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义
说明：(1)z若是f(z)的孤立奇点 f(z)=c+c(z-z)+…+cn(z-z0)”+… (0<z-z<δ) 其和函数F(z)为在解析的函数， (2)无论f(z)在x是否有定义，补充定义 f(o)=c,则函数f(z)在解析. f(z)=limf(z） F(z),z≠0 7→z0 f)={c,2=0
其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数. = = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0 z − z ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析
2)可去奇点的判定 ()由定义判断：如果f(?)在z。的洛朗级数无负 幂项则z为f(z)的可去奇点. (2)判断极限mf(2):若极限存在且为有限值， →Z0 则为f(z)的可去奇点
2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 如果 f (z) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 判断极限 lim ( ): 0 f z z→z 若极限存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z) 的可去奇点
例3 sin=1- +54-…中不含负幂项 3! z=0是 sin 的可去奇点. 7 如果补充定义： 乙=0时， sin =1, 7 那末sinz 在z=0解析
如果补充定义: z = 0 时, 1, sin = z z 那末 z sin z 在 z = 0 解析. 例3 = − 2 + 4 − 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z = 0 是 z sin z 的可去奇点
例4说明z=0为e-1 的可去奇点 解 e-1-10 -0+z+22++2+-0 1 2 2+t21+,00 z→0 所以z=0为 e-1 的可去奇点 Z
例4 说明 z = 0 为 z e z −1 的可去奇点. 解 = − z e z 1 , ! 1 2! 1 1 = + ++ z n−1 + n z 0 z + 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 无负幂项 另解 z z z z e z e 0 0 lim 1 lim → → = − 因为 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 + + ++ +− n z n z z z = 1
2.极点 1)定义如果洛朗级数中只有有限多个z-z的 负幂项，其中关于（亿一）尸的最高幂为(z-)", 即f)=Cm(亿-)"+…+c-(亿-)广2+c(亿-) +Co+C(z-zo)+.(m≥1，cm≠0) 或写成 f(z)= 那末孤立奇点z称为函数f(z)的m级极点
2. 极点 1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − f z = c z − z + + c z − z + c z − z m m ( 1, 0) −m + + ( − ) + m c 0 1 0 c c z z ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 其中关于 的最高幂为 − 即 那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点. 或写成 1) 定义 0 如果洛朗级数中只有有限多个 z − z 的 负幂项
说明：(1) g(2)=C-m+C-m+1(?-z0)+Cm+2(Z-乙0)2+… 特点：1.在z-zo<δ内是解析函数 2.g(z)≠0 (2)如果为函数f(z)的极点，则 lim f()=co. Z→z0 3z+2 例5有理分式函数f(3)=a+2) 乙=0是二级极点，乙=-2是一级极点
说明: g(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + c−m+2 (z − z0 ) 2 + 1. 在z − z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 特点: (1) (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则 lim ( ) . 0 = → f z z z 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 + + = z z z f z z = 0是二级极点, z = −2 是一级极点