第十六讲广义逆应用 1
第十六讲 广义逆应用 1
一、矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 定理1.矩阵方程AXB=D相容（有解）的充要条件：AA四DB四B=D 在相容情况下矩阵方程的通解为： {ADBu+Y-AAYBB Y为阶数合适的任意矩阵} [证明]相容性条件的充分性： 己知AADDBDB=D,显然有解X=ADB四 相容性条件的必要性：己知AXB=D有解，设某个解为X,即 D=AXB=AADAXBBOB=AADDBB 现在证明通解：“通解”有两个含义：（1)解集合中的任何元素为 方程的解；(2)方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 2
一、 矩阵方程AXB D= 的相容性条件及通解 定理 1. 矩阵方程AXB D= 相容（有解）的充要条件： (1) (1) AA DB B D= 在相容情况下矩阵方程的通解为： { } (1) (1) (1) (1) A DB Y A AYBB | Y + − 为阶数合适的任意矩阵 [证明] 相容性条件的充分性： 已知 (1) (1) AA DB B D= ，显然有解 (1) (1) X A DB = 相容性条件的必要性：已知AXB D= 有解，设某个解为X，即 (1) (1) (1) (1) D AXB AA AXBB B AA DB B = = = 现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为 方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。 2
(1)令X=ADBD+Y-AAYBBO),代入AXB=D AXB=D+AYB-AYB=D ·.集合中的元素为方程的解 (2)设X为方程的解，即AXB=D X=ADDB()+X-A(DDB()=A(DDB()+X-A(DAXBB(1) 对应于集合中Y=X的情况。 [得证] 由上述证明可见：(1)通解中两个A山及两个B完全可以不同。 (2)通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。 推论1.线性方程组Ax=b有解的充要条件为：AAb=b 3
（1）令 (1) (1) (1) (1) X A DB Y A AYBB = +− ，代入AXB D= AXB D AYB AYB D =+ − = ∴ 集合中的元素为方程的解 （2）设X为方程的解，即AXB D= (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) X A DB X A DB A DB X A AXBB = +− = +− 对应于集合中Y X= 的情况。 [得证] 由上述证明可见：（1）通解中两个 (1) A 及两个 (1) B 完全可以不同。 （2）通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。 推论 1. 线性方程组Ax b = 有解的充要条件为： (1) AA b b = 3
且通解为{Ab+(L-AA)yIy为列向量} 推论2.A{I(AXA=A的解)为如下集合： (AOAA+Y-AOAYAAO (四个A可互不相同) 二、极小范数解 在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。 引理1.方程Ax=b若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数）， 且该解在R(A)中。 [证明]设x是方程Ax=b的解，可将其分解为x=x,+y,其中 x∈R(AH)=NH(A)→x⊥N(A),y∈N(A) 4
且通解为{ } (1) (1) A b (I A A)y | y + −n 为列向量 推论 2. A 1{ } (AXA A ) = 的解 为如下集合： { } (1) (1) (1) (1) A AA Y A AYAA + − （四个 (1) A 可互不相同） 二、 极小范数解 在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研 究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。 引理 1. 方程Ax b = 若有解，则必存在唯一的极小范数解（对 2-范数）， 且该解在 H R(A )中。 [证明] 设x是方程Ax b = 的解，可将其分解为 0 xx y = + ，其中 H 0 x R(A ) N (A) ⊥ ∈ = → 0 x N(A) ⊥ ，y N(A) ∈ 4
x xo+y =(xo+y)"(xo+y)=xxo+y"y =xo+y2 xo Ax=Axo+Ay=Axo+0=Axo=b 即：x,也是方程的解，也就是R(AH)中存在Ax=b的解。 假设R(AH)中存在方程Ax=b的两个解x,和x2,即Ax,=Ax2=b →Ax1-Ax2=0-→(X1-x2)∈N(A)同时(X1-X2)∈N(A) (K1-x2)eN(A)nN-(A)={0} X1=X2 也就是说在R(AH)中方程Ax=b只有唯一的解（若方程有解） 方程的任何其它解的2-范数均大于x,的2-范数 x。是极小范数解 [得证] 5
2 2 H HH 22 2 2 2 0 0 0 00 0 22 2 0 x x y (x y) (x y) x x y y x y x = + = + += + = + ≥ 而Ax Ax Ay Ax 0 Ax b = + = += = 0 00 即： 0 x 也是方程的解，也就是 H R(A )中存在Ax b = 的解。 假设 H R(A )中存在方程Ax b = 的两个解 1 x 和 2 x ，即Ax Ax b 1 2 = = → Ax Ax 0 (x x ) N(A) 1 2 12 − =→ − ∈ 同时 1 2 (x x ) N (A) ⊥ − ∈ ∴ (x x ) N(A) N (A) 0 1 2 { } ⊥ −∈ = ∴ 1 x ＝ 2 x 也就是说在 H R(A )中方程Ax b = 只有唯一的解（若方程有解） ∴ 方程的任何其它解的 2-范数均大于 0 x 的 2-范数 ∴ 0 x 是极小范数解 [得证] 5
由证明可知，方程Ax=b在R(A)的解必定是极小范数解。 引理2.A{1,4}由如下方程的通解构成XA=AaA,其中Aa是A的某 一个{1,4}-逆。 [证明]一方面：上述方程的解一定是A的某一个1,4-逆，设X为其解 (i)AXA=AA4A=A (iV)XA=AL,A是厄米矩阵 另一方面：A的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1,4}-逆， Aa是某个给定的{1,4}-逆，X满足(i)(iv)Penrose方程 AAAAXA(AA)"(XA)"-(xAAA)"=(XA)"=XA [得证] 6
由证明可知，方程Ax b = 在 H R(A )的解必定是极小范数解。 引理 2. A 1,4 { }由如下方程的通解构成 (1,4) XA A A = ，其中 (1,4) A 是 A 的某 一个{1,4}-逆。 [证明]一方面：上述方程的解一定是 A 的某一个{1,4}-逆,设 X 为其解 (ⅰ) (1,4) AXA AA A A = = (ⅳ) (1,4) XA A A = 是厄米矩阵 另一方面：A 的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设 X 是 A 的{1,4}-逆， (1,4) A 是某个给定的{1,4}-逆，X 满足(ⅰ) (ⅳ)Penrose 方程 ( ) ( ) ( ) ( ) (1,4) (1,4) (i) (iv) (1,4) H H H H (1,4) A A A AXA A A XA XAA A XA XA = = = = = [得证] 6
以上引理说明，对于X∈A{L,4,XA是个不变量。 定理2.设方程Ax=b相容，则x=Ab是方程的极小范数解；反之，若 对任意b∈R(A),存在X使得Xb成为该方程的极小范数解，则 X∈A{L,4}。 [证明]先证前半部分。推论1→A四b是Ax=b的解 A∈A{→x=Ab是方程的解 AEAg-→=A4b=AAAb=A4Ab =AH(A1,)HAOb∈R(AH) 由引理1知，Aab是极小范数解。 后半部分：，存在对于任意b∈R(A),均有Xb为Ax=b的极小范数 7
以上引理说明，对于X A 1,4 ∈ { }，XA是个不变量。 定理 2. 设方程Ax b = 相容，则 (1,4) xA b = 是方程的极小范数解；反之，若 对任意 b R(A) ∈ ，存在 X 使得 Xb 成为该方程的极小范数解，则 X A 1,4 ∈ { }。 [证明] 先证前半部分。推论 1→ (1) A b是Ax b = 的解 { } { } ( ) (1,4) (1,4) H (1,4) (1,4) (1,4) (1) (1,4) (1) A A1 x A b A A 4 x A b A AA b A A A b ∈ →= ∈ →= = = 是方程的解 H (1,4) H (1) H = A (A ) A b R(A ) ∈ 由引理 1 知， (1,4) A b是极小范数解。 后半部分：，存在对于任意b R(A) ∈ ，均有Xb为Ax b = 的极小范数 7
解，即Xb=Ab为极小范数解。 因为Vb∈R(A),上式都成立，将b依次取为A的各列，合起来得 XA=A0A 由引理2知X∈A{红，4 定理3.设A∈C，则A{,4}={A+Z(-AAa.)川Z∈Ca} 该定理的证明可由引理2结合定理1给出。 作业：P3322 3(1)2) 8
解，即Xb＝ (1,4) A b为极小范数解。 因为∀ ∈b R(A)，上式都成立，将b依次取为A的各列，合起来得 (1,4) XA A A = 由引理 2 知X A 1,4 ∈ { } 定理 3. 设 m n A C × ∈ ，则 { } { } (1,4) (1,4) m n A 1,4 A Z(I AA ) | Z C × = +− ∈ 该定理的证明可由引理 2 结合定理 1 给出。 作业：P332 2 3(1)(2) 8